3.2 基本不等式-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）.docx

1、3.2基本不等式【考点梳理】考点一：基本不等式1如果a0，b0，当且仅当ab时，等号成立其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数2变形：ab2，a，bR，当且仅当ab时，等号成立ab2，a，b都是正数，当且仅当ab时，等号成立考点二：用基本不等式求最值用基本不等式求最值应注意x，y是正数；(如果xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2；如果xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2.【题型归纳】题型一：由基本不等式比较不等式的大小1已知，若，则下列不等式一定成立的是（）ABCD2对于，下列不等式中不成立的是（）ABCD3已知，均为正数，且，则（）ABCD题型二：基

2、本不等式求积的最大值4已知，且，则的最大值为（）A2B5CD5若则的最大值是（）A4B1CD不存在6的最大值为（）A9BC3D题型三：基本不等式求和的最小值7已知函数()，当时，取得最小值，则（）AB2C3D88若，则函数的最小值为（）A4B5C7D99当时，函数的最小值为（）ABCD4题型四：二次商式的最值问题（分离常数法）10已知正实数x，则的最大值是（）ABCD11已知，则 的最大值是（）ABC2D712已知正实数满足，则的最小值为（）A6B8C10D12题型五：基本不等式“1”的妙用13已知x，y都是正数，若，则的最小值为（）ABCD114若实数，满足，以下选项中正确的有（）A的最小值

3、为B的最小值为C的最小值为D的最小值为15已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（）Am2Bm4Cm6Dm8题型六：基本不等式的恒成立求参数问题16已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD17已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为（）A4B16C9D318函数的值域（）ABCD题型七：对勾函数最值问题19代数式的最小值是（）A4B2CkD不能确定20已知，则函数的最大值为（）A-1B-3C1D021下列命题正确的是（）A函数的最小值是2B若，且，则C函数的最小值是2D函数的最小值是题型八：基本不等式的实际问题的应用22某大型广场计划进行升级改造改造的重点工程之一是新

4、建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（）A20mB50mCmD100m232020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的

5、年销售量只能是2万件已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？题型九：基本不等式的综合应用24（1）已知，求的最小值；（2）已知x，y是正实数，且，求xy的最大值.25已知均为正实数(1)求证：(2)若，证明：26已知a，b，c均为正实数，求证：(1)；(2)【双基达标】一、单选题27下列的四个不等式中不一定成立的有（）Aa2+b

6、2+c2ab+bc+caBa（1-a）CD（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）228已知，则的最大值为（）A2B4C5D629的最小值为（）A1B2C3D430已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是（）ABCD31若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（）ABCD32已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（）ABCD333（1）已知，求的最小值；（2）已知，且，求的最小值34物流公司A拟在某城市港口建立某产品进口供货基地，该物流公司对周边商户、居民社区、道路、河道和水库、地区气候等信息进行调研后拟在一块矩形空地上建造大型仓库（如图所示）进行产品的储

7、存已知需要建造的两个仓库占地面积（图示中空白部分）均为40000平方米，仓库四周及中间（阴影部分）硬化为水泥路面，方便货物运输(1)若矩形仓库的长比宽至少多90米，但不超过300米，求仓库宽的取值范围；(2)若水泥路面宽度均为50米，求建造仓库与水泥路面所需要矩形空地的最小占地面积【高分突破】一、单选题35已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD36下列结论正确的是（）A当时，B当时，C当时，的最小值是D当时，的最小值为137权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y0，则，当且仅当时等号成立根据权方和不等式，函数

8、的最小值为（）A16B25C36D4938已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（）ABCD39已知正数x，y满足，则的最小值（）ABCD二、多选题40设正实数x，y满足2xy1，则（）Axy的最大值是B的最小值为9C4x2y2最小值为D最大值为241设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（）A的最小值为3B的最大值为1C的最小值为2D的最小值为242已知，是正实数，则下列选项正确的是（）A若，则有最小值3B若，则有最大值5C若，则有最大值D有最小值243下列说法正确的是()A已知0x，则x(12x)的最大值为B当时，的最大值是1C若，则的取值范围是D若，则44下列说法正确

9、的有（）A若，则的最大值是 -1B若，都是正数，且，则的最小值是3C若，则的最小值是2D若实数，满足，则的最大值是三、填空题45已知，的最小值为_.46若正数a，b满足，则的最小值是_47已知正数满足，则的最小值为_48如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为_；四、 解答题49（1）已知命题：，成立，命题：对，都有成立.若命题和命题有且仅有一个命题是真命题，求实数的取值范围.（2）已知，求证：.50国内某博物馆正式开幕为方便顾客，在休息区的矩形区域内布置了如图所示的休闲区域（阴影部分），已知下方是

10、两个相同的矩形在休闲区域四周各留下1m宽的小路，若上面矩形部分与下方矩形部分高度之比为1：2问如何设计休息区域，可使总休闲区域面积最大?51已知集合(1)设，求的取值范围；(2)对任意，证明：参考答案：1C【分析】已知，且，由判断A选项是否一定成立；由判断B选项是否一定成立;由判断C选项是否一定成立;由结合基本不等式判断D选项是否一定成立;【详解】，且当且仅当时取等号，故A不一定成立；，当且仅当时取等号，故B不一定成立；，当且仅当时取等号，故C一定成立；，且当且仅当时取等号，故D不一定成立；故选：C2A【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】对于A，令a， b，则ab(ab)2，当且仅当取等号

11、，不成立；对于B， 0, 0，所以2，当且仅当取等号，成立；对于C，st(s)(t)，当且仅当取等号，成立；对于D，当且仅当取等号，成立故选：A3C【分析】由基本不等式判断CABD可通过举反例说明、【详解】正数满足，若满足已知，但，若满足已知，但，则，所以，所以，即，当且仅当时等号成立故选：C4D【分析】直接由基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故选：D5A【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号；故选：A6B【分析】利用基本不等式求目标式的最大值即可，注意等号成立的条件.【详解】，则，由基本不等式得：，当且仅

12、当，即时等号成立故选：B7C【分析】通过题意可得，然后由基本不等式即可求得答案【详解】解：因为，所以，所以,当且仅当即时，取等号，所以y的最小值为1，所以，所以，故选：C8C【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；故选：C9B【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立故选：B10D【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解.【详解】解：因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以，即y的最大值是.故选：D.11A【分析】化简为，利用均值不等式求

13、解即可.【详解】，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为故选：A12B【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.【详解】因为，且为正实数所以，当且仅当即时等号成立.所以.故选：B.13B【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为，所以因为x，y都是正数，由基本不等式有：，所以，当且仅当即时取“”故A，C，D错误.故选：B14D【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.【详解】实数，整理得，当且仅当时取，故选项A错误；(，当且仅当时取，故选项B错误；， ，当且仅当时取，但已知,故不等式中的等号

14、取不到，故选项C错误；，当且仅当时取，故选项D正确，故选：D15D【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围.【详解】不等式可化为，又，所以，令，则，因为，所以，当且仅当时等号成立，又已知在上恒成立，所以因为，当且仅当时等号成立，所以m8，当且仅当，或，时等号成立，所以m的取值范围是，故选：D.16B【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解即可.【详解】解：由题设，当且仅当时等号成立，要使恒成立，只需，.故选：B.17B【分析】先进行参变分离，进而通过基本不等式求

15、得答案.【详解】因为，所以问题等价于恒成立. 而，当且仅当时取“=”.所以.故选：B.18D【分析】令，将原式整理成，利用对勾函数能得到在上单调递减，且没有最大值，即可得到答案【详解】解：令，所以，因为对勾函数在上单调递减，且没有最大值，所以所以，故选：D19D【分析】变形后利用基本不等式求解判断，同时结合函数单调性得结论【详解】由已知，当且仅当即时等号成立，若，则时，最小值为2，若，则，利用勾形函数的单调性得最小值为故选：D20B【分析】由题可得，利用基本不等式可求.【详解】，当且仅当，即时等号成立，的最大值为.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

16、（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.21B【解析】A. 取特殊值判断；B. 根据，利用基本不等式判断；C.令，由对勾函数的性质判断；D. 由，利用基本不等式判断.【详解】A. 当时， ，所以的最小值不是2，故错误；B. 因为，所以，当且仅当，即 取等号，故正确；C.令，由对勾函数的性质得： 在 上递增，所以的最小值是，故错误；D

17、. ，当且仅当，即时取等号，所以最大值是，故错误；故选：B22B【分析】设，则，则，展开后再利用基本不等式，即可得出答案.【详解】设，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当BC的长度为50m时，整个项目占地面积最小故选：B23(1)(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元【分析】（1）根据题意列方程即可.（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.（1）由题意知，当时，（万件），则，解得，所以每件产品的销售价格为（元），2020年的利润（2）当时，当且仅当即时等号成立，即万元时，（万元）故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为2

18、9万元24（1）9；（2）.【分析】利用基本不等式可求（1）（2）的最值.【详解】（1）,因为，故，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故的最小值为9.（2）因为x，y是正实数，由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立，故xy的最大值为.25(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）将、三式相加可证明；（2）由条件可得，然后可证明.（1）因为均为正实数，所以（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），以上三式相加，得（当且仅当时等号成立），所以（当且仅当时等号成立），即（当且仅当时等号成立）（2）由题可得，则左边 ，当且仅当，即时取“”故成立26(1)证明见解

19、析(2)证明见解析【分析】（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论，（2）利用可证得，同理可得，3个式相加可证得结论.（1）证明：左边，当且仅当时取“”故（2）证明：因为，当且仅当时取“”，所以，所以，所以，同理，当且仅当时取取“”，当且仅当时取“”+，得，当且仅当时等号成立27C【分析】根据均值不等式以及成立的条件，可判断ACD，根据二次函数性质可判断B【详解】由题意可知，选项A，当且仅当时取等号，即恒成立；选项B，即恒成立；选项C，当与异号时，不成立；选项D，恒成立故选：C28A【分析】由基本不等式求解即可【详解】因为，所以可得，则，当且仅当，即时，上式取得等号，的最大值为2故选：

20、A29C【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号；故选：C30B【分析】利用基本不等式判断A、C、D，利用特殊值判断B；【详解】解：对于A：因为，为非零实数，所以，则，即，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：当、异号时，故B错误；对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于D：，当且仅当时取等号，故D正确；故选：B31A【分析】根据原命题为真可得，即可得出命题为假命题时m的取值范围【详解】当原命题为真时，恒成立，即，由命题为假命题，则故选：A.32C【分析】利用基本不等式取等号的条件进行求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，即取得最小值故选：

21、C33（1）；（2）.【分析】（1）由，利用基本不等式可求得最小值；（2）将已知等式变为，利用基本不等式可求得的最小值，进而求得结果.【详解】（1）当时，（当且仅当，即时取等号），的最小值为；（2）由得：，（当且仅当，即，时取等号），即的最小值为.34(1)(2)【分析】（1）设仓库的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.（1）设仓库的宽为x米，长为y米，由面积均为40000平方米，得.因为矩形草坪的长比宽至少大90米，所以，所以，解得，又，所以.仓库宽的取值范围为：.（2）建造仓库与水泥路面所需要矩形空地的面积为S平方米，由题意可得（平方米

22、）当且仅当米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为平方米.35C【分析】由已知可得出，将与相乘，利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】因为，则，所以，所以，当且仅当时，即，时等号成立又恒成立，所以故选：C.36B【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得.【详解】当时，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误；当时，当且仅当，即时等号成立，故B正确；当时，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误；当时，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误故选：B.37B【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该

23、不等式求解作答.【详解】因a，b，x，y0，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为25.故选：B38B【分析】由题意可得=，当，即时等号成立，所以有，将化为，再利用基本不等式可求得的范围.【详解】解：因为为正实数，=，当，即时等号成立，此时有，又因为，所以，由基本不等式可知（时等号成立），所以.故选：B.39A【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.【详解】令，则，即，当且仅当，即，时，等号成立，故选：A.40BC【分析】利用基本不等式求的最大值可判断A；将展开，再利用基本不等式求最值可判断B；由结合的最大值可判断C；由结合的最大值可求出的最大值可判

24、断D，进而可得正确选项.【详解】对于A，当且仅当即，时等号成立，故A错误；对于B，当且仅当即时等号成立，故B正确；对于C，由A可得，又，当且仅当，时等号成立，故C正确；对于D，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；故选：BC.41ABD【分析】根据基本不等式判断【详解】因为正实数m、n，所以，当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；因为，当且仅当m=n=1时取等号，故2即最大值为2，C错误；，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.故选：ABD42CD【分析】对A，根据，再利用基本不等式可判断；对B，根据

25、判断即可；对C，根据，结合基本不等式判断即可；对D，根据基本不等式，结合两次不等式取等号的条件判断即可.【详解】对于A，当且仅当，即时取等号，则有最小值，故A错误；对于B，当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；对于C，当且仅当，即时取等号，则则有最大值，故C正确；对于D，当且仅当，即时取等号，故D正确；故选：CD43AB【分析】利用基本不等式可判断AB，利用不等式的性质可判断C，利用作差法可判断D【详解】对于选项A，若，则12x0，2x0，则，当且仅当，即时，等号成立，即x(12x)的最大值为，故A正确；对于选项B，当时，当且仅当，即时，等号成立，即的最大值是1，故B正确；对于选项C：

26、，故C错误；对于选项D，故D错误；故选：AB.44ABD【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为-1，故A正确；对于B，因为，都是正数，且，所以，所以，当且仅当，即即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；对于C，因为，所以，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，所以的最小

27、值为4，故C错误；对于D，令，则，因为，所以，同号，则，同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故D正确，故选：ABD45【分析】将所求代数式变形为，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，则，当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值故答案为：46【分析】设，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】设，则，可得，所以，当且仅当时，等号成立，取得最小值故答案为：47【分析】把平方得到，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由，得，则，当且仅当，即，即时取“等号”，所以当时，的最小值为故答案为：48【分析】由题意，根据矩形和圆的形式，结合基本不等式，可得答案.【详解】由

28、题意，设矩形中，其面积，关于直线对称，可作图如下：则矩形，其面积，在圆中，易知，则，当且仅当，等号成立，可得，故答案为：.49（1）或；（2）证明见解析.【分析】(1)根据方程有解求出命题p，根据基本不等式解出命题q，分类讨论当为真为假、为假为真时的情况，进而得出结果；(2)利用基本不等式分别求解，进而得出结果.【详解】（1）若命题为真命题，则，解得或；若命题为真命题，由，知，所以，则，故.当命题为真，命题为假时，则，解得，当命题为假，命题为真时，则，解得，综上所述，实数的取值范围为或；（2），当且仅当取等号，当且仅当取等号，当且仅当取等号，即，当且仅当取等号.50休息区域高度为15，宽度是时，休闲区域面积最大【分析】如下图，设，则，由表示出总休闲区域面积，由基本不等式得最大值【详解】如下图，设（单位是，以下均省略），则，由题意，则休闲区面积为当且仅当，即时等号成立所以休息区域高度为15，宽度是时，休闲区域面积最大51(1)(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得，再根据二次函数的性质计算可得；（2）依题意，再结合（1）即可证明.（1）解：若，又，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，故的取值范围为（2）证明：，当且仅当时取等号