22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】（人教版）（教师版）.docx

1、专题22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】【人教版】【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】2【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】4【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】6【题型4 二次函数中求线段最值】10【题型5 二次函数中求线段和差最值】18【题型6 二次函数中求周长最值】32【题型7 二次函数中求面积最值】42【题型8 二次函数在新定义中求最值】52【知识点1 二次函数的最值】1.对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）：（1）若自变量x为全体实数，如图，函数在时，取到最小值，无最大值（2）若

2、，如图，当，；当，（3）若，如图，当，；当，（4）若，如图，当，；当，2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】【例1】（2022秋开福区校级期中）二次函数yx22x+m当3x3时，则y的最大值为15+m（用含m的式子表示）【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当3x3时，y的最大值【解答】解：二次函数yx22x+m（x1）21+m，该函数的对称轴是直线x1，该函数图象开口向上，当x1时，有最小值，当3x3时，y取得最大值时对应的x的值是3，当x3时，y

3、（31）21+m15+m，当3x3时，y的最大值为15+m，故答案为：15+m【变式1-1】（2022秋河西区期末）当x2时，二次函数yx22x3有（）A最大值3B最小值3C最大值4D最小值4【分析】用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得【解答】解：yx22x3（x1）24，抛物线开口向上，对称轴为直线x1，当x1时，y随x的增大而增大，当x2时，函数有最小值y222233，故选：B【变式1-2】（2022秋上城区期末）已知二次函数yx2，当1x2时，求函数y的最小值和最大值小王的解答过程如下：解：当x1时，y1；当x2时，y4；所以函数y的最小值为1，最大值为4小

4、王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题【解答】解：小王的做法是错误的，正确的做法如下：二次函数yx2，该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，1x2，当x0时取得最小值，最小值是0，当x2时取得最大值，此时y4，由上可得，当1x1时，函数y的最小值是0，最大值是4【变式1-3】（2022安徽模拟）已知二次函数yx2+bxc的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x1（1）求b+c的值（2）当4x3时，求y的最大值（3）平移抛物线yx2+bxc，使其顶点始终在二次函数y2x2x1上，

5、求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值【分析】（1）由对称轴-b2=1，求出b的值，再将点（3，0）代入yx+bxc，即可求解析式；（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x1，结合函数图像可知当x4时，y有最大值21；（3）设顶点坐标为（h，2h2h1），可求平移后的解析式为y（xh）2+2h2h1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w3h2h13（h-16）2-1312，即可求解【解答】解：（1）二次函数yx+bxc的对称轴为直线x1，-b2=1，b2，二次函数yx+bxc的图象经过点（3，0），96c0，c3，b+c1；（2）由（1）可得yx2x3（x1）24，抛物线的对称轴为

6、直线x1，4x3，当x4时，y有最大值21；（3）平移抛物线yx22x3，其顶点始终在二次函数y2x2x1上，设顶点坐标为（h，2h2h1），故平移后的解析式为y（xh）2+2h2h1，yx22hx+h2+2h2h1x22hx+3h2h1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w3h2h13（h-16）2-1312，当h=16时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为-1312【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】【例2】（2022鹿城区校级二模）已知二次函数ymx24mx（m为不等于0的常数），当2x3时，函数y的最小值为2，则m的值为（）A16B-16或12C-16或23

7、D16或2【分析】由二次函数ymx24mx可得对称轴为x2，分为m0和m0两种情况，当m0时，二次函数开口向上，当2x3时，函数在x2取得最小值2，将x2，y2代入ymx24mx中，解得m=12，当m0时，二次函数开口向下，当2x3时，函数在x2取得最小值2，将x2，y2代入ymx24mx中，解得m=-16，即可求解【解答】解：二次函数为ymx24mx，对称轴为x=-b2a=4m2m=2，当m0时，二次函数开口向上，当2x3时，函数在x2取得最小值2，将x2，y2代入ymx24mx中，解得：m=12，当m0时，二次函数开口向下，当2x3时，函数在x2取得最小值2，将x2，y2代入ymx24mx

8、中，解得：m=-16，综上，m的值为12或-16，故选：B【变式2-1】（2022秋龙口市期末）已知关于x的二次函数yx2+2x+2a+3，当0x1时，y的最大值为10，则a的值为 2【分析】根据抛物线的关系式可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x1，所以可得0x1在对称轴的右侧，然后进行计算即可解答【解答】解：yx2+2x+2a+3x2+2x+1+2a+2（x+1）2+2a+2，抛物线的对称轴为：直线x1，a10，抛物线的开口方向向上，当x1时，y随x的增大而增大，当0x1时，y的最大值为10，当x1时，y10，把x1时，y10代入yx2+2x+2a+3中可得：1+2+2a+310，a2

9、，故答案为：2【变式2-2】（2022灌南县二模）已知二次函数yax22ax+c，当1x2时，y有最小值7，最大值11，则a+c的值为（）A3B9C293D253【分析】先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当1x2时，函数的最值为ya+c和y3a+c，即可得出a+c+（3a+c）7+11，即2a+2c18，从而求得a+c9【解答】解：二次函数yax22ax+c，该二次函数的图象的对称轴为直线x=-2a2a=1，当x1时，ya2a+ca+c；当x1时，ya+2a+c3a+c；当1x2时，函数的最值为ya+c和y3a+c，当1x2时，y有最小值7，最大值11，a+c+（3a+c）

10、7+11，即2a+2c18，a+c9，故选：B【变式2-3】（2022青山区二模）已知二次函数yx2+bx+c，当x0时，函数的最小值为3，当x0时，函数的最小值为2，则b的值为（）A6B2C2D3【分析】根据二次函数yx2+bx+c，当x0时，函数的最小值为2，可知该函数的对称轴在y轴右侧，41c-b241=-3，-b20，再根据当x0时，函数的最小值为2，即可得到c的值，然后将c的值代入入41c-b241=-3，即可得到b的值【解答】解：二次函数yx2+bx+c，当x0时，函数的最小值为3，该函数的对称轴在y轴右侧，41c-b241=-3，-b20，b0，当x0时，函数的最小值为2，当x0

11、时，yc2，将c2代入41c-b241=-3，可得b12（舍去），b22，故选：C【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】【例3】（2022宁阳县一模）当0xm时，函数yx2+4x3的最小值为3，最大值为1，则m的取值范围是（）A0m2B0m4C2m4Dm2【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决【解答】解：yx2+4x3（x2）2+1，该函数的对称轴是直线x2，当x2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，当0xm时，此函数的最小值为3，最大值为1，当x0时，y3，2m4，故选：C【变式3-1】（2022龙港市模拟）已知二次函数yx24x+5，当m

12、xm+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）【分析】分四种情况讨论：当m+32时，即m5，y的最小值为m24m+5；当m+32-2m+3时，即4m3，y的最小值为m24m+5；当m2m+32时，即3m2，y的最小值为m28m7；当m2时，y的最小值为m28m7，【解答】解：yx24x+5（x+2）2+9，对称轴为直线x2，当m2时，则当xm+3时，y有最小值为（m+3）24（m+3）+5m210m16，当m2m+3时，即5m2，当对称轴位于范围内时，谁离对称轴远，谁就小，若m+3+22m，即-72m2时，当xm+3时，y有最小值为（m+3）24（m+3）+5m210m16，当m+3+22m，

13、即5m-72时，当xm时，y有最小值为m24m+5，当m+3+22时，即m5，y的最小值为m24m+5；综上所述：m-72时y的最小值为m210m16；当m-72时，y的最小值为m24m+5【变式3-2】（2022庐阳区一模）设抛物线yax2+bx3a，其中a、b为实数，a0，且经过（3，0）（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）若a2，当t2xt时，函数的最大值是6，求t的值；（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B若抛物线与线段AB有两个公共点，求a的取值范围【分析】（1）把已知点坐标代入抛物线的解析式，求得a、b的数量关系，把抛物线解析式中的b换成

14、a的代数式，再将抛物线的解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标；（2）分xt和xt2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可；（3）抛物线经过（1，0）和（3，0），与线段AB有两个公共点时，结合图象即可判断出a的取值范围【解答】解：（1）把（3，0）代入yax2+bx3a得，9a+3b3a0，b2a，抛物线的解析式为yax22ax3aa（x1）24a，抛物线的顶点坐标为（1，4a）；（2）a2，抛物线的解析式为y2（x1）2+8，对称轴为直线：x1，当x1时，y随x的增大而减小，当x1时，y随x的增大而增大，当t2xt时，函数的最大值是6，当xt和xt2在对称轴右侧时，有-2(t-2-1)

15、2+8=6t-21，解得t4，当xt和xt2在对称轴左侧时，有-2(t-1)2+8=6t1，解得t0，当xt和xt2在对称轴左侧或两侧时，函数的最大值为8，不可能为6，此时无解，综上，t的值为0或4；（3）点A坐标为（0，4），将点A向右平移3个单位长度，得到点B，B（3，4），yax22ax3aa（x3）（x+1），抛物线经过点（3，0）和（1，0），若此二次函数的图象与线段AB有两个交点，则如图所示，抛物线的图象只能位于图中两个虚线的位置之间，当抛物线经过点A时，为一种临界情况，将A（0，4）代入，4003a，解得a43，当抛物线的顶点在线段AB上时，为一种临界情况，此时顶点的纵坐标为4，

16、4a4，解得a1，-43a1【变式3-3】（2022文成县一模）已知抛物线yx2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），且经过点（2，c）（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标（2）当tx2t时，函数的最大值为M，最小值为N，若MN3，求t的值【分析】（1）由抛物线经过（2，c）和（0，c），可得到抛物线的对称轴为直线x1，即可根据点（1，0），确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；（2）根据t2t，确定t1，2t1，求出当1时取得最大值4，解得N1，令y1求出值【解答】解：（1）抛物线经过（2，c）和（0，c），抛物线的对称轴为直线x1，（1，0）的对称点为（3，0）即抛物线与x轴的另

17、一个交点坐标为（3.0）；（2）与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x1，0=-1-b+c-b2(-1)=1，解得：b=2c=3，yx2+2x+3tx2t，t1，2t1当tx2t时，当x1时取得最大值4，即M4，当xt或x2t时取得最小值N，MN3，N1令yl得，1t2+2t+3，解得t1=3+1（舍），t2=-3+1，t=-3+1令yl得，1（2t）2+2（2t）+3，解得t1=3+1（舍），t2=-3+1t=-3+1综上：t=-3+1【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2022黔东南州二模）如图，抛物线yax2+bx2与x轴交于点A（2，0）、B（1，0），与y轴交于点C（1）

18、求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值；（3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQAC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，求出AC的长即为所求；（3）过点P作PEy轴交AC于E，当PD最大时，APC的面积最大，也就是PE最大，先求直线AC的解析式，设P（t，t2+t2），则E（t，t2），则PE（t+1）2+1，当t1时，PE有最大值，此时P（1，2）【解答】解：（1）将点A（2，0）、B（1，0

19、）代入yax2+bx2，a+b-2=04a-2b-2=0，解得a=1b=1，yx2+x2； （2）A、B关于抛物线的对称轴对称，AMBM，MB+MCAM+MC，当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC，令x0，则y2，C（0，2），AC22，MB+MC的最小值为22；（3）线段PQ存在最大值，理由如下：过点P作PEy轴交AC于E，当PD最大时，APC的面积最大，也就是PE最大，设直线AC的解析式为ykx+b，-2k+b=0b=-2，解得k=-1b=-2，yx2，设P（t，t2+t2），则E（t，t2），PEt2（t2+t2）t22t（t+1）2+1，当t1时，PE有最大值，此时

20、P（1，2）【变式4-1】（2022太原一模）综合与实践如图，抛物线yx2+2x8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标【分析】（1）分别令x0，y0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m2+2m8），则E（m，2m8），可得DE2m8（m2+2m8）m24m（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；（3）设F

21、（1，n），根据两点间距离公式可得：AF232+n2n2+9，AC242+8280，CF212+（n+8）2n2+16n+65，分三种情况：当AFC90时，当CAF90时，当ACF90时，分别建立方程求解即可【解答】解：（1）在yx2+2x8中，令x0，得y8，C（0，8），令y0，得x2+2x80，解得：x14，x22，A（4，0），B（2，0），设直线AC的解析式为ykx+b，则-4k+b=0b=-8，解得：k=-2b=-8，直线AC的解析式为y2x8；（2）设D（m，m2+2m8），则E（m，2m8），点D在点E的下方，DE2m8（m2+2m8）m24m（m+2）2+4，10，当m2时，

22、线段DE最大值为4；（3）yx2+2x8（x+1）29，抛物线的对称轴为直线x1，设F（1，n），又A（4，0），C（0，8），AF232+n2n2+9，AC242+8280，CF212+（n+8）2n2+16n+65，当AFC90时，AF2+CF2AC2，n2+9+n2+16n+6580，解得：n14-19，n24+19，F（1，4-19）或（1，4+19）；当CAF90时，AF2+AC2CF2，n2+9+80n2+16n+65，解得：n=32，F（1，32）；当ACF90时，CF2+AC2AF2，n2+16n+65+80n2+9，解得：n=-172，F（1，-172）；综上所述，点F的坐标

23、为（1，4-19）或（1，4+19）或（1，32）或（1，-172）【变式4-2】（2022平果市模拟）如图，抛物线yx2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，连接AM，BM当线段PM最长时，求ABM的面积；（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A（3，0），B（0，3）代入yx2+bx+c，即可求函数的解析式；（2）用待定系数法求直线AB的解析式，可求出PM（t

24、-32）2+94，当t=32时，PM最长为94，再求ABM的面积即可；（3）根据题意，分两种情况讨论；当PB为平行四边形的对角线时，此时t无解；当PO为平行四边形的对角线时，此时P（3+212，3-212）或（3-212，3+212）【解答】解：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入yx2+bx+c，-9+3b+c=0c=3，解得b=2c=3，yx2+2x+3；（2）设线AB的解析式为ykx+b，b=33k+b=0，解得k=-1b=3，yx+3，P（t，t+3）（0t3），则M（t，t2+2t+3），PMt2+2t+3+t3t2+3t（t-32）2+94，当t=32时，PM最长为94，此时S

25、ABM=12394=278；（3）存在点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：由（2）知，P（t，t+3），M（t，t2+2t+3），当PB为平行四边形的对角线时，t+3+3t2+2t+3，此时t无解；当PO为平行四边形的对角线时，t+3t2+2t+3+3，解得t=3+212或t=3-212，P（3+212，3-212）或（3-212，3+212）；综上所述：P点坐标为（3+212，3-212）或（3-212，3+212）【变式4-3】（2022春九龙坡区校级期末）抛物线yax2+bx+4与x轴交于A（4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物

26、线上一动点求抛物线的解析式；（1）过点P作PEAC于点E，求22PE的最大值及此时点P的坐标；（2）将抛物线yax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y，点M是抛物线y的对称轴上一点在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标【分析】（1）应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点C的坐标，可得直线AC的解析式，过点P作PFx轴于点F，交直线AC于点D，设点P（x，x23x+4），则D（x，x+4），应用二次函数最值可得线段PD的最大值，证明PDE是等腰直角三角形，可得出2PEPD，即可求得答案；（2）分两种情况：若CM平行于x

27、轴，如图，符合要求的有两个点N1，N2，此时N1AN2ACM；若CM不平行于x轴，如图所示，根据平行四边形的性质求解即可【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+4与x轴交于A（4，0）和B（1，0）两点，16a+4b+4=0a+b+4=0，解得：a=-1b=-3，这个二次函数的解析式为yx23x+4，二次函数yx23x+4与y轴交于点C，点C的坐标为（0，4），设直线AC的解析式为ykx+4，直线AC经过点A（4，0），04k+4，解得：k1，直线AC的解析式为yx+4，过点P作PFx轴于点F，交直线AC于点D，设点P（x，x23x+4），则D（x，x+4），PDx23x+4x4x24x（x+

28、2）2+4，当x2时，PD最大，最大值是4A（4，0），C（0，4），OAOC，OAC45，PFx轴，ADFPDE45，PEAC，PDE是等腰直角三角形，2PEPD，22PE=12PD，22PE的最大值为12PD=1242，此时点P的坐标为（2，6）；（2）由平移可求得平移后函数解析式为y（x+44）（x14）x2+5x，对称轴为x=52，分两种情况：若CM平行于x轴，如图，符合要求的有两个点N1，N2，此时N1AN2ACM=52，A（4，0），点N的坐标为（-32，0）或（-132，0）；若CM不平行于x轴，如图，设M（52，m），N（n，0），A（4，0），C（0，4），4+n0+52，n

29、=132，点N的坐标为（132，0）；综上，点N的坐标为（-32，0）或（-132，0）或（132，0）【题型5 二次函数中求线段和差最值】【例5】（2022春良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y=-34x2-94x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接AC、BC，将ABC绕点B顺时针旋转90，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NPBP|最大时点的坐标，并请直接写出|NPBP|的最大值【分析】（1）提取二次项系数后分解因式，可以得出抛物线与

30、x轴交点，令x0代入可以得到与y轴的交点，把解析式配方后可得对称轴；（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证OBCQNB即可分别求出M、N的坐标；（3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|NPBP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛物线解析式即可求出P的坐标【解答】解：（1）y=-34x2-94x+3=-34（x+4）（x1）=-34（x+32）2+7516，A（4，0），B（1，0），C（0，3），对称轴为直线x=-32；（2）如图所示：过N作NQx轴于点Q，由旋转性质得MBx轴，CBN90，BMAB5，BNBC，M（1，5），OBC+QBN90，OBC+BCO9

31、0，BCOQBN，又BOCNQB90，BNBC，OBCQNB（AAS），BQOC3，NQOB1，OQ1+34，N（4，1）；（3）设直线NB的解析式为ykx+bB（1，0）、N（4，1）在直线NB上，k+b=04k+b=1，解得：k=13b=-13，直线NB的解析式为：y=13x-13，当点P，N，B在同一直线上时|NPBP|NB=32+12=10，当点P，N，B不在同一条直线上时|NPBP|NB，当P，N，B在同一直线上时，|NPBP|的值最大，即点P为直线NB与抛物线的交点解方程组：y=13x-13y=-34x2-94x+3，解得：x1=1y1=0或x2=-409y2=-4927，当P的坐

32、标为（1，0）或（-409，-4927）时，|NPBP|的值最大，此时最大值为10【变式5-1】（2022濠江区一模）已知二次函数yx2+（m+1）x+4m+9（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；（2）当m3时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N若点P是x轴上的动点，求PNPM的最大值及对应的点P的坐标；设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得OQH是以点Q为直角顶点的等腰RtOQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据二次函数解析式化为yx2+x+m（x+4）+9，当x4时，y与m无关，将x4代入取出y的值即

33、可（2）当m3时，二次函数的解析式为yx22x3；当点P，M，N三点在一条直线上时，|PMPN|取得最大值，求得直线MN的解析式，再求得点P的坐标，利用勾股定理即可求解；分两种情况，利用全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的特征，即可求解【解答】解：（1）yx2+（m+1）x+4m+9x2+x+m（x+4）+9，当x4时，m（x+4）0，y（4）2+（4）+0+921，对于任意m，二次函数都会经过一个定点（4，21）（2）当m3时，二次函数的解析式为yx22x3，M（0，3），顶点N（1，4），|PNPM|MN，当点P，M，N三点在一条直线上时，|PNPM|取得最大值；如图，连接MN并延长，

34、交x轴于点P，M（0，3），顶点N（1，4），直线MN的解析式为：yx3，P（3，0），MN=2，|PNPM|的最大值为2，且此时P（3，0）设点H为（t，t3），OQH是以点Q为直角顶点的等腰RtOQH，当OQH是以点Q为直角顶点的等腰RtOQH，且Q在x轴上方时，过点Q作QFy轴于点F，过点H作HEy轴交直线QF于点E，如图：设QFm，OFn，Q（m，n），OQH是以点Q为直角顶点的等腰RtOQH，即OQH90，OQQH，EQH+FQO90，FOQ+FQO90，EQHFOQ，EQHFOQ（AAS），EQOFn，EHQFm，点H的坐标为（mn，nm），点H在直线MN上，nmm+n3，解得m=

35、32当x=-32时，y（-32）22（-32）3=94，Q（-32，94）当OQH是以点Q为直角顶点的等腰RtOQH，且点Q在x轴下方时，过点Q作QDx轴点D，过点H作HCx轴交直线QD于点C，如图：设QFp，OFq，Q（p，q），同理可得，CQHDOQ（AAS），CQODp，CHQDq，点H的坐标为（pq，pq），点H在直线MN上，pqp+q3，解得q=32Q（2-102，-32）或（2+102，-32）；综上，点Q的坐标为（-32，94）或（2-102，-32）或（2+102，-32）【变式5-2】（2022建华区二模）综合与实践如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y=12

36、x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线xt（t0）交x轴于点F（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为：（12，-34）；（3）在直线xt（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与OBC全等，请你直接写出点P的坐标；（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据正方形的性质可求得：C（0，1），D（1，1），再运用

37、待定系数法即可求得答案；（2）连接AD交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，则此时AG+CG最小，运用待定系数法求得直线AD的解析式为y=-12x-12，即可求得点G的坐标；（3）分两种情形：OBCFBP或OBCFPB，分别建立方程求解即可；（4）利用待定系数法可得直线AC的解析式为yx1，设M（m，m1）（m1），分三种情况：当OM、AN为对角线时，如图1，当AM、ON为对角线时，如图2，当OA、MN为对角线时，如图3，分别画出图形，根据菱形性质建立方程求解即可得出答案【解答】解：（1）E（1，0），OE1，四边形OCDE是正方形，OCCDCEOE1，CDEDEOOCD90，C（0，1），

38、D（1，1），抛物线y=12x2+bx+c经过点C（0，1），点D（1，1），c=-112+b+c=-1，解得：c=-1b=-12，抛物线解析式为：y=12x2-12x1，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），令y0，即有12x2-12x10，整理得：（x+1）（x2）0，解得：x11，x22，A点坐标为（1，0），B点坐标为（2，0）；（2）G点坐标为：（12，-34），理由如下：抛物线y=12x2-12x1经过C（0，1），D（1，1），C、D关于抛物线的对称轴：直线x=12对称，连接AD交抛物线的对称轴于点G，连接CG，如图，则此时AG+CG最小，C、D关

39、于抛物线的对称轴：直线x=12对称，CGDG，AG+CGAG+DGAD（两点之间，线段最短）A（1，0），D（1，1），直线AD的解析式为y=-12x-12，连接AD交抛物线的对称轴：直线x=12于点G，当x=12时，y=-1212-12=-34，G（12，-34）；故答案为：（12，-34）；（3）符合条件的点P的坐标为（4，1）或（3，2），理由如下：由（1）知C（0，1），B（2，0），x轴y轴（即OCAB），OC1，OB2，BOC90，BC=5，在直线xt（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与OBC全等，OFt，PFx轴BFOFOBt2，分两种情形：OBCF

40、BP或OBCFPB，BPBC=5，FPOC1，BFOB2或BPBC=5，FPOB2，BFOC1，t22或t21，t4或t3，P（4，1）或（3，2）；（4）存在符合条件的点M和N，点N坐标为（1，1）或（-12，12）或（12，-123），理由如下：设直线AC的解析式为ykx+d，把A（1，0），C（0，1）代入，得：-k+d=0d=-1，解得：k=-1d=-1，直线AC的解析式为yx1，点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，设M（m，m1）（m1），当OM、AN为对角线时，如图1，四边形OAMN是菱形，AMMNOA1，MNOA，（m+1）2+（m1）21，解得：m1+22或m1-22（不符

41、合题意，舍去），M（1+22，-22），N（22，-22）；当AM、ON为对角线时，如图2，四边形OAMN是菱形，ANMNOAOM1，MNOA，ANOM，m2+（m1）21，解得：m0或m1（不符合题意，舍去），M（0，1），N（1，1）；当OA、MN为对角线时，如图3，四边形OAMN是菱形，MNOA，AMOM，MN与OA互相垂直平分，即M与N关于x轴对称，（m+1）2+（m1）2m2+（m1）2，解得：m=-12，M（-12，-12），N（-12，12）；综上所述，点N的坐标为（22，-22）或（1，1）或（-12，12）【变式5-3】（2022南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点

42、，OA6，其顶点与x轴的距离是6（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线yx+m与抛物线的对称轴交于点Q当POQ与PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值【分析】（1）由题意可得ya（x3）26，再将（0，0）代入求出a的值即可求函数的解析式；（2）设直线yx+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，则OE|m|，AF|6+m|，由题意可知直线yx+m与坐标轴的夹角为45，求出OM=22|m|，AN=22|6+m|，再由|m|：|6+m|1：3，求出m的值即可；设P（t，23t

43、24t），过P作PEy轴交AB于点E，过P作PFBQ交于F，求出直线AB的解析式后可求E（t，t+6），则PE=-23t2+3t+6，由直线AB与直线PQ的解析式，能确定两直线互相垂直，可求CQ=22BQ，CP=22PE，则PC+CQ=-223（t3）2+92，即可求PC+CQ的最大值【解答】解：（1）OA6，抛物线的对称轴为直线x3，设抛物线的解析式为ya（x3）2+k，顶点与x轴的距离是6，顶点为（3，6），ya（x3）26，抛物线经过原点，9a60，a=23，y=23（x3）26；（2）设直线yx+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，E（0，m），F（m，0），OE|m|，AF|6+m

44、|，直线yx+m与坐标轴的夹角为45，OM=22|m|，AN=22|6+m|，SPOQ：SPAQ1：3，OM：AN1：3，|m|：|6+m|1：3，解得m=-32或m3；设P（t，23t24t），过P作PEy轴交AB于点E，过P作PFBQ交于F，设直线AB的解析式为ykx+b，6k+b=03k+b=3，解得k=-1b=6，yx+6，E（t，t+6），PEt+6（23t24t）=-23t2+3t+6，设直线AB与y轴交点为G，令x0，则y6，G（0，6），OGOA6，OGA45，设直线PQ与x轴交点为K，与y轴交点为L，直线PQ的解析式为yx+m，令x0，则ymL（0，m），令y0，则xm，K（

45、m，0），OLOK，OLK45，GCL90，PFFQ3t，设BF与x轴交点为H，FH=-23t2+4t，HQ=-23t2+4t3+t=-23t2+5t3，BQ3-23t2+5t3=-23t2+5t，CQ=22BQ=22（-23t2+5t），CP=22PE=22（-23t2+3t+6），PC+CQ=22（-23t2+3t+6）+22（-23t2+5t）=22（-43t2+8t+6）=-223（t3）2+92，当t3时，PC+CQ的最大值为92【题型6 二次函数中求周长最值】【例6】（2022南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2ax+4与x轴交于点A（4，0），B（x2，0），与

46、y轴交于点C经过点B的直线ykx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当AEP的周长最小时，求点P的坐标；（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MNy轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点B、C坐标；（2）利用待定系数法可求出一次函数解析式，由A、B关于对称轴对称，则BE与抛物线对称轴交点，即为AEP的周长最小时，点P的坐标；（3）由MNCD可知MN为平行四边形

47、的边，设点M的坐标为（m，m+2），则点N的坐标为（m，-12m2-m+4），利用MNCD，可得到关于m的方程，从而求出点M的坐标【解答】解：（1）点A（4，0）在抛物线yax2+2ax+4上，016a8a+4，a=-12，y=-12x2-x+4令y0，得-12x2-x+4=0解得：x14，x22，点B的坐标为（2，0），令x0，则y4，点C的坐标为（0，4）；（2）如图，由y=-12x2-x+4，可得对称轴为：x=-12(-12)=-1，AEP的边AE是定长，当PE+PA的值最小时，AEP的周长最小点A关于x1的对称点为点B，当点P是BE与直线x1的交点时，PE+PA的值最小直线BE经过点B

48、（2，0），D（0，2），0=2k+b2=b，解得k=-1b=2，直线BE：yx+2，令x1，得y3，当AEP的周长最小时，点P的坐标为（1，3）；（3）存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形MNCD，要使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则MNCD即可，CD422，MNCD2，点M在直线yx+2上，可设点M的坐标为（m，m+2），则点N的坐标为（m，-12m2-m+4），|-m+2+12m2+m-4|=2，即|12m2-2|=2，当12m2-2=2时，解得m=22，此时点M的坐标为：（22，2-22）或（-22，2+22），当12m2-2=-2时，解得m0（舍去

49、），综上所述，存在点M使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：（22，2-22）或（-22，2+22）【变式6-1】（2022乐业县二模）如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PBC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把A（1.0），B（3.0）两点代入抛物线的解析式，利用待定系数法

50、求解抛物线的解析式即可；（2）先求解抛物线的对称轴为x1，结合A、B关于直线x1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时CPBCPB+PC+BCAC+BC，此时BPC的周长最短，再求AC的解析式即可得到答案；（3）分三种情况讨论，再利用中点坐标公式列方程，从而可得答案【解答】解：（1）抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，a-b-3=09a+3b-3=0，解得：a=1b=-2，抛物线的函数表达式为yx22x3；（2）yx22x3（x1）24，抛物线的对称轴为x1，A、B关于直线x1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时CPBCPB+PC+BCAC+BC，此时BPC的

51、周长最短，点C的横坐标是2，yC222233，C（2，3），设直线AC的解析式为ymx+n（m0），2m+n=-3-m+n=0，解得：m=-1n=-1，直线AC的解析式为yx1，当x1时，y112，P（1，2）；（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形A（1，0），B（3，0），C（2，3），设E（x，y），当AB为对角线时，则-1+3=2+x0+0=-3+y，解得：x=0y=3，E（0，3）；当AC为对角线时，则-1+2=3+x0-3=0+y，解得：x=-2y=-3，E（2，3）；当BC为对角线时，则3+2=-1+x0-3=0+y，解得：x=9y=-3，E（6，3）综

52、上所述，E点坐标为（0，3）或（2，3）或（6，3）【变式6-2】（2022覃塘区三模）如图，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（0，1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PCy轴与AB交于点C，PDAB于点D，连接PA（1）求抛物线的表达式；（2）当PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和PCD周长的最大值；（3）当PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标【分析】（1）利用特定系数解答，即可求解；（2）先求出直线AB的表达式为yx1，可得PCD是等直角三角形，从而得到PCD的周长为：PC+PD+CD（2+1）PC，设点P的坐标为（x，x24x1），则点C的坐标为（x，x

53、1），利用二次函数的性质，即可求解；（3）分三种情况讨论，即可求解【解答】解：（1）由题意得：c=-152+5b+c=4，解得：b=-4c=-1，则抛物线的表达式为：yx24x1；（2）设直线AB的表达式为：ykx+a（k0），A（0，1），B（5，4），a=-15k+a=4，解得：a=-1k=1，直线AB的表达式为：yx1，设直线AB交x轴于点M，当y0时，x1，OAOM1，AOM90，OAB45，CPy轴，DCPOAB45，PDAB，PCD是等腰直角三角形，即CDPD，PC=CD2+DP2=2CD，即CDPD=22PC，PCD的周长为：PC+PD+CD（2+1）PC，设点P的坐标为（x，x

54、24x1），则点C的坐标为（x，x1），（2+1）PC（2+1）（x1）（x24x1）（2+1）（x-52）2-254，（2+1）0，当x=52时，PCD周长取得最大值，最大值为254（2+1），此时点P的坐标为（52，-194）；（3）如图，过点A作P1Ay轴，交抛物线于点P1，CP1y轴，ACP145，ACP1是等腰直角三角形，点A （0，1），点P1的纵坐标为1，当y1时，1x24x1，解得：x14，x20（舍去），此时点P1（4，1）；如图，当P2AAB时，CP2y轴，ACP245，ACP2是等腰直角三角形，点C，P2关于直线AP1对称，设点P2（m，m24m1），则点C（m，m1），

55、12（m24m1）+（m）1，解得：m13，m20（舍去），此时点P2（3，4）；如图，若ACCP3，作CEy轴于点ECAE45，ACE是等腰直角三角形，即AECE，P3CAC=AE2+CE2=2CE，设点P3（m，m24m1），则点C（m，m1），（m1）（m24m1）=2m，解得：m15-2，m20（舍去），此时点p3（5-2，662）；综上所述，点P的坐标为（4，1）或（3，4）或（5-2，662）【变式6-3】（2022黄石模拟）如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），直线l：y=-12x-4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2

56、+85x+c上的一动点，过点P作PEx轴，垂足为E，交直线l于点F（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S求S关于m的函数解析式及S的最大值；点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求QOC周长的最小值及FQ的长【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）如图1，连接BP，先求得B（10，0），设P（m，15m2+85m4），可得Sm210m+20（m+5）2+45，利用二次函数性质即可求得答案；由可得：P（5，7），E（5，0），可得OEBE5，故点B与点O关于直线PE对称，连接BC交PE于点Q，则QOQB，

57、可得QO+QCQB+QCBC，此时QO+QC最小，即QOC的周长最小，运用勾股定理可得BC229，即可得出QOC的周长的最小值为：BC+OC229+4；运用待定系数法可得直线BC的解析式为y=-25x4，进而可得Q（5，2），F（5，-32），即可求得FQ的值【解答】解：（1）抛物线y=ax2+85x+c经过A（2，0）、C（0，4），4a+165+c=0c=-4，解得：a=15c=-4，该抛物线的表达式为y=15x2+85x4；（2）如图1，连接BP，抛物线y=15x2+85x4，令y0，得15x2+85x40，解得：x110，x22，B（10，0），设P（m，15m2+85m4），PEx轴

58、，E（m，0），OEm，BEm+10，PE（15m2+85m4）=-15m2-85m+4，SSPBE+S梯形OCPE=12（m+10）（-15m2-85m+4）+12（-15m2-85m+4+4）（m）m210m+20，Sm210m+20（m+5）2+45，当m5时，S的最大值为45；由得：当m5时，S的最大值为45，P（5，7），E（5，0），OEBE5，PEx轴，直线PE是线段OB的垂直平分线，点B与点O关于直线PE对称，连接BC交PE于点Q，则QOQB，QO+QCQB+QCBC，此时QO+QC最小，即QOC的周长最小，在RtBCO中，BC=OB2+OC2=102+42=229，QOC的周

59、长的最小值为：BC+OC229+4，设直线BC的解析式为ykx+b，把B（10，0），C（0，4）代入，得-10k+b=0b=-4，解得：k=-25b=-4，直线BC的解析式为y=-25x4，当x5时，y=-25（5）42，Q（5，2）；直线l的解析式为y=-12x4，当x5时，y=-12（5）4=-32，F（5，-32），FQ=-32-（2）=12，故QOC周长的最小值为229+4，FQ的长为12【题型7 二次函数中求面积最值】【例7】（2022三水区校级三模）已知抛物线yax22ax3a（a0）交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C（1）求点A的坐标；（2）若经过点A的直线ykx+

60、k交抛物线于点D当k0且a1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求SEBDSCEF的最大值；当k0且ka时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由【分析】（1）令y0，则ax22ax3a0，可求A点坐标；（2）联立方程组y=-x2+2x+3y=kx+k，求出D点坐标，求出直线BC的解析式，联立方程组y=kx+ky=-x+3，求出E点坐标，过D点作DGy轴交BC于点G，则可知G（3k，k），求出DG3kk2，可求SEBDSCEF2（k-158）2+8132，由此可求SEBDSCEF的最大值；设P（

61、1，t），Q（m，am22am3a），联立方程组y=ax2-2ax-3ay=ax+a，求出点D（4，5a），分三种情况讨论：当AP为矩形对角线时，DQ2AD2+AQ2，（1，-2677）；当AD为矩形对角线时，DA2DQ2+AQ2，P（1，4）；当AQ为矩形对角线时，AQ2AD2+DQ2，此时a无解【解答】解：（1）令y0，则ax22ax3a0，解得x1或x3，A（1，0），B（3，0）；（2）a1，yx2+2x+3，令x0，则y3，C（0，3），联立方程组y=-x2+2x+3y=kx+k，整理得，x2+（k2）x+k30，解得k1或k3k，D（3k，4kk2），设直线BC的解析式为ykx+b

62、，3k+b=0b=3，解得b=3k=-1，yx+3，过D点作DGy轴交BC于点G，G（3k，k），DG3kk2，联立方程组y=kx+ky=-x+3，解得x=3-k1+ky=4k1+k，E（3-k1+k，4k1+k），在ykx+k中，x0时，yk，F（0，k），SBDE=12（3-3-k1+k）（3kk2），SCEF=12（3k）3-k1+k，SEBDSCEF=12（3-3-k1+k）（3kk2）-12（3k）3-k1+k=12（3k）（4k3）2（k-158）2+8132，当k=158时，SEBDSCEF的最大值为8132；以A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：yax22ax3a

63、a（x1）24a，抛物线的对称轴为直线x1，设P（1，t），Q（m，am22am3a），ka，yaxa，联立方程组y=ax2-2ax-3ay=ax+a，解得x=4y=5a或x=-1y=0（舍），D（4，5a），当AP为矩形对角线时，DQ2AD2+AQ2，4+m0，tam22am+2a，m4，Q（4，21a），64+（16a）225+25a2+9+（21a）2，解得a=77，a0，a=-77，t=-2677，P（1，-2677）；当AD为矩形对角线时，DA2DQ2+AQ2，1+m3，5at+am22am3a，m2，Q（2，3a），25+25a29+9a2+4+64a2，解得a=12，a0，a=-

64、12，t4，P（1，4）；当AQ为矩形对角线时，AQ2AD2+DQ2，m15，t+5aam22am3a，m6，Q（6，21a），49+（21a）225+25a2+4+（16a）2，此时a无解；综上所述：P点坐标为（1，-2677）或（1，4）【变式7-1】（2022宜兴市二模）如图，抛物线yax2+bx+c（a为常数，且a0）与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E（1）求证OC=12OE；（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=-12时，求CMN的周长的最小值；（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合

65、时，四边形ABQC的面积取得最大值请判断小林猜想是否正确，并说理由【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）两点代入抛物线关系式，用a表示出b，c，用a表示出点C，点D的坐标，求出直线BD的关系式，即可表示出E点坐标，用a表示出OCOE，即可得出结论；（2）当a=-12时，抛物线为y=-12x2+x+32，作点C关于BE的对称点C，关于x轴的对称点C，连接CC，与OB交为M，与BE交点为N，此时CMN的周长最小，连接CE，求出点C的坐标，根据CMN周长的最小值为CM+CN+MNCM+CN+MNCC，算出最小值即可；（3）过Q作QKx轴，交BC于点K，设点Q的横坐标为x，用x表示出QK，再将四边

66、形分成两个三角形，用x表示出两个三角形的面积，可求出当x取32时，S四边形ABQC有最大值，对比D点的横坐标，说明小林猜想错误【解答】（1）证明：抛物线yax2+bx+c（a为常数，且a0）与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，a-b+c=09a+3b+c=0，解得b=-2ac=-3a，抛物线为yax22ax3aa（x1）24a，C（0，3a），D（1，4a），设直线BD的解析式为yk1x+b1，把B、D两点的坐标分别代入得：3k1+b1=0k1+b1=-4a，解得k1=2ab1=-6a，直线BD为y2ax6a，E（0，6a），OC3a，OE6a，OC=12OE；（2）解：当a=-12时

67、，抛物线为y=-12x2+x+32，作点C关于BE的对称点C，关于x轴的对称点C，连接CC，与OB交为M，与BE交点为N，此时CMN的周长最小，连接CE，如图所示：此时C（0，32），直线BE为yx+3，点E（0，3），OB3，OBOE3，BOE90，OEBOBE45，CCBE，CEBECC45，BE垂直平分CC，CECE3-32=32CNCN，CEBCEB45，CEC90，CEy轴，点C（32，3），C关于x轴的对称点C为（0，-32），CMCM，CMN周长的最小值为：CM+CN+MNCM+CN+MNCC=(32)2+(3+32)2=3102；（3）解：小林猜想不正确，理由如下：过Q作QKx

68、轴，交BC于点K，B（3，0），C（0，3a），直线BC为yax3a，设点Q的横坐标为x，则Q（x，ax22ax3a），K（x，ax3a），QKax22ax3a（ax3a）ax23ax，S四边形ABQCSABC+SBQC=124（3a）+12（ax23ax）3=32a（x-32）2-27a8-6a，a0，当点Q的横坐标为x=32时，S四边形ABQC有最大值，点D的横坐标是1，四边形ABQC的面积取得最大值时，点Q与点D不重合，小林猜想不正确【变式7-2】（2022秋九龙坡区校级月考）如图，直线y=-34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-38x2+34x+c经过A、B两点，与x轴

69、的另一个交点为C，点P是第一象限抛物线上的点，连结OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，当四边形PACB面积最大时，SBPQSOAQ=14【分析】先求出A，B坐标，在用待定系数法求出抛物线解析式，再判断当四边形PACB面积最大时点P的坐标（2，3），得到直线PBOA；，再求出点Q的坐标，然后用三角形的面积即可得出结论【解答】解：对于y=-34x+3，令x0，则y3，令y0，则x4，故点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），抛物线y=-38x2+34x+c经过B点，c3，抛物线的表达式为y=-38x2+34x+3，令y0，则-38x2+34x+30，解得：x12，x24，C（2，0），

70、S四边形PACBSPAB+SACB，SABC为定值，当SPAB最大时，四边形PACB面积最大，平移直线AB至和抛物线相切时，切点即为点P，此时SPAB最大，设平行于直线AB且和抛物线相切的直线为y=-34x+b，联立方程组得y=-38x2+34x+3y=-34x+b，化简得：-38x2+32x+3b0，（32）24（-38）（3b）0，解得：b=92，把b=92代入得并化简得：x24x+40，解得：x1x22，y3，P（2，3），B（0，3），PBOA，设直线OP的表达式为：ykx，将点P坐标代入上式并解得：k=32，则直线OP的表达式为：y=32x，联立方程组y=32xy=-34x+3，解得

71、：x=43，y2，即点Q（43，2），故yQ2，则BPQ的高为321，SPBQSOAQ=12BP112OA2=242=14故答案为：14【变式7-3】（2022大庆三模）如图，已知抛物线y=14x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x2，直线ykx（k0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线ymx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OCCD（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当GDF面积最大时，点G的坐标及GDF面积的最大值；【分析】（1）先根据点C的坐标，确

72、定c的值，根据抛物线的对称轴为x2得出b的值，即可得出抛物线的解析式；根据OCCD，得出点D的坐标，利用待定系数法即可得直线DE的函数解析式；（2）过点G作GQy轴，交DE于点Q，联立y=14x2-x+2y=-4x+4，求出点F的横坐标，设点G（t，14t2t+2），则点Q（t，t+4），GQ=-14t2+2，即可表示出SGDF=-24t2+22求出结果即可；【解答】解：（1）抛物线y=14x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），c2，抛物线的对称轴为x2，-b214=2，b1，抛物线的函数表达式为：y=14x2x+2，OCCD，D（0，4），又直线ymx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0

73、），4m+n=0n=4，m=-1n=4，直线DE的函数表达式为yx+4；（2）过点G作GQy轴，交DE于点Q，如图所示：联立y=14x2-x+2y=-4x+4，解得x122，x222，点F的横坐标为22，设点G（t，14t2t+2），则点Q（t，t+4），GQt+4（14t2t+2）=-14t2+2，SGDFSGQFSGQD=12（-14t2+2）（22-t）-12（-14t2+2）（t），=12（-14t2+2）22=-24t2+22当x0时，即点G的坐标为（0，2）时，GDF面积有最大值为22【题型8 二次函数在新定义中求最值】【例8】（2022安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和

74、纵坐标相等，则称点P为和谐点例如：点（1，1），（12，12），（-2，-2），都是和谐点（1）判断函数y2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数yax2+6x+c（a0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）求a，c的值；若1xm时，函数yax2+6x+c+14（a0）的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围【分析】（1）设函数y2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1x，求解即可；（2）将点（52，52）代入yax2+6x+c，再由ax2+6x+cx有且只有一个根，254ac0，两个方程联立即可求a、c的值；由可知yx2+6x6（x3）2+3，当

75、x1时，y1，当x3时，y3，当x5时，y1，则3m5时满足题意【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，设函数y2x+1的和谐点为（x，x），2x+1x，解得x1，和谐点为（1，1）；（2）点（52，52）是二次函数yax2+6x+c（a0）的和谐点，52=254a+15+c，c=-254a-252，二次函数yax2+6x+c（a0）的图象上有且只有一个和谐点，ax2+6x+cx有且只有一个根，254ac0，a1，c=-254；由可知yx2+6x6（x3）2+3，抛物线的对称轴为直线x3，当x1时，y1，当x3时，y3，当x5时，y1，函数的最大值为3，最小值为1；当3m5时，函数的最大值为3

76、，最小值为1【变式8-1】（2022姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”如图2，已知M（4，1），N（2，3），点P（m，n）（1）若m2，n4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为 18，面积为 18；若m2，点M，N，P

77、的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y2x+5上求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线yax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，2m1或1m3，直接写出抛物线的解析式【分析】（1）利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；（2）利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y7，y3代入y2x+5，可得x分别为1，5，点P的坐标为（1，7）或

78、（4，3）；（3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式【解答】解：（1）如图，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+318，面积为3618；故答案为：18，18M（4，1），N（2，3），|xMxN|6，|yMyN|2又m2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24此矩形的邻边长分别为6，4n1或5（2）如图，由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；分别将y3，y1代入y2x+5，可得x分别为1，2；结合图象可知：1m2；当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，分别将y7，y3代入y2x+5，可得x分别为1，4；点

79、P的坐标为（1，7）或（4，3）；（3）如图，设抛物线的解析式为yax2+bx+c，经过点（1，1），（1，1），（3，3），a-b+c=1a+b+c=19a+3b+c=3，a=14b=0c=34，y=14x2+34，同理抛物线经过点（1，3），（1，3），（3，1），可求得抛物线的解析式为y=-14x2+134，抛物线的解析式y=14x2+34或y=-14x2+134【变式8-2】（2022碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形问题发现：（1）如图1，筝形ABCD中，ADCD，ABCB，若AC+BD12，求筝形ABCD的面积的最大值；问题解决：（2）如图2是一块矩形铁片ABC

80、D，其中AB60厘米，BC90厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH，要求点E是AB边的中点，点F、G、H分别在BC、CD、AD上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH的面积最大？若存在，求出筝形EFGH的面积最大值，若不存在，请说明理由【分析】（1）根据题意可得，S四边形ABCDSADC+SABC=12ACDE+12ACBE=12ACBD，因为AC+BD12，所以BD12AC，代入面积，利用二次函数的性质可求出最大值；（2）由（1）的分析可知，当点G与点C重合时，作EG的垂直平分线，分别与AD，BC交于点H，F，此时筝形EFGH的面积最大，利用勾股定理分别求出DH和FG的长

81、，再利用面积的和差得出结论【解答】解：（1）ADCD，ABCB，BD为线段AC的垂直平分线，S四边形ABCDSADC+SABC=12ACDE+12ACBE=12ACBD，AC+BD12，S四边形ABCD=12AC（12AC）=-12（AC6）2+18，当AC6时，S四边形ABCD的最大值为18（2）存在，如图，由（1）的分析可知，当点G与点C重合时，作EG的垂直平分线，分别与AD，BC交于点H，F，此时筝形EFGH的面积最大，设DHm，则AH60m，根据勾股定理可知，EH2AH2+AE2（60m）2+302，EG2m2+602，EHHG，（60m）2+302m2+602，解得m30设FGn，则

82、EFn，BF60n，由勾股定理可得，EF2BE2+BF2，即n2（60n）2+302，解得n50，S四边形EFGHS矩形ABCDSBEFSAEHSDCH6030-123040-123060-1230603000，综上，存在，当BF40，AH60时，筝形EFGH的面积最大值为3000平方厘米【变式8-3】（2022春崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1x2|+|y1y2|叫做P1，P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P2）（1）若A为（3，2），O为坐标原点，则d（O，A）5；（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）2，请写

83、出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（3）若M（1，1），点N为抛物线yx21上一动点，求d（M，N）的最小“转角距离”【分析】（1）由A与原点O的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）利用题中的新定义列出x与y的关系式，画出相应的图象即可；（3）由条件可得到|x2|+|x1|，分情况去掉绝对值号，根据二次函数的性质进行讨论即可【解答】解：（1）d（O，A）|30|+|20|5；故答案为：5；（2）O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）2，|0x|+|0y|x|+|y|2，所有符合条件的点P组成的图形如图所示；（3）点N为抛物线y

84、x21上一动点，设N（x，x21），M（1，1），则d（M，N）|x1|+|x211|x1|+|x22|，当x2时，d（M，N）x1+x22x2+x3（x+12）2-134，x=2时，d（M，N）的最小“转角距离”为2-1；当1x2时，d（M，N）x1+2x2x2+x+1（x-12）2+54，x=2时，d（M，N）的最小“转角距离”为2-1；当-2x1时，d（M，N）1x+2x2x2x+3（x+12）2+134，x1时，d（M，N）的最小“转角距离”为1；当x-2时，d（M，N）1x+x22x2x1（x-12）2-54，x=-2时，d（M，N）的最小“转角距离”为2+1；综上可知，d（M，N）的最小“转角距离”为2-1