21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】（人教版）（教师版）.docx

1、专题21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】【人教版】【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】1【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】3【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】4【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】6【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】9【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】11【题型7 根与系数关系中的新定义问题】14【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】19【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a0， 0.也就是说，对于

2、任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】【例1】（2022江安县模拟）若、是一元二次方程2x2+3x50的两根，则+的值是 【分析】根据根与系数的关系可得+=-32，=-52，再根据完全平方公式以及分式的加法法则即可求出代数式的值【解答】解：+=-32，=-52，2+2（+）22=294，+=2+2=-2910，故答案为：-2910【变式1-1】（2021秋密山市校级期末）若x1，x2是一元二次方程x27x+50的两根，则（x11）（x21）的值为（）A

3、1B1C2D2【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可【解答】解：x1，x2是一元二次方程x27x+50的两根，x1+x27；x1x25则（x11）（x21）x1x2（x1+x2）+157+11故选：B【变式1-2】（2022汉川市模拟）已知实数a、b满足a-2+|b+3|0，若关于x的一元二次方程x2ax+b0的两个实数根分别为x1、x2，则1x1+1x2的值是（）A-23B23C2D16【分析】根据非负数的性质得出a2，b3，根据根与系数的关系可得x1+x22，x1x23，将1x1+1x2变形为x1+x2x1x2，整体代入即可求得【解答】解：实数a、b满足a-

4、2+|b+3|0，a2，b3，关于x的一元二次方程x2ax+b0的两个实数根分别为x1、x2，x1+x2a2，x1x2b3，1x1+1x2=x1+x2x1x2=-23，故选：A【变式1-3】（2022春琅琊区校级月考）若，（）是一元二次方程x25x140的两个根，则的值为（）A9B9C9或9D5或5【分析】利用根与系数的关系可得出+5，14，将其代入（）2（+）24中可求出（）2的值，开方后即可求出的值【解答】解：，（）是一元二次方程x25x140的两个根，+5，14，（）2（+）24524（14）81，9故选：C【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】【例2】（2022乳山市模拟）若

5、x1，x2是方程2x23x+10的两个根，则3x123x1+x22（）A14B54C94D34【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=32，x1x2=12，将3x123x1+x22变形后求值即可【解答】解：x1，x2是方程2x23x+10的两个根，x1+x2=32，x1x2=12，2x123x1+10，3x123x1+x222x123x1+x12+x221+(x1+x2)2-2x1x21+94-1=14，故选：A【变式2-1】（2022牟平区一模）已知一元二次方程x22022x+10的两个根分别为x1，x2，则x12-2022x2+1的值为（）A1B0C2022D2021【分析】

6、先根据一元二次方程根的定义得到x12+12022x1，则x12-2022x2+1变形为2022x1x2-1x2，再根据根与系数的关系得到x1x21，然后利用整体的方法计算即可【解答】解：xx1为方程x22022x+10的根，x122022x1+10，x12+12022x1，x12-2022x2+12022x1-2022x2=2022x1x2-1x2，方程x22022x+10的两个根分别为x1，x2，x1x21，x12-2022x2+120221-1x2=0故选：B【变式2-2】（2022东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x25x10的两个实数根，则m26mn+2022的值是（）A2016B

7、2018C2020D2022【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m25m10，则m25m1，根据根与系数的关系得出m+n5，再将其代入整理后的代数式计算即可【解答】解：m是一元二次方程x25x10的根，m25m10，m25m1，m、n是一元二次方程x25x10的两个根，m+n5，m26mn+2022m25mmn+202215+20222018故选：B【变式2-3】（2022春海门市期末）若m，n是方程x22x10的两个实数根，则2m2+4n24n+2022的值为 【分析】由m，n是方程x22x10的两个实数根可得：m22m+1，n22n+1，m+n2，代入所求式子即可得到答案【解答】解：m

8、，n是方程x22x10的两个实数根，m22m10，n22n10，m+n2，m22m+1，n22n+1，2m2+4n24n+20222（2m+1）+4（2n+1）4n+20224m+2+8n+44n+20224（m+n）+202842+20282036，故答案为：2036【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】【例3】（2022呼和浩特）已知x1，x2是方程x2x20220的两个实数根，则代数式x132022x1+x22的值是（）A4045B4044C2022D1【分析】把xx1代入方程表示出x122022x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可【解答】解：把

9、xx1代入方程得：x12x120220，即x122022x1，x1，x2是方程x2x20220的两个实数根，x1+x21，x1x22022，则原式x1（x122022）+x22x12+x22（x1+x2）22x1x21+40444045故选：A【变式3-1】（2022硚口区模拟）已知a，b是方程x2x50的两根，则代数式a3+5a-5b的值是（）A5B5C1D1【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2a5，ab5，变形后可得出a25a，a=-5b，将其代入a3+5a-5b=-a（a25）-5b中可得出原式a2+a，再结合a2a5，即可求出原式5【解答】解：a，b是方程x2x50的

10、两根，a2a5，ab5，a25a，a=-5b，a3+5a-5b=-a（a25）-5b=-a2+a（a2a）5故选：B【变式3-2】（2022松山区模拟）若m，n是一元二次方程x2+x30的两个实数根，则m34n2+17的值为（）A2B6C4D4【分析】根据m，n是一元二次方程x2+x30的两个实数根，可以得到m2+m30，n2+n30，m+n1，然后变形得到m3和4n2，再代入所求式子，计算即可【解答】解：m，n是一元二次方程x2+x30的两个实数根，m2+m30，n2+n30，m+n1，m23m，n23n，m33mm23m3+m4m3，4n2124n，m34n2+174m312+4n+174

11、（m+n）+24（1）+24+22，故选：A【变式3-3】（2022春汉阳区校级月考）已知m，n是方程x24x+20的两根，则代数式2m3+5n2-16n+4的值是（）A57B58C59D60【分析】将代数式的次数化为一次，然后将m，n的值代入求解即可【解答】解：m，n是方程x24x+20的两根，m24m+20，n24n+20，m+n4m24m2，n24n2，n4-2n，即2n=4n，m34m22m14m8，原式2（14m8）+5（4n2）8（4n）+428（m+n）5458故选：B【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】【例4】（2021秋毕节市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方

12、程x2（2m+3）x+m20的两个不相等的实数根，且满足1x1+1x2=1，则m的值为（）A3或1B1或3C1D3【分析】根据根与系数关系得出：x1+x22m+3，x1x2m2，代入1x1+1x2=1中，求出m的值，再进行检验即可【解答】解：x1、x2是关于x的一元二次方程x2（2m+3）x+m20的两个不相等的实数根，x1+x22m+3，x1x2m2，1x1+1x2=x1+x2x1x2=2m+3m2=1，解得：m3或m1，把m3代入方程得：x29x+90，（9）24190，此时方程有解；把m1代入方程得：x2x+10，14110，此时方程无解，即m1舍去故选：D【变式4-1】（2021秋黔西

13、南州期末）已知关于x的一元二次方程x22（a1）x+a2a20有两个不相等的实数根x1，x2且x1，x2满足x12+x22x1x216，则a的值为（）A6B1C1或6D6或1【分析】先根据判别式的意义得到a3，再根据根与系数的关系得x1+x22（a1），x1x2a2a2，利用x12+x22x1x216得到4（a1）23（a2a2）16，解关于a的方程，然后利用a的范围确定满足条件的a的值【解答】解：根据题意得4（a1）24（a2a2）0，解得a3，根据根与系数的关系得x1+x22（a1），x1x2a2a2，x12+x22x1x216，（x1+x2）23x1x216，即4（a1）23（a2a2）

14、16，整理得a25a60，解得a11，a26，而a3，a的值为1故选：B【变式4-2】（2022春仓山区校级期末）已知关于x的一元二次方程x24kx+3k20（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1x23，求k的值【分析】（1）通过计算根的判别式的值得到4k20，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）设方程的两实数解为a、b，根据根与系数的关系得a+b4k，ab3k2，再利用|ab|3得到（a+b）24ab9，则16k243k29，然后解方程，从而得到满足条件的k的值【解答】（1）证明：（4k）243k24k20，该方程总有两个实数根；（2）解：设方程

15、的两实数解为a、b，根据根与系数的关系得x1+x24k，x1x23k2，|x1x2|3，（x1x2）29，（x1+x2）24x1x29，16k243k29，即k2=94，解得k1=32，k2=-32故k的值为32或-32【变式4-3】（2022内江）已知x1、x2是关于x的方程x22x+k10的两实数根，且x2x1+x1x2=x12+2x21，则k的值为 【分析】根据x1、x2是关于x的方程x22x+k10的两实数根，可得x1+x22，x1x2k1，x122x1+k10，把x2x1+x1x2=x12+2x21变形再整体代入可得22-2(k-1)k-1=4k，解出k的值，并检验即可得k2【解答】

16、解：x1、x2是关于x的方程x22x+k10的两实数根，x1+x22，x1x2k1，x122x1+k10，x122x1k+1，x2x1+x1x2=x12+2x21，(x1+x2)2-2x1x2x1x2=2（x1+x2）k，22-2(k-1)k-1=4k，解得k2或k5，当k2时，关于x的方程为x22x+10，0，符合题意；当k5时，关于x的方程为x22x+40，0，方程无实数解，不符合题意；k2，故答案为：2【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】【例5】（2022鄞州区模拟）已知实数ab，且满足（a+1）233（a+1），3（b+1）3（b+1）2，则bba+aab的值为（）A23B23C2

17、D13【分析】根据（a+1）233（a+1），3（b+1）3（b+1）2，把a、b可看成是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）30的两个根，然后根据根与系数的关系进行求解【解答】解：a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）30的两个根，整理此方程，得x2+5x+10，2540，a+b5，ab1故a、b均为负数因此bba+aab=-baab-abab=-a2+b2abab=-(a+b)2-2abab=-23故选：B【变式5-1】（2021秋鄞州区校级期末）已知实数，满足22+520，22520，且1，且12+-52的值为（）A254B-254C-174D334【分析】方法1：22520，

18、可得2（1）2+51-20，那么、1是方程2x2+5x20的两实根，由根与系数关系得+1=-52，1=-1，再把12+-52变形-52（+1）+1，然后利用整体代入的方法计算；方法2：代数式先提取前两项中的1，再提取-52即可【解答】解：方法1：22520，0，方程两边同时除以2，可得2（1）2+51-20，又22+520，、1是方程2x2+5x20的两实根，+1=-52，1=-1，12+-52=-521+1+1-52=-52（+1）+1+1=-52（-52）+（1）+1=254方法2：12+-52=1（1+）-52=-521-52=-52（1+）=-52（-52）=254故选：A【变式5-2

19、】（2022周村区二模）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）2，（b+m）（b+n）2，则abmn的值为（）A4B1C2D1【分析】先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn20，b2+（m+n）b+mn20，则可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn20的两实数根，利用根与系数的关系得到abmn2，从而得到abmn的值【解答】解：（a+m）（a+n）2，（b+m）（b+n）2，a2+（m+n）a+mn20，b2+（m+n）b+mn20，而a、b、m、n为互不相等的实数，a、b看作方程x2+（m+n）x+mn20的两实数根，abmn2，abmn2故选：C【变式5-3】

20、（2022春杭州期中）若xy+x1，且5x2+300x+90，9y2+318y+3140，则xy+1的值是 【分析】方程9y2+318y+3140可变形为9（y+1）2+300（y+1）+50，把9（y+1）2+300（y+1）+50两边都除以（y+1）2得5（1y+1）2+3001y+1+90，结合xy+x1可得出x，1y+1是方程5x2+300x+90的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系可得答案【解答】解：9y2+318y+3140，9（y+1）2+300（y+1）+50把9（y+1）2+300（y+1）+50两边都除以（y+1）2，得5（1y+1）2+3001y+1+90xy+x1

21、，x1y+1，x，1y+1是方程5x2+300x+90的两个不相等的实数根，xy+1=95故答案为：95【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】【例6】（2022新华区校级一模）已知关于x的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）0（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论：1和一1都是方程x2+qx+p0的根0可能是方程x2+qx+p0的根1可能是方程x2+qx+p0的根1一定不是方程x2+qx+p0的根其中正确的是（）ABCD【分析】根据根的判别式可得（2q）24（p+1）20，进一步可得q（p+1），可知x1或x1可能是但不能同时是方程x2+qx+p0的根；当x0时，可得

22、p和q的值且符合题意，即可进行判断【解答】解：根据题意，可得（2q）24（p+1）20，且p+10，q（p+1），当qp+1时，qp10，此时x1是方程x2+qx+p0的根，当q（p+1）时，q+p+10，此时x1是方程x2+qx+p0的根，p+10，p+1（p+1），x1和x1不能同时是方程x2+qx+p0的根，故不符合题意，选项符合题意；当x0时，p0，q1，当p0，q1时，x0是方程x2+qx+p0的根，故符合题意，故选：C【变式6-1】（2022春余杭区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c0与cx2+bx+a0，且ac0，ac下列说法正确的是（）A若方程ax2+bx+c0有两

23、个相等的实数根，则方程cx2+bx+a0没有实数根B若方程ax2+bx+c0的两根符号相同，则方程cx2+bx+a0的两根符号也相同C若5是方程ax2+bx+c0的一个根，则5也是方程cx2+bx+a0的一个根D若方程ax2+bx+c0和方程cx2+bx+a0有一个相同的根，则这个根必是x1【分析】利用根的判别式与根与系数的关系判断即可【解答】解：A、若方程ax2+bx+c0有两个相等的实数根，则有b24ac0，可得方程cx2+bx+a0也有两个相等的实数根，不符合题意；B、若方程ax2+bx+c0的两根符号相同，即ca0，则方程cx2+bx+a0的两根符号也相同，符合题意；C、把x5代入方程

24、得：25a+5b+c0，而25c+5b+a不一定为0，即x5不一定是方程cx2+bx+a0的一个根，不符合题意；D、若方程ax2+bx+c0和方程cx2+bx+a0有一个相同的根，则有ax2+bx+ccx2+bx+a，即（ac）x2ac，由ac，得到x21，即x1，不符合题意故选：B【变式6-2】（2022春仓山区校级期末）已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c0，N：cx2+bx+a0，其中ac0，ac下列结论错误的是（）A若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根B若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根C若5是方程M的一个根，则15是方程N的一

25、个根D若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是x1【分析】A、一元二次方程ax2+bx+c0有两个相等的实数根，则b24ac0，对于方程cx2+bx+a0，b24ac0，则方程N也有两个相等的实数根；B、利用ac0和根的判别式进行判断即可；C、把x5代入ax2+bx+c0得：25a+5b+c0，等式的两边同除以25得到125c+15b+a0，于是得到15是方程N的一个根，无法得到5是方程N的一个根；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根可能是x1【解答】解：A、方程M有两个相等的实数根，b24ac0，方程N的b24ac0，方程N也有两个相等的实数根，故不符合题意；B、方程M的两

26、根符号相同，ca0，且b24ac0，ac0，且b24ac0，方程N也有一个正根和一个负根，故不符合题意；C、把x5代入ax2+bx+c0得：25a+5b+c0，125c+15b+a0，15是方程N的一个根，故不符合题意；D、方程M和方程N有一个相同的根，ax2+bx+ccx2+bx+a，（ac）x2ac，ac，x21，x1，即这个根可能是x1；故符合题意故选：D【变式6-3】（2022春瑶海区校级期末）关于x的一元二次方程x2+px+q0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）Ap是正数，q是负数B（p2）2+（q2）28Cq是正

27、数，p是负数D（p2）2+（q2）28【分析】设方程x2+px+q0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p0的两根为y1、y2根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1x2q0，y1y2p0，即可判断A与C；由方程有两个实数根结合根的判别式得出p24q0，q24p0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p2）2+（q2）28，即可判断B与D【解答】解：设方程x2+px+q0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p0的两根为y1、y2关于x的一元二次方程x2+px+q0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p0也有两个同号非零整数根，x1x2q0，y1y2p0，故选项A与C说

28、法均错误，不符合题意；关于x的一元二次方程x2+px+q0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p0也有两个同号非零整数根，p24q0，q24p0，（p2）2+（q2）2p24q+4+q24p+48（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；故选：D【题型7 根与系数关系中的新定义问题】【例7】（2022秋武侯区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有

29、 （填序号）方程x24x0是关于2的等距方程；当5mn时，关于x的方程（x+1）（mx+n）0一定是关于2的等距方程；若方程ax2+bx+c0是关于2的等距方程，则必有b4a（a0）；当两根满足x13x2，关于x的方程px2x+34=0是关于2的等距方程【分析】解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；根据方程ax2+bx+c0是关于2的等距方程，且b4a（a0）得到x1x2或x1+x24，当x1x2时，x1x2=-b2a，不能判断a与b之间的关系，当x1+x24时，即-ba=4，得到b4a，据此即可判断；根据韦达定理和x13x

30、2，得出3x22=34（3x2+x2）3x2，解得x21或x20（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断【解答】解：x24x0，x（x4）0，x10，x24，则|x12|x22|，正确；当m0，n0时，（x+1）（mx+n）0，则x11，x2=n-m，5mn，x25，|x12|x22|，满足2的等距方程；当mn0时，原方程x+10不是一元二次方程，故错误；对于方程ax2+b+c0（a0），由韦达定理得：x1+x2=-ba，方程是2的等距方程，|x12|x22|，则x12x22或x122x2，x1x2或x1+x24，当x1x2时，x1x2=-b2a，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2

31、4时，即-ba=4，b4a，故ax2+bx+c0（a0）是2的等距方程时，b不一定等于4a，故错误；对于方程px2x+34=0有两根满足x13x2，由韦达定理得：x1x2=34p，x1+x2=1p，x1x2=341p=34（x1+x2），3x22=34（3x2+x2）3x2，x21或x20（舍去），x13x23，|x12|x22|，即px2x+34=0是关于2的等距方程，故正确，故正确的有，故答案为【变式7-1】（2021秋金牛区期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a（x+h）2+k0（a0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程

32、”已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a0）与方程（x+1）220是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c0（a0）有两个根为x1、x2，则b2c4，ax1+x1x2+ax2的最大值是 【分析】根据新的定义可知b2a，ca2，即可得到b2c2a2（a2）4，由根与系数的关系x1+x22，x1x2=a-2a，代入变形后的代数式得到ax1+x1x2+ax2a（x1+x2）+x1x22a+a-2a=-2（a+1a）+1，设a+1a=t（t0），得a2ta+10，根据题意解得t2，即a+1a2，即可得到ax1+x1x2+ax22（a+1a）+13【解答】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx

33、+c0（a0）可变形为a（x+1）220，a（x+1）22ax2+bx+c，ax2+2ax+a2ax2+bx+c，b2a，ca2，b2c2a2（a2）4，x1+x22，x1x2=a-2aax1+x1x2+ax2a（x1+x2）+x1x22a+a-2a=-2（a+1a）+1，方程ax2+bx+c0（a0）有两个根为x1、x2，b24ac（2a）24a（a2）8a0，且a0，a0，设a+1a=t（t0），得a2ta+10，方程a2ta+10有正数解，t240，解得t2，即a+1a2，ax1+x1x2+ax22（a+1a）+13，ax1+x1x2+ax2的最大值是3故答案为：4，3【变式7-2】（2

34、021秋章贡区期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”（1）请说明方程x23x+20是倍根方程；（2）若（x2）（mx+n）0是倍根方程，则m，n具有怎样的关系？（3）若一元二次方程ax2+bx+c0（b24ac0）是倍根方程，则a，b，c的等量关系是 （直接写出结果）【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x12，x21，然后根据“倍根方程”可判断方程x23x+20是倍根方程；（2）利用因式分解法解方程得x12，x2=-nm，再利用“倍根方程”的定义得到-nm=22或-nm=122，从而得到m、n的关系式

35、；（3）设方程的两根分别为t，2t，根据根与系数的关系得t+2t=-ba，t2t=ca，然后消去t得到a、b、c的关系【解答】解：（1）（x2）（x1）0，x20或x10，x12，x21，方程x23x+20是倍根方程；（2）（x2）（mx+n）0，x12，x2=-nm，当-nm=22时，n4m，即4m+n0；当-nm=122时，nm，即m+n0；综上所述，m、n的关系式为4m+n0或m+n0（3）一元二次方程ax2+bx+c0（b24ac0）是倍根方程，设方程的两根分别为t，2t，根据根与系数的关系得t+2t=-ba，t2t=ca，t=-b3a，2（-b3a）2=ca，2b29ac故答案为：2

36、b29ac【变式7-3】（2022春宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两个实数根，若满足|x1x2|1，则此类方程称为“差根方程”根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：x24x50；2x223x+10；（2）已知关于x的方程x2+2ax0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+10（a，b是常数，a0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；（2）根据x2+2ax0是“差根方程”，且x10，x22a得到2a1，从而得到a12；（3）设x1，x2是一

37、元二次方程ax2+bx+10（a，b是常数，a0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到(-ba)2-41a=1，整理即可得到b2a2+4a【解答】解：（1）设x1，x2是一元二次方程x24x50的两个实数根，x1+x24，x1x25，|x1x2|=(x1+x2)2-4x1x2=42-4(-5)=6，方程x24x50不是差根方程；设x1，x2是一元二次方程2x223x+10的两个实数根，x1+x2=3，x1x2=12，|x1x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(3)2-412=1，方程2x223x+10是差根方程；（2）x2+2ax0，因式分解得：x（x+2a）0，解得：x10，x22a，关于

38、x的方程x2+2ax0是“差根方程”，2a1，即a12；（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+10（a，b是常数，a0）的两个实数根，x1+x2=-ba，x1x2=1a，关于x的方程ax2+bx+10（a，b是常数，a0）是“差根方程”，|x1x2|1，|x1x2|=(x1+x2)2-4x1x2=1，即(-ba)2-41a=1，b2a2+4a【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例8】（2021秋锦江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2mx+2m40（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；【分析】（

39、1）首先计算，再根据非负数的性质可判断出0，进而得到结论；（2）当两根一个大于5一个小于5时，得到方程有两个不相等的实数根其两根与5的差的积小于零，列出不等式解之即可；【解答】（1）证明：（m）241（2m4）（m4）20，不论m取何实数，该方程总有两个实数根；（2）设两个实数根为x1，x2，则x1+x2m，x1x22m4，方程的一个根大于5，另一个根小于5，（x15）（x25）x1x25（x1+x2）+250，2m45m+250，解得：m7，方程的一个根大于5，另一个根小于5，m的取值范围是m7；【变式8-1】（2022春临平区月考）已知一元二次方程mx2+nx（m+n）0（1）试判断方程根

40、的情况（2）若m0时方程的两根x1，x2满足x1x21，且n1，求m的取值范围【分析】（1）通过一元二次方程根的判别式求解（2）由一元二次方程根与系数的关系求出x1x2=-m+1m1，进而求解【解答】解：（1）一元二次方程mx2+nx（m+n）0，m0，n24m（m+n）（n+2m）20，该方程有两个实数根（2）将n1代入方程mx2+nx（m+n）0，得mx2+x（m+1）0，方程的两根x1，x2满足x1x21，x1x2=-m+1m1，当m0时，可得-12m0，即m的取值范围是-12m0【变式8-2】（2022秋新都区校级月考）实数k取何值时，关于x的一元二次方程x2+（3k1）x+3k20（

41、1）有两个负根？（2）两根异号，且负根绝对值较大？（3）一根大于5，一根小于5？【分析】（1）根据一元二次方程有两个实根，则判别式0，并且两根的和小于0，且两根的积大于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k的不等式组，即可求得k的范围；（2）根据一元二次方程有两个不相等的实根，则判别式0，并且负根的绝对值较大，则两根的和小于0，且两根的积小于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k的不等式组，即可求得k的范围；（3）设方程的两个根分别是x1、x2，根据题意，得（x15）（x25）0，根据一元二次方程根与系数的关系即可求得k的取值范围，再根据0确定k的范围【解答】解：（1）

42、设方程的两个负根为x1、x2，则：（3k1）24（3k2）9（k1）20 ，x1+x213k0，x1x23k20 ，解得：k为任意实数，解得：k23，所以k的取值范围是k23；（2）设方程的两个根为x1、x2，则：（3k1）24（3k2）9（k1）20 ，x1+x213k0，x1x23k20 ，解得：k1，解得：13k23，所以k的取值范围是13k23；（3）设方程的两个根为x1、x2，则：（3k1）24（3k2）9（k1）20 ，（x15）（x25）0 ，解得：k1，由得：x1x25（x1+x2）+250，又x1+x213k，x1x23k2，代入整理，得18k+180，解得k1则k1【变式8

43、-3】（2022春越秀区校级月考）设关于x的方程x25xm2+10的两个实数根分别为、（1）证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）当|+|6时，试确定实数m的取值范围【分析】（1）根据根的判别式即可求解；（2）根据x的方程x25xm2+10的实根为、，由根与系数的关系列出不等式即可解出m的取值范围【解答】（1）证明：（5）24（m2+1）4m2+210，无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：+5，1m2，|+|6，2+2+2|36，即（+）22+2|36252（1m2）+2|1m2|36，当1m20时，2536成立，1m1当1m20时，得254（1m2）36，152m152由、得152m152