26.1 反比例函数-2022-2023学年九年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）.docx

1、26.1.反比例函数考点1反比例函数的概念（1）一般地，形如y=_（k为常数，k0）的函数，叫做反比例函数其中x是自变量，y是函数自变量x的取值范围是不等于0的一切实数反比例函数解析式还有其他两种形式：y=kx-1（k为常数，k0）；xy=k（k为常数，k0）（2）反比例函数y=中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数，若k=0，则y=0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义考点2用待定系数法求反比例函数的解析式用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：（1）设根据题意，设反比例函数的解析式为；（2）代把它的一对对应值（x，y）

2、代入中，得到关于k的方程；（3）解解方程，求出常数k；（4）写把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式考点3反比例函数的图象和性质反比例函数k的符号k0k时的的取值范围；(3)求的面积一：选择题30（2022湖南新田县教研室九年级期中）对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A图像分布在二、四象限内B图像经过点C当时，随的增大而增大D若点，都在反比例函数的图像上，且时，则31（2022江苏张家港市梁丰初级中学）如图，点P在y轴正半轴上，P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交P于C，且P的半径为，AB=4若函数的图像过C点，则k的值是（）ABCD432（2022安徽合肥九年级期中）如图，反比

3、例函数（）的图象上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为（）A1B2C4D833（2022吉林长春市第八十七中学九年级期中）如图，点B为反比例函数（）上的一点，点为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转90；点B的对应点为点C若点C恰好也在反比例函数的图象上，且C点的横坐标是A点横坐标的两倍，则k（）ABCD34（2022重庆第二外国语学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，正方形的顶点A，B在第二象限内，且点A，B在反比例函数的图象上，点C在第三象限内其中，点A的纵坐标为3，则的值为（）ABCD二、填空题35（2023辽宁大连理工大学附属学校九年级阶段练习）给出下列函数：；（x0）其

4、中y随x的增大而减小的函数是_36（2022湖南邵阳九年级期中）如图，点M是反比例函数图象上的一点，轴于点N，若，那么k的值是_37（2022湖南邵阳九年级期中）已知点是反比例函数图象上的三点，且，那么用“0时，当k0时，的图象分居在第一、第三象限，可排除C、D选项，再由（），图象必经过第二、第四象限，又因b=2，图象经过点（0.2），所以图象经过第一、第二、第四象限，可排除B，故A符合题意；当k时的的取值范围为（3）设直线交轴于，时，解得：，点，【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、利用图像求不等式的解集，待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，分割法求三角形面积，熟练掌握反比例函数图形

5、上点的坐标特征是解题关键30D【分析】根据反比例函数的性质即可求解【详解】解：反比例函数，图像在第二、四象限，选项正确；当时，选项正确；根据图像可知，当时，随的增大而增大，选项正确；点，都在反比例函数的图像上，因为图像在第二、四象限，当点在第二项，点在第四象限时，时，则，则选项不正确，符合题意故选：【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数解析式理解反比例函数图像性质是解题的关键31B【分析】连接AC，由圆周角定理可知，在中由勾股定理可计算AC的长；由垂径定理可知，进而确定点C的坐标，最后将点C坐标代入即可计算出k的值【详解】如图，连接ACCB是直径，由圆周角定理可知在中，由勾股定理

6、可得：，轴是直径所在的直线，且轴，由垂径定理可得：点C的横坐标，纵坐标将代入，解得：故选：B【点睛】本题考查了在圆的背景下用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握垂径定理和圆周角定理并能使用数形结合思想解题，是本题的解题关键32B【分析】设P的坐标是，则，中，边上的高长度等于，根据的面积即可求解【详解】反比例函数（）的图象上有一点，设P的坐标是，故选：B【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注33C【分析】首先可证得，得出再得出点C的横坐标，进而得出点C的纵坐标，再利用求出点B

7、的纵坐标，进而得出点B的横坐标，最后根据，建立方程求解即可得出结论【详解】解：如图，过点C作轴于点E，过点B作轴于点F，由旋转知，C点的横坐标是A点横坐标的两倍，且点，点，点C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，故选：C【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，构造出是解本题的关键34B【分析】过点A作轴于E，过点B作轴，交于F，证明得到，根据图象上点的坐标特征得出，即可得到，则，解得即可【详解】解：过点A作轴于E，过点B作轴，交于F，在和中，点A，B在反比例函数的图象上，点A的纵坐标为3，解得（正数舍去），故选B【点睛】本题考查了正方

8、形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数与几何综合，关键是构造全等三角形，表示出点的坐标35#【分析】利用正比例函数、一次函数、反比例函数的性质，分别对每个选项进行判断即可【详解】解：正比例函数，故y随x的增大而增大，故不符合题意；一次函数，故y随x的增大而减小，故符合题意；反比例函数，取：，时，有，但；故不符合题意；反比例函数，故在第一象限内y随x的增大而减小，故符合题意；故答案为：【点睛】此题主要考查正比例函数、一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握每一种函数的性质以及函数的自变量取值的范围是解此题的关键36【分析】根据点是反比例函数（）的图像上一点，设，然后表示出，再通过的面积建立等式

9、，即可计算得到答案【详解】是反比例函数（）的图像上一点设 轴，垂足为点N 故答案为：【点睛】本题考察了反比例函数、直角坐标系、直角三角形的知识；求解的关键的熟练掌握反比例函数、直角三角形性质，结合直角坐标系，从而计算得到答案37【分析】根据反比例函数的比例系数，判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据判断出的大小即可【详解】解：反比例函数的比例系数，该反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，又，故答案为【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的图象与性质注意反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式38#2.5【分

10、析】连接，设与y轴交于点D根据题意可知再根据反比例函数比例系数k的几何意义可求出，最后由求解即可【详解】如图，连接，设与y轴交于点D轴，和同底等高，故答案为：【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义正确的作出辅助线是解题关键39 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求解即可；（2）设点的坐标为，易得，；然后列不等式组求解即可；【详解】解：（1）将代入双曲线得：解得：；（2）点在线段上，点的纵坐标为由（1）可知，该反比例函数的解析式为：故可设点的坐标为，其中；则，由题意可得：解得：故答案为：；【点睛】本题考查了求反比例函数的比例系数、不等式组等知识点；解题的关键是根据题意列出不等式组

11、，注意不要忽略这个隐含条件40【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先在中，表示出和的长度，表示出的坐标，代入反比例函数解析式，求出的长度和的长度，表示出的坐标，同理可求得、的坐标，即可发现一般规律【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，为等边三角形，设的长度为，则的坐标为，把代入得，解得或（舍去），设的长度为，同理得到，则的坐标表示为，把代入得，解得或（舍去）， 设的长度为，同理，为，的坐标表示为，把代入得，综上可得：的坐标是故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质、点的坐标变化规律探究、反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式灵

12、活运用各类知识求出、的坐标是解题的关键41(1)，（）(2)(3)【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，从而求得点坐标，代入一次函数即可求解；（2）根据图象确定一次函数大于反比例函数的范围，即可求解；（3）作点关于轴的对称点，连接，的最小值等于的长，求解即可【详解】（1）反比例函数（）过点，反比例函数解析式为（），将代入得，点的坐标为，将点，分别代入一次函数，可得解得一次函数的解析式为；（2）由图象可得：当时，的取值范围是；（3）如图，作点关于轴的对称点，则，连接，的最小值等于的长，的最小值为【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及了线段和的最小值，解题的关键是熟练掌握相关基础知识

13、42(1)反比例函数，一次函数(2)或(3)或【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据函数图像的交点横坐标以及两个函数图像的位置关系即可求解；（3）设平移后直线解析式为，联立方程组得到关于x的一元二次方程，结合判别式即可求解【详解】（1）解：把代入得：，反比例函数：，把代入，得：，把，代入得：，解得：，一次函数：；（2）解：由函数图像可知：的解为或；（3）设平移后直线解析式为，得，解得两图象只有一个交点，即，解得平移后直线解析式为：或【点睛】本题主要考查反比例函数以及一次函数综合，一元二次方程根的判别式，掌握待定系数法以及数形结合思想方法是关键43(1)，；(2)不存在，理由见解析【分

14、析】（1）将两点代入一次函数解析式，求得一次函数解析式以及点坐标，再将代入反比例函数，即可求解；（2）设点，求得的长度，根据全等三角形的性质，求解即可【详解】（1）解：将两点代入一次函数解析式，可得：，解得即：，将代入得，解得即（2）不存在，理由如下：设点，由题意可得：，即将代入得，即将代入得，即，即化简可得：判别式：无实根不存在点使得【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及了全等三角形的性质，一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握相关基本性质44(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为(2)(3)或【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数上，可得，把A、B两点代入一次函

15、数图象中得一次函数解析式为；（2）在中，令，得C的坐标，根据三角形的面积公式可求结果；（3）由一次函数与反比例函数的图象可知，不等式的解集【详解】（1）B点在反比例函数的图象上，反比例函数解析式为，A点，B点在一次函数图象上，代入一次函数解析式可得：，解得，一次函数解析式为（2）在中，令可得，C点坐标为，又A为，B为，A到OC的距离为4，B到OC的距离为2，即（3）由一次函数与反比例函数的图象可知，当或时反比例函数图象在一次函数图象的下方，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值，即不等式的解集是或【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的性质，解本题的关键熟练掌握一次函数和反比例函数的性质45(

16、1)，；(2)；(3)或【分析】（1）根据矩形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的表达式，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）分为平行四边形的边、为平行四边形的对角线两种情况，根据平行四边形的性质计算即可【详解】（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，反比例函数的表达式为：，由题意得，点的横坐标为4，则点的纵坐标为：，点的坐标为；（2）解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，由题意得：，解得：，的面积等于的面积时，点的坐标；（3）解：当为平行四边形的边时，点的坐标为，点的坐标为，点的纵坐标为0，点的纵坐标为，当时，（不合题意，舍去）当时，则点的坐标为，当为平行四边形对角线时，点的坐标为，点的坐标为，的中点坐标为，设点的坐标为，点的坐标为，则，解得：，点的坐标为，综上所述：以点，为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或、