3.2.2 奇偶性-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）.docx

1、3.2.2 奇偶性【学习目标】课程标准学科素养1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2、掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3、会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点).1、数学抽象2、数学运算3、直观想象【自主学习】1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是偶函数关于 对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数关于 对称注意：（1）定义在R上的奇函数，必有f(0) .（2）若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上

2、是 函数，且有 M.（3）若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则有f(x)在(0，)上是增函数2、奇偶性与单调性一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相反的单调性3、奇偶性的推广一般地，对于定义域内任意x，(1)若f(ax)2bf(ax)，则f(x)的图象关于点(a，b)对称.当ab0时，即为奇函数的定义(2)若f(ax)f(ax)，则f(x)的图象关于直线xa对称，当a0时，即为偶函数的定义【小试牛刀】1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数

3、yf(x)，若存在x，使f(x)f(x)，则函数yf(x)一定是奇函数.()(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.()(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.()(4)若存在x0使f(1x0)f(1x0)，则f(x)关于直线x1对称()(5)对于定义域内任意x，有f(1x)f(1x)，则yf(1x)与yf(1x)关于直线x1对称()2下列函数为奇函数的是()Ay|x| By3x Cy Dyx2143若函数yf(x)，x2，a是偶函数，则a的值为()A2 B2 C0 D不能确定4下列图象表示的函数是奇函数的是_，是偶函数的是_(填序号)【经典例题】题型一函数奇偶性

4、的判断函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x； (2)f(x)；(3)f(x)； (4)f(x)跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x2(x22); (2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x)； (4)f(x)题型二奇、偶函数的图象问题图象应用：根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题例2 已知奇函数f(x)的定义域为5，5，且在区间0，5上的图象如图所示.(1)画出f(x)在区间5，0上的图象；(2)写出使f(x)0时

5、，f(x)x1，求当x0时，f(x)2xx2，求yf(x)的解析式2、 已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式已知一奇一偶两函数之和，对x赋值，令xx.f(x)，g(x)一奇一偶，才能把x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)例4 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)，求函数f(x)，g(x)的解析式跟踪训练4设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x22x，求函数f(x)，g(x)的解析式题型四函数奇偶性的应用1、利用奇偶性求函数值例5 已知f(x)x5ax3bx8，若f(3)10，则f(3)()A.2

6、6 B.18C.10 D.262、利用奇偶性求参数值例6 若函数f(x)为奇函数，则a_.跟踪训练5(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a2,2a，则a_，b_；(2) 已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_.题型五 函数的奇偶性和单调性的综合应用利用单调性和奇偶性解不等式的方法：(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响例7 已知函数yf(x)

7、在定义域1,1上是奇函数，又是减函数，若f(1a2)f(1a)0，求实数a的取值范围；跟踪训练6定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)0 Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)0 Df(x)f(x)02函数f(x)的图象关于()Ax轴对称 B原点对称Cy轴对称 D直线yx对称3若奇函数f(x)在1,3上为增函数，且有最小值0，则它在3，1上()A是减函数，有最小值0 B是增函数，有最小值0C是减函数，有最大值0 D是增函数，有最大值04设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是()Af()f(3)f(2)

8、Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2) Df()f(2)f(3)5已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B. C. D.6定义在(1,1)上的奇函数f(x)，则常数m、n的值分别为_7若f(x)是偶函数，其定义域为R且在0，)上是减函数，则f与f(a2a1)的大小关系是_8已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)，g(x)的解析式9函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t1)f(t)0时

9、，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数例2 解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以yf(x)在5，5上的图象关于原点对称.由yf(x)在0，5上的图象，可知它在5，0上的图象，如图所示.(2)由图象知，使函数值f(x)0的x的取值集合为(2，0)(2，5).跟踪训练2 解：方法一因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图由图象可知f(1)f(3)方法二由图象可知f(1)f(3)又函数yf(x)是偶函数，所以f(1)f(1)，f(3)f(3)，故f(1)f(3)例3 解设x

10、0，f(x)(x)1x1，又函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)f(x)x1，当x0时，f(x)x1.跟踪训练3 解设x0，因为f(x)是奇函数，所以当x0时，f(x)f(x)2(x)(x)22xx2.因为yf(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.所以f(x)例4 解f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，由f(x)g(x). 用x代替x，得f(x)g(x)，f(x)g(x)，()2，得f(x)；()2，得g(x).跟踪训练4 解f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，由f(x)g(x)2xx2. 用x代替x，得f(x)g(

11、x)2x(x)2，f(x)g(x)2xx2，()2，得f(x)x2；()2，得g(x)2x.例5 D 解析法一由f(x)x5ax3bx8，得f(x)8x5ax3bx.令G(x)x5ax3bxf(x)8，G(x)(x)5a(x)3b(x)(x5ax3bx)G(x)，G(x)是奇函数，G(3)G(3)，即f(3)8f(3)8.又f(3)10，f(3)f(3)16101626.法二由已知条件，得得f(3)f(3)16，又f(3)10，f(3)26.例6 1 解析f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即，显然x0，整理得x2(a1)xax2(a1)xa，故a10，解得a1.跟踪训练5 (1)0(2)0【

12、解析】(1)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a22a0，解得a.又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0，解得b0.(2)由f(x)为奇函数得f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，所以a(x)22(x)ax22x0.即2ax20，所以a0.例7 解：(1)由f(1a2)f(1a)0，得f(1a2)f(1a)yf(x)在1,1上是奇函数，f(1a)f(a1)，f(1a2)f(a1)又f(x)在1,1上单调递减，解得0a1.a的取值范围是0,1)跟踪训练6函数f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)原不等式等价于解得1m.实数m

13、的取值范围是.【当堂达标】1D解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)f2(x)0.2B3.D解析由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的最小值对应另一侧的最大值，故选D.4.A解析因为当x0，)时，f(x)是增函数，所以有f(2)f(3)f()又f(x)是R上的偶函数，故f(2)f(2)，f(3)f(3)，从而有f(2)f(3)f()5.A解析f(x)为偶函数，f(x)f(|x|)则f(|2x1|)f.又f(x)在0，)上单调递增，|2x1|，解得x.6.0、0解析由f(0)0知m0.由f(x)是奇函数知f(x)f(x)，即，x

14、2nx1x2nx1，n0.7.f(a2a1)f解析显然a2a1.又f(x)在0，)上是减函数，f(a2a1)f.又f(x)是偶函数，ff，f(a2a1)f.8.解f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，又f(x)g(x)x2x2，f(x)g(x)x2x2，即f(x)g(x)x2x2 由、得g(x)x22，f(x)x.9.(1)解f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，f(x)f(x)，即.bb，b0.f，a1.函数解析式为f(x) (1x1)(2)证明任取x1，x2(1,1)，且x1x2，f(x1)f(x2)，1x1x21，x1x20，(1x)(1x)0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)为(1,1)上为增函数(3)解f(t1)f(t)0，f(t1)f(t)f(x)是(1,1)上的奇函数，f(t)f(t)，f(t1)f(t)f(x)为(1,1)上的增函数，解得0t.不等式的解集为.