3.1 函数的概念及其表示（精讲）（学生版）.docx

1、3.1函数的概念及其表示（精讲）一函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，使在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA二 函数的三要素1.定义域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；2.值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域3.解析式三函数的表示法常用方法有解析法、图象法和列表法四相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等五分段函数1.若函数在其定义域的不同子集上

2、，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数2.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集一 函数概念的理解 (1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同二常见函数定义域的类型1.分式型：要满足f(x)0（分式中分母不为零）2.根式型：开偶次方根时，被开方数大于等于0即(nN*)要满足f(x)0；3.幂函数型：f

3、(x)0要满足f(x)0；4.对数型：logaf(x)(a0，且a1)要满足f(x)0；5.正切型：tan f(x)要满足f(x)k，kZ注意事项：不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接二抽象函数的定义域的求法（对应法则不变，括号内等范围）1.若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域由ag(x)b求出；2.若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域三函数解析式的求法1.配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)

4、改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式2.待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法3.换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围4.解方程组：已知关于f(x)与f或f(x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)四值域1.分离常数法：分子分母同类型函数（形如y= ）或分子分母最高次是二次关系（形如） (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 分离常数反比例函数模型 分离常数模型 同时除以分子：的模型 分离常数的模型共同点：让分式的分子变为常数2.配方法：

5、形如型,用此种方法,注意自变量x的范围3.不等式法4.单调性法：若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.5.换元法 ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围. ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可. 形如型,可用此法求其值域.6.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.7.导数法利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域五分段函数1.求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入

6、该段的解析式求值，当出现ff(a)的形式时，应从内到外依次求值2.求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验3.求参数或自变量的值：先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可考法一 函数的概念【例1-1】（2023广东湛江）下列变量之间是函数关系的是（）A某十字路口通过汽车的数量与时间的关系B家庭的食品支出与电视机价格之间的关系C高速公路上行驶的汽车所行驶的路程与时间的关系D某同学期中考试的数学成绩与物理成绩的关系【例1-2】（2023安徽）下列各图中，不可能是函

7、数图象的是（）ABCD【一隅三反】1（2022上海）下列等量关系中，y是x的函数的是（）ABCD2（2022北京）（多选）下列图象中，能表示函数的图象的是（）ABCD3（2023广东深圳）（多选）下列是函数图象的是（）ABCD考法二 函数的定义域【例2-1】（1）（2023河北）函数的定义域是（）A BCD（2）（2023上海）函数的定义域是_【例2-2】（1）（2023春黑龙江哈尔滨高三哈九中校考开学考试）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A BCD（2）（2023江西）若函数的定义域为，则函数的定义域为（）ABCD【例2-3】（1）（2023北京）已知函数的定义域为，且，则的取值范围

8、是_（2）（2022秋海南）若函数的定义域为，则的范围是_.（3）（2023河南）当时，函数和有意义，则实数的取值范围是_.【一隅三反】1（2023河北）函数的定义域为（）ABCD2（2022秋四川）已知定义域为，则的定义域为（）ABCD3（2023陕西）已知函数，则函数的定义域为（）ABCD4（2023全国高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（）ABCD5（2023河北）函数的定义域为，则实数的值为_6.（2023吉林）若函数的定义域为，则的取值范围是_7（2023黑龙江）“”是“函数的定义域为R”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件考法三 函数

9、的解析式【例3】（2023广东潮州）（1）已知是一次函数，且满足，求 _（2）已知，则 （3）已知函数在定义域上单调，且时均有，则= （4）已知函数的定义域为，且，则 （5）已知，则_.【一隅三反】1（2023云南）定义在上的函数单调递增，且对，有，则_.2（2022全国高三专题练习）已知f(x)x2，则f（x+）_.3（2022全国高三专题练习）设若，则_.4（2023新疆）已知，则=_.5（2023北京）求下列函数的解析式：(1)已知，求的解析式；(2)已知，求的解析式；(3)已知是一次函数且，求的解析式；(4)已知满足，求的解析式.考法四 函数的值域【例4】（1）（2023上海）函数的值

10、域为_（2）（2023云南）函数的值域为_（3）（2023全国高三专题练习）函数的值域为_（4）（2023北京）函数的值域为 （5）（2023全国高三专题练习）函数的值域为_（6）（2023全国高三专题练习）函数y34的最小值为 【一隅三反】（2022全国高三专题练习）求下列函数的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.考法五 判断两个函数是否相等【例5】（2023高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A，B，C，D，【一隅三反】1（2023上海）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）ABCD2（2023江西）下列各组函数表示同一函数

11、的是（）A，B，C，D，3（2023内蒙古）下列各组函数是同一函数的是（）A与B与C与D与4（2022全国高三专题练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A，B，C ，D，考法六 分段函数【例6-1】（2023全国模拟预测）已知函数，则 （）A-6B0C4D6【例6-2】（2023北京）已知函数，则的最小值是（）A2B1C2D1【例6-3】（2023春宁夏）已知函数若，则实数的值为_.【一隅三反】1（2023西藏拉萨统考一模）已知函数，则（）A2B3C4D52（2023安徽校联考三模）函数的值域是_3（2023春湖南长沙高二长沙市明德中学校考期中）已知函数，若，则实数的值是（）A或5B3或C5D3或或54（2023陕西统考二模）已知函数，则的解集为_