21.2 解一元二次方程-2022-2023学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）.docx

1、21.2 解一元二次方程考点一直接降次解一元二次方程（1）依据平方根的意义，将形如 的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程（2）步骤：将方程转化为（或）的形式；分三种情况降次求解：（）当时， ， ；（）当时， ；（）当时，方程 无实数根 考点二用配方法解一元二次方程（1）定义：通过配成 完全平方 形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法（2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤：一移：将常数项移到方程等号的右边二除：如果二次项系数不是，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为三配：方程两边都加上 一次项系数一半的平方 ，将方程左边配成完全平方的形式四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降

2、次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根（3）配方法解一元二次方程：配方后，化为型的方程，当时，可用直接开方法求解若时，方程有两相等的根，即，而不是一个根为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况考点三用公式法解一元二次方程（1）一元二次方程根的判别式：一般地，式子 叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即当0时，方程有两个不相等的实数根，即当=0时，方程有两个相等的实数根，即当0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；0

3、方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根10D【分析】根据一元二次方程的求根公式可得答案【详解】解：根据一元二次方程的求根公式可得：，关于x的一元二次方程的两根分别为，,则，故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目11D【分析】根据得二次项系数a=3，一次项系数b=-2，常数项c=-1，即可得到方程【详解】解：根据得二次项系数a=3，一次项系数b=-2，常数项c=-1，这个一元二次方程是，故选：D【点睛】此题考查了一元二次方程的求根公式，正确掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键12(1)，且(2)，【分析】（1）由一元二次方

4、程有两个不相等的实数根可知，0且，即可求解；（2）将代入方程，可得，用公式法即可求解（方法不唯一）（1）解：由题意得:0，即：，解得：，该方程为一元二次方程，当，且时，方程有两个不相等的实数根；（2）解：当m2时，方程为，9422250，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程的解法13A【分析】设 则为： 则或 从而可得答案【详解】解：设 则为： 1和2是关于x的一元二次方程的两根，或 或 解得： 即的根为故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，掌握“整体未知数法解方程”是解本题的关键14B【分析】设t=y+1，则原方程可化为at2

5、+bt+c=0，根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，得到t1=3，t2=-5，于是得到结论【详解】解：设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，t1=3，t2=-5，y+1=3或y+1=-5，解得y1=2，y2=-6故选：B【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系15(1)，(2)，【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可；（2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可（1）解：；，解得：，（2）解：，；，解得：，【点睛】本题考查因式分解法

6、解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程16B【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即【详解】解：一元二次方程的两根分别记为，+=2，=3，=-a=-3，a=3，故选B【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键17(1)见解析(2)【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，证明恒大于0即可得出结论；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代入即可求出的值（1）证明：，无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由题可知，解得，经检验m=2有意义【点睛】此题考查了一元二次方程中根的判别式，根与系数

7、的关系，熟练掌握一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系是本题的关键18(1)见解析；(2)k=7或k=-3【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出=（k+1）20，由此可证出方程总有两个实数根；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再将它们代入，即可求出k的值（1）b2-4ac=-（k-3）2-41（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）20，方程总有两个实数根；（2）由根与系数关系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，即，解得：k=7或k=-3【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用

8、，用到的知识点：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根；（4）x1+x2=-，x1x2=19D【分析】利用配方法解方程即可【详解】解：，解得，故选D【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键20B【分析】根据配方法解方程的基本步骤去判断依据即可【详解】用配方法解方程时，可以将方程转化为，其中所依据的一个数学公式是故选：B【点睛】本题考查了配方法解方程的基本依据,熟练掌握配方的依据是完全平方公式是解题的依据21C【分析】先求一元二次方程根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况【详解】解：，方程有两个相等的实数

9、根故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根22C【分析】利用因式分解法求解、直接开平方法变形和配方法变形求解即可判断【详解】解：A、若，移项得则，故该选项不符合题意；B、若开平方得，故该选项不符合题意；C、若则，故该选项符合题意；D、若移项得提公因式得则x=0或x=-2，故该选项不符合题意故选C【点睛】本题考查了提公因式因式分解法、直接开平方法和配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键23A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得，代入代数式即可

10、求解【详解】解：一元二次方程 的两个根分别为 和 ，故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键24A【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=3，a+b=1，将其代入即可求出结论【详解】解：a，b是方程x2+x3=0的两个实数根，a2+a=3，a+b=1，b=-a-1，=2026故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程的解及根与系数的关系是解决本题的关键25B【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可【详解】解：，故选

11、：B【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法26（1）k；（2）k=1【详解】【分析】（1）根据方程有实数根得出=（2k1）241（k2+k1）=8k+50，解之可得；（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍【详解】（1）关于x的一元二次方程x2（2k1）x+k2+k1=0有实数根，0，即（2k1）241（k2+k1）=8k+50，解得k；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k1，x1x2=k2+k1，x12+x22=（

12、x1+x2）22x1x2=（2k1）22（k2+k1）=2k26k+3，x12+x22=11，2k26k+3=11，解得k=4，或k=1，k，k=4（舍去），k=1【点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系数的关系的代数式变形是解题中一种经常使用的解题方法.27（1）x1=，x2= ；（2）x1= ，x2=；（3）x1=，x2=1；（4）x1=21，x2=19【详解】解：（1） （2） （3）或 （4） 28D【分析】根据一元二次方程根的判别式求出a的取值范围，再由根与系数的关系求出a的取值范围，找到公共解集即可解答【详解】解：根据题意得，解得或，无解综上，故选：D【

13、点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键29B【分析】根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可【详解】解：A、若c0，则方程为，即，方程一定有一根为0，正确，不符合题意；B、若，则方程为，只有当ac0时，即，方程有两个实数根，故原说法错误，符合题意；C、将x1代入方程可得：，若，则方程必有一根为1，正确，不符合题意；D、ac0，b24ac0，方程ax2bxc0必有两个不相等的实数根，正确，不符合题意；故选：B【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式的关系：0方程有

14、两个不相等的实数根；0方程有两个相等的实数根，0方程没有实数根30B【分析】根据一元二次方程的解法，求出方程的根，然后根据三角形的三边关系判断是否可以构成三角形，最后计算周长即可。【详解】解：，即（x3）（x4）=0，x3=0或x4=0，解得：x=3或x=4，当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，故选：B【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法并明确构成三角形的条件是解题的关键31B【详解】解：由得：又由可以将a，b看做是方程 的两个根a+b=4，ab=1故答案为B.【点睛

15、】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解32D【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可【详解】解：根据一元二次方程一元二次方程有两个实数根，解得：，根据二次项系数 可得： 故选D【点睛】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根33B【详解】解：、为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，因此可得22=5+1，代入22+3+5=5+1+3+5=5（+）+3+1=5+3（-）+1=12；故选B【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一般式，得到根与系

16、数的关系x1+x2=-，x1x2=，然后变形代入即可34C【详解】根据题意得：k-10且=22-4（k-1）（-2）0，解得：k且k1故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac，关键是熟练掌握：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根35且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，解得又该方程为一元二次方程，且故答案为：且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键362【详解

17、】【分析】根据一元二次方程根的意义可得+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得=2，把相关数值代入所求的代数式即可得.【详解】由题意得：+2=0，=2，=-2，=4，=-2+4=2，故答案为2.【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键.374【分析】根据根与系数的关系结合已知条件可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值，进而可得答案【详解】解：x22kx+k2k=0的两个实数根分别是x1、x2，x1+x2=2k，x1x2=k2k

18、，x12+x22=4，（x1+x2）2-2x1x2=4，（2k）22（k2k）=4，2k2+2k4=0，k2+k2=0，k=2或1，=（2k）241（k2k）0，k0，k=1，x1x2=k2k=0，x12x1x2+x22=40=4，故答案为4【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式0”是解题的关键384【详解】（2a2b1）（2a2b1）63，(2a+2b)2-1=63,(2a+2b)2=64,2a+2b=8,a+b=4.故答案为4.392026【分析】根据一元二次方程根的问题，要能看出来m，n可以看做是一个一元二次方程的解，根据根与系数的

19、关系求出两个解关系的值，最后代入要求的式子【详解】由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，所以m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，又n2=n+3，则2n2-mn+2m+2015=2（n+3）-mn+2m+2015=2n+6-mn+2m+2015=2（m+n）-mn+2021=21-（-3）+2021=2+3+2021=2026【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的问题，以及整体思想，把代数式的值代入已有的式子，最后进行求值解决此题的关键是能把m，n看做同一个一元二次方程的根。40【分析】求出方程的根，再

20、判断是否为“倍根方程”；根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可【详解】解方程，得，方程不是“倍根方程”故不正确；是“倍根方程”，且，因此或当时，当时，故正确；，因此是“倍根方程”，故正确；方程的根为，若，则，即，若，则，故正确，故答案为：【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键41【分析】由实数a，b满足条件a27a

21、+20，b27b+20，且ab，可把a，b看成是方程x27x+20的两个根，再利用根与系数的关系即可求解【详解】由实数a，b满足条件a27a+20，b27b+20，且ab，可把a，b看成是方程x27x+20的两个根，a+b7，ab2，故答案为【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题42【分析】分别讨论m=0和m0时方程mx2+xm+1=0根的情况，进而填空【详解】解：当m=0时，x=1，方程只有一个解，正确；当m0时，方程mx2+xm+1=0是一元二次方程，=14m（1m）=14m+4m2=（2m1）20，方程有两个实数解，错误；把

22、mx2+xm+1=0分解为（x+1）（mxm+1）=0，所以x=1是方程mx2+xm+1=0的根，正确；故答案为43（1）证明见解析（2）1或2【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的的值大于0即可；（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值【详解】（1）证明：，=（m3）241（m）=m22m+9=（m1）2+80，方程有两个不相等的实数根；（2），方程的两实根为，且， ， ，（m3）23（m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或244（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）直接开平方转化为一元一次方程求解即可；（2）利用

23、配方法求解即可；（3）利用求根公式进行求解即可；（4）先变号，再提公因式进行计算即可【详解】解：（1），开平方，得，解得；（2），移项，得，二次项系数化为1，得，配方，得，即，开平方，得，解得；（3），即；（4），分解因式，得，或，解得【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握每种方法的解题步骤是解题的关键45(1)x10，x2；(2)x11，x2【分析】(1)将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据平方差公式进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,(2) 将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据提公因式法进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,【详解】(1)3x1(x1),即3x1

24、x1或3x1(x1),所以x10,x2；(2)3x(x1)+2(x1)0,(x1)(3x+2)0,x10或3x+20,所以x11,x2【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法.46（1）证明见解析；（2）x1=1+，x2=1或【详解】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式=b24ac的结果判断即可，当0时，有两个不相等的实数根，当=0时，有两个相等的实数根，当0时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1x2=，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）

25、一元二次方程x2（m3）xm2=0，a=1，b=（m3）=3m，c=m2，=b24ac=（3m）241（m2）=5m26m+9=5（m）2+，0，则方程有两个不相等的实数根；（2）x1x2=m20，x1+x2=m3，x1，x2异号，又|x1|=|x2|2，即|x1|x2|=2，若x10，x20，上式化简得：x1+x2=2，m3=2，即m=1，方程化为x2+2x1=0，解得：x1=1+，x2=1，若x10，x20，上式化简得：（x1+x2）=2，x1+x2=m3=2，即m=5，方程化为x22x25=0，解得：x1=1，x2=1+47（1）；（2）【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可；

26、（2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案【详解】（1）由题意可得：解得：即实数m的取值范围是（2）由可得：； 解得：或即的值为-2【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键48（1）； （2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可；（2）先用提公因式法因式分解，再按ab=0方式解方程即可；（3）先移项，然后按平方差公式因式分解，即可ab=0方式解方程即可；（4）把x+3看做一个

27、整体，然后根据十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可【详解】解：（1）， ， ；（2）， ， ， ；（3）， ， ， ， ；（4） ， ， ， 49（1），；（2），；（3），【分析】（1）选择求根公式法，先判断的值，然后带入求根公式即可；（2）先对方程进行化简，然后使用因式分解法解方程，即可得到；（3）用提公因式法进行化简计算即可得到答案.【详解】解：（1），（2）原方程可变形为，即，或，（3）移项，得因式分解，得，即，或，【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握各种解法是解题的关键50（1）2（2）6（3）7【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根

28、据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出xy的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；（3）由ab=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出ab+c的值【详解】（1）x2+2xy+2y2+2y+1=0（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0（x+y）2+（y+1）2=0x+y=0y+1=0解得：x=1，y=1xy=2；（2）a2+b26a8b+25=0（a26a+9）+（b28b+16）=0（a3）2+（b4）2=0a3=0，b4=0解得：a=3，b=4三角形两边之和第三边ca+b，c3+4，c7又c是正整数，ABC的最大边c的值为4，5，6，c的最大值为6；（3）ab=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c26c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c26c+9）=（b+2）2+（c3）2=0，b+2=0，且c3=0，即b=2，c=3，a=2，则ab+c=2（2）+3=7故答案为7