3.2.2 双曲线的几何性质-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)（解析版）.docx

1、3.2.2 双曲线的几何性质一、双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质图形性质范围xa或 xa，yya或 ya，x对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半实轴长：，半虚轴长：离心率e(1，)渐近线yxyx二、等轴双曲线在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：1、离心率：等轴双曲线的离心率为：；2、渐近线：（1）等轴双曲线的渐近线为：；（2）等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45和135.三、直线与双曲线的位置关系判断

2、将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.四、弦长公式若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）题型一 由双曲线的方程求几何性质【例1】求下列双曲线的焦点和顶点坐标、实轴和虚轴的长、焦距：（1）； （2）； （3）【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【解析】（1），双曲线的实轴、虚轴的长，焦距，顶

3、点，、焦点的坐标，（2），双曲线的实轴、虚轴的长，焦距，顶点，、焦点的坐标，（3），双曲线的实轴、虚轴的长，焦距，顶点，、焦点的坐标，【变式1-1】双曲线的左顶点与右焦点间的距离为（ ）A2 B4 C5 D8【答案】D【解析】由，知，所以左顶点与右焦点间的距离为故选：D.【变式1-2】（多选）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）A它们有相同的渐近线 B它们有相同的顶点C它们的离心率不相等 D它们的焦距相等【答案】CD【解析】双曲线的渐近线为：，双曲线的渐近线方程为：，故A错误；双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B错误；双曲线的离心率，双曲线的离心率，故C正确；双曲线的焦距2c=1

4、0，双曲线的焦距2c=10，故D正确.故选：CD【变式1-3】已知双曲线，当变化时，下列关于双曲线说法正确的是（ ）A顶点坐标不变 B焦距不变 C离心率不变 D渐近线不变【答案】D【解析】若，则双曲线的标准方程为，顶点坐标为，焦距为，离心率为，渐近线方程为；若，则双曲线的标准方程为，顶点坐标为，焦距为，离心率为，渐近线方程为.因此，不论怎么变化，双曲线的渐近线不变.故选：D.题型二 由几何性质求双曲线的标准方程【例2】双曲线的离心率为，且过，则双曲线方程为（ ）A B C D【答案】D【解析】由双曲线离心率为，得，所以所以，所以双曲线方程为，将代入得.所以双曲线的方程为.故选：D【变式2-1】

5、已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程（ ）A B C D【答案】A【解析】双曲线的一个顶点是，且焦点在轴上，渐近线方程为，该双曲线的标准方程为，故选A【变式2-2】与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为_【答案】【解析】设双曲线方程为，将点代入，即，解得或（舍去），故所求双曲线方程为故答案为：【变式2-3】（多选）过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（ ）A B C D【答案】BC【解析】椭圆的焦点，可得，设椭圆的方程为，可得，解得，所求的椭圆方程为设双曲线的方程为：，可得，解得，所求的双曲线方程为故选：BC题型三 与双曲线渐近线相关的问题【例3】已知中心在坐标原点

6、，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A B C D【答案】B【解析】由双曲线焦点在轴上，可设渐近线方程为：，因为双曲线离心率为，且，所以，解得，即，所以渐近线方程为：.故选：B.【变式3-1】椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A， B， C， D，【答案】D【解析】因为椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，所以有，因此双曲线的两条渐近线方程为：，所以双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，故选：D【变式3-2】与双曲线具有相同渐近线，且两顶点间的距离为2的双曲线方程为_【答案】或【解析】设与具有相同渐近线的双曲线方程为，当时，双曲线的方程为，又因

7、为两顶点间的距离为2，所以，即，所以双曲线的方程为；当时，双曲线的方程为，又因为两顶点间的距离为2，所以，即，所以双曲线的方程为；综上所述，双曲线的方程为或.故答案为：或.【变式3-3】已知双曲线：，分别为的上、下顶点，点为上异于和的一点，直线，的斜率分别为，若，则的渐近线方程为（ ）A B C D【答案】B【解析】设，则，解得；由及，得；又，所以，所以的渐近线方程为故选：B题型四 求双曲线离心率的值或取值范围【例4】已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为， 则的离心率为（ ）A B C D【答案】C【解析】因为的一个焦点到的一条渐近线的距离为，不妨取渐近线方程为，即，所以，两边平方得.又

8、，所以，化简得，所以.故选：C.【变式4-1】已知双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形的边长为2，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】由题知，双曲线的焦点在轴上，设焦距为，因为双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，所以，作出图形如图，因为正方形的边长为2，所以，所以，整理得：，解得，（舍），所以.所以，双曲线的离心率为，故选：A【变式4-2】已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（ ）A B C2 D【答案】D【解析】因为，分别为双曲线的左右焦点，由正弦定理得到，又因

9、为得，又，在中，在中，所以，化简得.故选：D.【变式4-3】已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】设，则，由双曲线的定义知，当且仅当，即时，等号成立，当的最小值为时，此时，解得，又，故选：C【变式4-4】已知双曲线（，）的左右焦点分别为，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（ ）A B C D【答案】B【解析】设双曲线的半焦距为， 离心率为，由，则，因为是的平分线，所以,又因为，所以，所以，解得，即，所以双曲线的离心率取值范围为.故选

10、：B题型五 直线与双曲线的位置关系【例5】下列直线中与双曲线有两个不同交点的是（ ）A B C D【答案】D【解析】因为双曲线的渐近线方程为，因为直线、与渐近线平行，故与双曲线只有一个交点；联立，得，无解，故与双曲线无交点；联立，得，故与双曲线有2个交点；故选：D【变式5-1】直线与双曲线的交点个数是（ ）A1 B2 C1或2 D0【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为：，因为直线与双曲线的一条渐近线平行，在轴上的截距为3，所以直线与双曲线的交点个数是：1故选：A【变式5-2】直线与双曲线的交点坐标为_【答案】，【解析】由，消得即，解得或代入直线得或，所以直线与双曲线的交点坐标为，故答案为：，

11、【变式5-3】（多选）已知双曲线：，过点的直线与双曲线有唯一公共点，则直线的方程为（ ）.A B C D【答案】AB【解析】如图所示，易知点位于双曲线的内部，由双曲线的几何性质可知，当直线与渐近线平行时，直线与双曲线有唯一公共点，由于双曲线的渐近线方程为，故直线的方程为或，即或故选：AB.【变式5-4】过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线的条数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】当不存在时，直线不满足条件；设直线，与双曲线方程联立可得 ，即 ，当时，即，当时，方程无解，不符合题意，当时，方程只有一解，满足条件；当时，即，解得：或（舍去），综上可知，满足条件的有或，共2条

12、直线.故选：B题型六 直线与双曲线相交弦长问题【例6】过双曲线x21的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|_.【答案】【解析】，设的方程为：，代入得：，设，则，故答案为：【变式6-1】已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（ ）A B C D【答案】C【解析】不妨设，从而，由两式相减可得，又因为线段AB的中点为，从而，故，即直线AB的斜率为，直线AB的方程为：，即，将代入可得，从而，故.故选：C.【变式6-2】已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（ ）A7 B8 C9 D10【答案】D【解析】双曲线C：的一条渐近线方程是，

13、即左焦点，双曲线C的方程为易知直线l的方程为，设，由，消去y可得，故选：D【变式6-3】已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意可设双曲线方程为，由得，则，不妨假设，则，由图象的对称性可知，可化为，即，解得，故双曲线方程为：，故选：C【变式6-4】设分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，是等腰直角三角形的三个顶点.（1）双曲线C的方程；（2）若直线l：与双曲线C相交于AB两点，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）抛物线的焦点为，所以，即，又点，是等腰直角三角形的三个顶点，所以，即，又，所

14、以，所以双曲线方程为.（2）依题意设，由消去整理得，由，所以，所以.题型七 双曲线的中点弦与点差法【例7】已知双曲线的左右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）A2 B C D【答案】D【解析】设、，则，两式相减可得，为线段的中点，又， ，即，故选：D.【变式7-1】过点作直线交双曲线于，两点，而恰为弦的中点，则直线的斜率为（ ）.A B-1 C D1【答案】C【解析】设，因为为的中点，则，所以，将、代入双曲线得，两式相减得：，整理得：，所以.故选：C.【变式7-2】已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线

15、段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）A B C D【答案】B【解析】设，则，两式作差，并化简得，所以，因为为线段的中点，即所以，即，由，得.故选：B.【变式7-3】已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】设、，则，两式相减得，所以因为，所以因为，所以，故，故故选：A.【变式7-4】如图，双曲线是圆的一条直径，若双曲线过两点，且离心率为2，则直线的方程为（ ）A B C D【答案】A【解析】圆的圆心为，依题意，设，则，两式相减并化简得，即，所以直线的方程为.故选：A【变式7-5】已知点，在双曲线

16、上，线段的中点，则（ ）A B C D【答案】D【解析】设，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为的中点为，故，故，即直线的斜率为，故直线的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，则故选：D题型八 双曲线的定点定值与最值问题【例8】已知两点，动点在轴的投影为，且，记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程.（2）过点的直线与曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，.【解析】（1）设，则，.因为，所以，故的方程为.（2）由题可知直线的斜率一定存在，且不为0，不妨设直线的方程为，.联立方程组，消去整理得

17、，则，整理得.，则线段的垂直平分线的方程为，令，得，则，. 则.故是定值，该定值为.【变式8-1】已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上 （1）求双曲线的方程（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值【答案】（1）；（2）24.【解析】（1）因为，所以，所以双曲线的方程为，即因为点在双曲线上，所以，所以所以所求双曲线的方程为（2）设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，由，得，所以同理可得，所以设，则，所以，即当且仅当时取等号所以当时，取得最小值24【变式8-2】已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，点为坐标原点.（1）

18、求双曲线的标准方程；（2）当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】（1），双曲线的渐近线方程为，以为直径的圆过点，所以，不妨取点在上，设点，因为，则，可得，则点,，则，则，所以，双曲线的标准方程为.（2）由题意可知，设、，线段中点，联立得，依题意，即，由韦达定理可得，则，所以，又，由得：或.【变式8-3】设直线（）与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且（为坐标原点）的面积为.（1）求的值；（2）与坐标轴不垂直的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，为的右焦点，若，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）双曲线C：的渐近线方程为， 不妨设点A在x轴上方，则A，B两点的坐标分别为和，所以解得.（2）由（1）知C：，则F的坐标为(2,0)，设l与x轴交于点(p,0) ，则l的方程为（），设.则.联立得，由题可知，所以因为，F，N三点共线，所以共线，即，所以因为，所以，所以，所以，所以，解得，所以直线l经过x轴上的定点