2、微专题：任意角的正弦 余弦 正切 余切-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册.docx

1、【学生版】微专题：任意角的正弦 余弦 正切 余切1、任意角的正弦、余弦、正切、余切对于任意角来说，设P(x，y)是终边上异于原点的任意一点，称为角的正弦，记作sin ；称为角的余弦，记作cos ，因此sin ，cos ;当角的终边不在y轴上时，称为角的正切，记作tan ，即tan ，称为角的正切，记作cot ，即cot；角的正弦、余弦、正切、余切都称为的三角函数；还有正割（）、余割（）；【注意】（1），其中，；其中，（2）正弦、余弦、正切、余切在各象限的符号 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”；2、单位圆与三角函数线（1）一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2y21的点组成的集合称为单

2、位圆；（2）正弦线、余弦线与正切线如果角的终边与单位圆的交点为，则的坐标为.正弦线与余弦线：过角终边与单位圆的交点作x轴的垂线，垂足为M，当的方向与x轴的正方向相同时，表示cos 是正数，且cos ，当的方向与x轴的正方向相反时，表示cos 是负数，且cos ，称为角的余弦线，类似地，可以直观的表示sin ，称为角的正弦线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线【典例】考点1、三角比数的定义例1、已知角的终边经过点，求：的值。【提示】【答案】 【解析】【说明】考点2、三角比的符号例2、已知，判断的符号考点3、单位圆例3、已知角的终边与单位圆的交点为P，则sin tan 等于

3、()A B C D【提示】【答案】【解析】方法1、方法2、【说明】考点4、用三角函数线证明三角不等式例4、若，证明：（1）；（2）；考点5、用三角函数线解三角不等式例5、满足的角的集合为 【归纳】1、任意角的正弦、余弦、正切与余切（1）一般地，设角的终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为，则；（2）在任意角的三角比的定义中，应该明确：是一个任意角，其范围是使比值有意义的实数集（弧度制）；（3）三角比是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在中边上的位置无关，而由角的终边位置决定；（4）要明确是一个整体，不是与的乘积，它是“正弦比”的一个记号，就如表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“”、“”

4、、“”、 “”比值没有意义的；2、对任意角的正弦、余弦、正切与余切的理解（1）正弦、余弦、正切与余切的限制条件三角函数定义域 R R （2）正弦、余弦、正切与余切的符号规则根据三角比的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限）可得正弦、余弦、正切、余切在各个象限内的符号的符号规律概括为下面口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负；（3）单位圆与三角函数线定义：设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)设角终边与单位圆交于P(x，y)，则s

5、in y，cos x，tan (x0)三角函数线可以看作是三角比的几何表示：正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线； 【即时练习】1、已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()A B C. D. 2、(2018北京)在平面直角坐标系中，是圆x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边，若tan cos 0，则实数a的取值范围是 7、已知点M在角终边的反向延长线上，且|OM|2，则点M的坐标为 8、利用单位圆中的三角函数线确定满足的角的取值范

6、围为 9、若角的终边过点P(4a,3a)(a0)（1）求sin cos 的值；（2）试判断cos(sin )sin (cos )的符号10、将图（1）中所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设P到底面的高OT为（m），点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为r（m）记以OP为终边的角为，点P离底面的高度为h（m），试用表示 【教师版】微专题：任意角的正弦 余弦 正切 余切1、任意角的正弦、余弦、正切、余切对于任意角来说，设P(x，y)是终边上异于原点的任意一点，称为角的正弦，记作sin ；称为角的余弦，记作cos ，因此sin

7、 ，cos ;当角的终边不在y轴上时，称为角的正切，记作tan ，即tan ，称为角的正切，记作cot ，即cot；角的正弦、余弦、正切、余切都称为的三角函数；还有正割（）、余割（）；【注意】（1），其中，；其中，（2）正弦、余弦、正切、余切在各象限的符号 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”；2、单位圆与三角函数线（1）一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2y21的点组成的集合称为单位圆；（2）正弦线、余弦线与正切线如果角的终边与单位圆的交点为，则的坐标为.正弦线与余弦线：过角终边与单位圆的交点作x轴的垂线，垂足为M，当的方向与x轴的正方向相同时，表示cos 是正数，且cos ，当的方

8、向与x轴的正方向相反时，表示cos 是负数，且cos ，称为角的余弦线，类似地，可以直观的表示sin ，称为角的正弦线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线【典例】考点1、三角比数的定义例1、已知角的终边经过点，求：的值。【提示】由三角比的定义求得：、；【答案】或； 【解析】若，点在第四象限；所以，,，则； 若，点在第二象限；.所以， ，则；【说明】本题主要为了利用三角比，得先求；由此，“遇到问题，引出讨论”，因的符号不确定，所以要对字母进行讨论；分：当，点在第四象限，当，点在第二象限；属“依据三角比定义求解”的必须步骤；【注意问题】对于不同象限的角，求其三角函数值时，要

9、分象限进行讨论；终边在坐标轴上的角不属于任何象限；考点2、三角比的符号例2、已知，判断的符号【提示】注意：三角比的符号与终边相同角的表示之间的沟通；【解析】因为，所以，是第二象限角，；则；当，是第一象限角，；当，是第三象限角，所以，必为正数；【说明】本题说明三角比的符号与象限角以及象限角的研究过程、方法有密切联系；往往与分类讨论、数形结合进行交汇；考点3、单位圆例3、已知角的终边与单位圆的交点为P，则sin tan 等于()A B C D【提示】注意：三角比只与终边有关以及题设中的“单位圆”；【答案】C；【解析】设O为坐标原点，由OP2y21，得y2，y.方法1、当y时，sin ，tan ，此

10、时，sin tan ；当y时，sin ，tan ，此时，sin tan ；所以，sin tan ；方法2、由三角函数定义知，cos ，sin y，所以sin tan sin ；【说明】本题考查了利用单位圆，挖掘隐含条件“OP2y21”；同时，说明：对于三角若干种三角比的求值、化简题，有时“先化简后求值”、“用好三角比的定义”，可以更简洁明了；考点4、用三角函数线证明三角不等式例4、若，证明：（1）；（2）；【提示】注意：结合三角函数线的几何意义；【证明】如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PMOA于M，连接AP，则（1）在

11、RtPOM中，sin MP，cos OM，OP1，因为，在RtPOM中，MP+ OMOP，所以，sin +cos 1；（2）在RtAOT中，tan AT，又根据弧度制的定义，有OP.根据图形，得SPOAS扇形POASAOT，即OAMPOAOAAT，所以MPAT，即0sin tan ；【说明】通过本题说明：对于涉及多种三角比或单位为弧度的角之间关系时；用好三角函数线既可将解决的问题统一与等价转化；考点5、用三角函数线解三角不等式例5、满足的角的集合为 【提示】注意：在单位圆中用三角函数线直观表示；【答案】；【解析】作直线交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)

12、即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为；【说明】通过本例说明：用好三角函数线可以通过数形结合“直观”解三角方程与三角不等式；特别注意：利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围；【归纳】1、任意角的正弦、余弦、正切与余切（1）一般地，设角的终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为，则；（2）在任意角的三角比的定义中，应该明确：是一个任意角，其范围是使比值有意义的实数集（弧度制）；（3）三角比是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在中边上的位置无关，而由角的终边位置决定；（4）要明确是一个整体，不是与的乘积，它是“正弦比”的一个记号，就如表示自变量为x

13、的函数一样，离开自变量的“”、“”、“”、 “”比值没有意义的；2、对任意角的正弦、余弦、正切与余切的理解（1）正弦、余弦、正切与余切的限制条件三角函数定义域 R R （2）正弦、余弦、正切与余切的符号规则根据三角比的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限）可得正弦、余弦、正切、余切在各个象限内的符号的符号规律概括为下面口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负；（3）单位圆与三角函数线定义：设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)设角

14、终边与单位圆交于P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)三角函数线可以看作是三角比的几何表示：正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线； 【即时练习】1、已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()A B C. D. 【答案】C；【解析】由题意得点P(8m，3)，r，所以cos ，所以m.2、(2018北京)在平面直角坐标系中，是圆x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边，若tan cos sin ，不满足；在上，tan s

15、in ，不满足；在上，sin 0，cos 0，tan tan ，满足；在上，tan 0，sin 0，cos 0，不满足，故选C； 方法2、设点P的坐标为(x，y)，因为，tan cos sin ，利用三角函数的定义可得xy，所以1x0，0y1，所以P所在的圆弧是，故选C.3、已知角的终边经过点(3，4)，则sin 等于 【答案】；【解析】因为角的终边经过点(3，4)，所以sin ，cos ，所以sin ；. 4、设是第三象限角，且cos ，则是第 象限角；【答案】二；【解析】由是第三象限角知，为第二或第四象限角，因为cos ，所以cos 0，则实数a的取值范围是 【答案】(2， 3 【解析】因

16、为cos 0，sin 0，所以，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上所以，；7、已知点M在角终边的反向延长线上，且|OM|2，则点M的坐标为 【答案】(2cos ，2sin ) 【解析】由任意角的三角函数定义，可知角的终边上的点M的坐标为(2cos ，2sin )，其中|OM|2.因为|OM|2，所以点M和点M关于原点对称，所以点M的坐标为(2cos ，2sin )8、利用单位圆中的三角函数线确定满足的角的取值范围为 【答案】 或9、若角的终边过点P(4a,3a)(a0)（1）求sin cos 的值；（2）试判断cos(sin )sin (cos )的符号【解析】因为角的终边过点P(4a,3a

17、)(a0)，所以x4a，y3a，r5|a|，当a0时，r5a，sin cos ；当a0时，sin ，cos ，则cos(sin )sin(cos )cos sin0；当a0.综上，当a0时，cos(sin )sin(cos )的符号为负；当a0时，cos(sin )sin(cos )的符号为正；【说明】1、已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解2、已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值10、将图（1）中所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设P到底面的高OT为（m），点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为r（m）记以OP为终边的角为，点P离底面的高度为h（m），试用表示 【解析】过点P作x轴的垂线，垂足为M，则：当的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时，此时；当的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上时，因为，所以，此时；所以不管的终边在何处，都有.