湖北剩州市沙市第五中学高中数学第三章立体几何单元测试练习理新人教A版选修2_1.doc

1、立体几何单元测试（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2下列四个命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合两条直线可以确定一个平面若M，M，l，则Ml空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内A1 B2 C3 D43一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为，且一个内角为60的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为()A2 B4C4 D84体积为52的圆台，一个底面积是

2、另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A54 B54C58 D585设三条不同的直线a、b、c，两个不同的平面，b，c.则下列命题不成立的是()A若，c，则c B“若b，则”的逆命题C若a是c在的射影，ba，则cb D“若bc，则c”的逆否命题6正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.7设P是平面外一点，且P到平面内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是()A梯形 B圆外切四边形 C圆内接四边形 D任意四边形8用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac；若a，b，

3、则ab； 若a，b，则ab.其中真命题的序号是()A B C D9设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2 C.a2 D5a210正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB3，BB14，长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥RPQMN的体积是()A6 B10C12 D不确定11已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABmBACm CAB DAC12设，是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题：，则；若

4、，m ，m，则m；若m，n在内的射影互相垂直，则mn；若m，n，则mn.其中正确命题的个数为()A0 B1C2 D3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中横线上)13如图，一个空间几何体的主视图左视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是_14如图，点O为正方体ABCDABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的面上的正投影可能是_(填出所有可能的图的序号)15如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6，AD4，AA13，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分

5、别记为V1VAEA1DFD1，V2VEBE1A1FCF1D1，V3VB1E1BC1F1C.若V1V2V3141，则截面A1EFD1的面积为_16如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为AA1的中点，在对角面BDD1B1上取一点M，使AMME最小，其最小值为_选择题答案题号123456789101112答案填空题答案 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共6题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分) 已知正三棱锥VABC的侧棱长为4，俯视图如图所示(1)画出该

6、三棱锥的三视图；(2)求出侧视图的面积18(12分)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACCBAA12，D是AB的中点(1)求证：CD平面ABB1A1；(2)求二面角DA1CA的正切值19(12分) 图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ACBC2，AA14，AB2，M，N分别是棱CC1，AB中点(1)求证：CN平面ABB1A1；(2)求证：CN平面AMB1；(3)求三棱锥B1AMN的体积20(12分)如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，ADDC，PA底面ABCD，PAADABCD1，M为PB的中点(1)试在CD上确定一点N，使得MN平面PAD；(2)点N在满足

7、(1)的条件下，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值21(12分) 如图，M、N、P分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点(1)若，求证：无论点P在D1D上如何移动，总有BPMN；(2)若D1PPD12，且PB平面B1MN，求二面角MB1NB的余弦值；(3)棱DD1上是否总存在这样的点P，使得平面APC1平面ACC1？证明你的结论 22(14分)圆柱OO1内有一个三棱柱ABCA1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径.(1)求证：平面A1ACC1平面B1BCC1；(2)设ABAA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABCA1B1

8、C1内的概率为p.当点C在圆周上运动时，求p的最大值；记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为(090).当p取最大值时，求cos 的值.立体几何单元测试（理科）参考答案一、选择题1B在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件2A两个平面有三个公共点，若这三个公共点共线，则这两个平面相交，故不正确；两异面直线不能确定一个平面，故不正确；在空间交于一点的三条直线不一定共面，故不正确；据平面的性质可知正确3C由几何体的三视图可得，此几何体是由两个正四棱锥底面重合在一起组成的，

9、由主视图的面积为，得菱形的边长为1，此几何体的表面积为S8114.4A设圆台的上、下底面半径分别为r，R，截去的圆锥与原圆锥的高分别为h，H，则，又R29r2，R3r，H3h.R2Hr2h52.即R2HR2H52，R2H54.5B命题C即为三垂线定理；命题D中的原命题即为线面平行的判定定理，所以D正确；命题A显然成立；对于命题B，若，则b与的位置关系都有可能6D如图，连接BD交AC于O，连接D1O，由于BB1DD1，DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角，易知DD1O即为所求设正方体的棱长为1，则DD11，DO，D1O，cosDD1O.BB1与平面ACD1所成角的余弦值为

10、.7BP到平面内的四边形的四条边的距离都相等，则P在平面内的射影到四边形的四条边的距离也都相等，故四边形有内切圆8C由平行公理可知正确；不正确，若三条直线在同一平面内，则ac；不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知正确9B由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O、O1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又ADa，AOa，OO2，设球的半径为R，则R2AO22a2a2a2.S球4R24a2a2.10A四棱锥RPQMN的底面积为SSPQMSMNPPQACMNAC(PQMN)AC(13)36.其高h，VRPQMNSh66.11Dm

11、，m，l，ml.ABl，ABm.故A一定正确ACl，ml，ACm.从而B一定正确A，ABl，l，B.AB，l.AB.故C也正确ACl，当点C在平面内时，AC成立，当点C不在平面内时，AC不成立故D不一定成立12B本题为线面位置关系的判定，注意对线面平行与垂直的判定定理与性质定理的应用错，当两平面同时垂直于一个平面时，这两个平面也可以平行，如正方体相对的两个平面；正确，不妨过直线m作一平面与，同时相交，交线分别为a，b，由知ab，又mma，mb，又m，m；错，不妨设该直线为正方体的两对角线，其在底面的射影为正方形的两对角线，它们是互相垂直的，但正方体的两对角线不垂直；错，以正方形两平行棱，或一条

12、棱及与其相交的面对角线为例，可找到反例二、填空题13解析：由三视图知该几何体是底面半径为1，高为的圆锥因此，其体积V12.14解析：图为空间四边形DOEF在前面(或后面)上的投影图为空间四边形DOEF在左面(或右面)上的投影图为空间四边形DOEF在上面(或下面)上的投影答案：15解析：设AEx，BE6x，V1VAEA1DFD1，V2VEBE1A1FCF1D1，V3VB1E1BC1F1C，且V1V2V3141，所以(3x)4(6x)34(3x)4141，解得xAE2，A1E，SA1EFD14.答案：416解析：取CC1的中点F，连接EF，EF交平面BB1D1D于点N，且ENFN，所以F点是E点关

13、于平面BB1D1D的对称点，则AMMEAMMF，所以当A，M，F三点共线时，AMMF最小，即AMME最小，此时AMMFAF.答案：a三、解答题17解：(1)如图所示 (2)根据三视图间的关系可得BC2，侧视图中VA2，SVBC226.18解析：(1)证明：因为ACCB，ACB90，D是AB的中点，所以CDAB，又因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CDAA1，又ABAA1A，CD平面ABB1A1.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，ACCBAA12，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(1,1,0)，C(0,0,0)，C1(0,0,2)显然平面A1AC的法向量为m(0,1,0)，设平面A

14、1CD的法向量为n(x，y，z)，则，即，令x1，则n(1，1，1)，令m，n的夹角为，则cos ，二面角DA1CA的余弦值为，其正切值为.19解析(1)证明：因为三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，又因为CN平面ABC，所以AA1CN.因为ACBC2，N是AB中点，所以CNAB.因为AA1ABA，所以CN平面ABB1A1.(2)证明：取AB1的中点G，连结MG，NG，因为N，G分别是棱AB，AB1中点，所以NGBB1，NGBB1.又因为CMBB1，CMBB1，所以CMNG，CMNG.所以四边形CNGM是平行四边形所以CNMG.因为CN平面AMB1，GM平面AMB1，所以CN平面AM

15、B1.(3)由(2)知GM平面AB1N.所以VB1AMNVMAB1N4.20解析：方法一：(1)过点M作MEAB交PA于E点，连接DE.要使MN平面PAD，则MNED，四边形MNDE为平行四边形，EM綊DN.又EM綊AB，而ABCD，DNCD，DN.(2)MNED，直线MN与平面PAB所成的角即为直线ED与平面PAB所成的角PA面ABCD，PAAD，而ABAD，DA面PAB，DEA为直线ED与平面PAB所成的角由题设计算得DE，sinDEA.方法二：过点M作MEAB交PA于E点，连接DE.要使MN平面PAD，则MNED，四边形MNDE为平行四边形以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴，建

16、立空间直角坐标系Axyz，如图所示则由题意得A(0,0,0)、B(0,1,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、P(0,0,1)、M、N.(1)D，|D|.(2)PA面ABCD，PAAD，而ABAD，DA面PAB.又N，D(1,0,0)，cosN，D，直线MN与平面PAB所成的角的正弦值为.21解析：(1)证明：连接AC、BD，则BDAC，MNAC，BDMN.又DD1平面ABCD，DD1MN，BDDD1D，MN平面BDD1.又P无论在DD1上如何移动，总有BP平面BDD1，无论点P在D1D上如何移动，总有BPMN.(2)以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立

17、如图所示的坐标系设正方体的棱长为1，AMNCt，则M(1，t,0)，N(t,1,0)，B1(1,1,1)，P(0,0，)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，(0,1t,1)，B又BP平面MNB1，B0，即t10，t，M.设平面MNB1的法向量n(x，y，z)，由，得xy，zy.令y3，则n(3,3，2)AB平面BB1N，A是平面BB1N的一个法向量，A(0,1,0)设二面角MB1NB的大小为，cosn，A.则二面角MB1NB的余弦值为.(3)存在点P，且P为DD1的中点，使得平面APC1平面ACC1.证明：BDAC，BDCC1，BD平面ACC1.取BD1的中点E，连接PE，则PEBD，PE平

18、面ACC1.PE平面APC1，平面APC1平面ACC1.22【解析】(1)因为A1A平面ABC，BC平面ABC，所以A1ABC.因为AB是圆O的直径，所以BCAC.又ACA1AA，所以BC平面A1ACC1，而BC平面B1BCC1，所以平面A1ACC1平面B1BCC1.(2)设圆柱的底面半径为r，则ABAA12r，故三棱柱ABCA1B1C1的体积V1ACBC2rACBCr.又因为AC2BC2AB24r2.所以ACBC2r2，当且仅当ACBCr时等号成立.从而V12r3，而圆柱的体积Vr22r2r3，故p，当且仅当ACBCr，即OCAB时等号成立.所以p的最大值等于.由可知，p取最大值时，OCAB.于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，则C(r,0,0)，B(0，r,0)，B1(0，r,2r).因为BC平面A1ACC1，所以(r，r,0)是平面A1ACC1的一个法向量.设平面B1OC的法向量n(x，y，z)，取z1，得平面B1OC的一个法向量为n(0，2,1)，因为090，所以cos |cosn，|.