3.2.2 空间向量基本定理 讲义——2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册.docx

1、学生版第 3 章 空间向量及其应用3.2 空间向量基本定理 3.2.2 空间向量基本定理本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升； 因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威

2、力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力； 【学习目标】学习目标学科素养1、了解空间向量基本定理及其意义.2、理解基向量；3、掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法(重点)1、数学抽象：理解基向量；2、逻辑推理：基向量的判别；3、数学运算：基向量的应用；4、直观想象：基

3、向量的应用；【自主学习】问题导学：预习教材P97P99的内容，思考以下问题：1、空间向量基本定理及其理解；2、基向量的选择；【知识梳理】1、类比引入与理解空间向量基本定理已知平面上两个不共线向量的线性组合可以表示该平面上的所有向量；是否可以做一个类推，空间三个不共面向量的线性组合可以表示空间中的所有向量？下面的定理对此给出了肯定的回答；空间向量基本定理：如果，与是不共面的向量，那么对空间中任意一个，存在唯一的一组实数有序实数，与，使得；我们把，叫做空间的一个基底，都叫做基向量2、【思考】1、平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？【解析】2、基向量和基底一

4、样吗？能否作为基向量？【解析】3、在四棱锥OABCD中，可表示为xyz且唯一，这种说法对吗？【解析】4、构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？【解析】5、空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？【解析】6、用基底表示向量应注意哪些问题？【解析】7、拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使xyz，当且仅当xyz1时，P，A，B，C四点共面；【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“”，错误的打“”）只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底；（ ）若为空间一个基底，则也可构成空间一个基底；（ ）若三个非零向量，不能构成空间的一

5、个基底，则，共面；（ ）对于三个不共面向量，不存在实数组使；（ ）若a，b是两个不共线的向量，且 (，R且0)，则，构成空间的一个基底；（ ）【提示】；【答案】；【解析】2、在长方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）A， B， C， D，3、已知，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）A3，2 B2，2，2C，2， D，4、在四面体OABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则_.(用，表示)【题型探究】题型一、对基底的理解与应用例1、已知，是空间的一个基底，且2，32，试判断，能否作为空间的一个基底？【说明】判断基底的方法：判断给出的某一向量

6、组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断；题型二、空间向量基本定理的拓展例2、已知、是空间中不共线的三点，是空间中任意一点，求证：在平面内的充要条件是：存在满足的实数、，使得.考答案：【说明】本题的证明，验证了：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使xyz，当且仅当xyz1时，P，A，B，C四点共面；题型三、空间向量基本定理的理解与应用例3、如图，在三棱柱ABCABC中，已知，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底，表示向量，【提示】【解析】【变式1】(变条件)若把本例 (2)中的改

7、为，其他条件不变，则结果又是什么？【变式2】(变换条件、改变问法)如图所示，本例中增加条件“P在线段AA上，且AP2PA”，试用基底，表示向量【说明】用基底表示向量的步骤1、定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底2、找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果3、下结论：利用空间向量的一个基底，可以表示出空间所有向量；表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量；题型四、利用空间向量表示并判断位置关系；例

8、4、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点；求证：（1）AD1G1G；（2）AD1EF；【说明】1、要证两直线垂直，由数量积的性质可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可；2、要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足即可；素养提升：1、对于基底，应明确以下三点：(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；(2)基底中的三个向量，都不是；这是因为与任意向量共线，与任意两个向量共面；(3)空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指

9、基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念；2空间向量基本定理的推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得xyz；推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置；【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、设p：，是三个非零向量；q：，为空间的一个基底，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件2、已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，成为空间的一个基底的是（ ）A BC D23、如图，梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间内任意一点，设，则向量可用，表

10、示为 4、在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则_.5、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，用，作为基向量，则_.B级：“四能”提升训练6、已知，是空间的一个基底，若，则()A，是空间的一组基底B，是空间的一组基底C，是空间的一组基底D，与，中的任何一个都不能构成空间的一组基底7、如图所示，已知PA平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且PAAD1，四边形ABCD为正方形，以，为基底，则_.8、点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，则满足xyz的实数x，y，z的值依次

11、分别为 9、已知平行六面体OABCOABC，且a，b，c.（1）用a，b，c表示向量；（2）设G，H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.10、如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且A1ABA1AD120，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值；教师版第 3 章 空间向量及其应用3.2 空间向量基本定理 3.2.2 空间向量基本定理本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升； 因此，本

12、章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究

13、立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力； 【学习目标】学习目标学科素养1、了解空间向量基本定理及其意义.2、理解基向量；3、掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法(重点)1、数学抽象：理解基向量；2、逻辑推理：基向量的判别；3、数学运算：基向量的应用；4、直观想象：基向量的应用；【自主学习】问题导学：预习教材P97P99的内容，思考以下问题：1、空间向量基本定理及其理解；2、基向量的选择；【知识梳理】1、类比引入与理解空间向量基本定理已知平面上两个不共线向量的线性组合可以表示该平面上的所有向量；是否可以做一个类推，空间三个不共面向量的线性组

14、合可以表示空间中的所有向量？下面的定理对此给出了肯定的回答；空间向量基本定理：如果，与是不共面的向量，那么对空间中任意一个，存在唯一的一组实数有序实数，与，使得；我们把，叫做空间的一个基底，都叫做基向量2、【思考】1、平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？【解析】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示；2、基向量和基底一样吗？能否作为基向量？【解析】基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为与其他任意两个非零向量共面，所以不能作为基向量；3、在四棱锥OABCD中，可表示为xyz且唯一，这

15、种说法对吗？【解析】对；4、构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？【解析】不唯一，不共面5、空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？【解析】基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来；6、用基底表示向量应注意哪些问题？【解析】（1）明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；（2）结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；（3）只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的；7、拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使xyz，当且

16、仅当xyz1时，P，A，B，C四点共面；【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“”，错误的打“”）只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底；（ ）若为空间一个基底，则也可构成空间一个基底；（ ）若三个非零向量，不能构成空间的一个基底，则，共面；（ ）对于三个不共面向量，不存在实数组使；（ ）若a，b是两个不共线的向量，且 (，R且0)，则，构成空间的一个基底；（ ）【提示】理解空间向量基本定理；【答案】；【解析】对于，不共面的三个向量均可以作为空间向量的一组基底；所以，是假命题；对于，由为空间一个基底，所以不共面，故可以作为基底；所以，是真命题；对于，三个非零向量，不能构成空间的

17、一个基底，则，共面，所以，是真命题；对于，存在，比如，所以，是假命题；对于，因为与、共面，所以，是假命题；2、在长方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）A， B， C， D，【答案】C；【解析】由题意知，不共面，可以作为空间向量的一个基底；3、已知，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）A3，2 B2，2，2C，2， D，【答案】C【解析】对于A，有32()2，则3，2共面，不能作为基底；同理可判断B，D中的向量共面故选C.；4、在四面体OABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则_.(用，表示)【答案】【解析】()()；【题型探究】题型一、

18、对基底的理解与应用例1、已知，是空间的一个基底，且2，32，试判断，能否作为空间的一个基底？【提示】注意，必须是不共面的向量；【解析】假设，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使xy成立；所以，2x(32)y()(3xy)(xy)(2xy)；因为，是空间的一个基底，所以，不共面，则此方程组无解，即不存在实数x，y，使xy成立所以，不共面故，能作为空间的一个基底；【说明】判断基底的方法：判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断；题型二、空间向量基本定理的拓展例2、已知、是空间中不共线的三点，是空间中任意一点，

19、求证：在平面内的充要条件是：存在满足的实数、，使得.考答案：【提示】利用共面向量的基本定理结合充分条件、必要条件的定义进行证明即可.【解析】证明：若在平面内，则存在实数、，使得，对于空间中的任意一点，则，可得，因为，则，所以，在平面内存在满足的实数、，使得；若存在满足的实数、，使得，则，即，所以，即、共面，故在平面内，即在平面内存在满足的实数、，使得.因此，在平面内的充要条件是：存在满足的实数、，使得.【说明】本题的证明，验证了：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使xyz，当且仅当xyz1时，P，A，B，C四点共面；题型三、空间向量基本定理的理

20、解与应用例3、如图，在三棱柱ABCABC中，已知，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底，表示向量，【提示】借助图形寻找待求向量与，的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用，表示出来；【解析】()()()b；()()【变式1】(变条件)若把本例3(2)中的改为，其他条件不变，则结果又是什么？【解析】()()；()()【变式2】(变换条件、改变问法)如图所示，本例中增加条件“P在线段AA上，且AP2PA”，试用基底，表示向量【解析】()()()；【说明】用基底表示向量的步骤1、定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底2、找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根

21、据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果3、下结论：利用空间向量的一个基底，可以表示出空间所有向量；表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量；题型四、利用空间向量表示并判断位置关系；例4、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点；求证：（1）AD1G1G；（2）AD1EF；【提示】注意用基底表示相关向量；【证明】设，则|1且0.（1）因为，所以()()0，所以，所以AD1G1G.（2）因为bc，所以，所

22、以EFAD1.【说明】1、要证两直线垂直，由数量积的性质可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可；2、要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足即可；素养提升：1、对于基底，应明确以下三点：(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；(2)基底中的三个向量，都不是；这是因为与任意向量共线，与任意两个向量共面；(3)空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念；2空间向量基本定理的推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x

23、，y，z)，使得xyz；推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置；【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、设p：，是三个非零向量；q：，为空间的一个基底，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当非零向量，不共面时，可以当基底，否则不能当基底，当，为基底时，一定有，为非零向量；因此pq，qp.2、已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，成为空间的一个基底的是（ ）A BC D2【答案】C【解析】对于选项A，由xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面，知，共面；对于选项B，D，易知，共面，故选

24、C.3、如图，梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间内任意一点，设，则向量可用，表示为 【答案】【解析】()；4、在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则_.【答案】【解析】设AC的中点为F，则()(2)().5、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，用，作为基向量，则_.【答案】()【解析】2222()()()，()B级：“四能”提升训练6、已知，是空间的一个基底，若，则()A，是空间的一组基底B，是空间的一组基底C，是空间的一组基底D，与，中的任何一个都不能构成空间的一组基底【答案】C【解析】假设k1k2，即ck

25、1()k2(a)，得(k1k2)(k1k2) 0，这与，是空间的一个基底矛盾，故，是空间的一组基底，故选C.7、如图所示，已知PA平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且PAAD1，四边形ABCD为正方形，以，为基底，则_.【答案】【解析】()().8、点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，则满足xyz的实数x，y，z的值依次分别为 【答案】，【解析】取PC的中点E，连接NE，则()()，比较知x，y ，z；9、已知平行六面体OABCOABC，且a，b，c.（1）用a，b，c表示向量；（2）设G，H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.【解析】（1）bca.（2）()()(abcb)(abcc)(cb)10、如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且A1ABA1AD120，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值；【提示】【解析】，可以作为空间的一个基底，且|a，|a，|b，90，120，120.又，|2|2|2|2222a2b2a22abcos 12002abcos 1202a2b2，|2|22|22a2，|，|a.()()|2|20a2abcos 120abcos 120a20ab.|cos，|.异面直线BD1和AC所成角的余弦值为.