3.3幂函数 讲义（知识点 考点 练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册.docx

1、3.3 幂函数一、幂函数（power function）：函数 （是自变量，是常数）二、幂函数的性质对于幂函数，我们只研究 时的图象与性质. 和 共同性质：图像都过点（1,1）不同性质：为奇数时幂函数为奇函数；为偶数时幂函数为偶函数。课后练习1. （2021安阳模拟）已知幂函数 f(x)=x 满足 2f(2)=f(16) ，若 a=f(log42) ， b=f(ln2) ， c=f(5-12) ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A.acbB.abcC.bacD.bca2. （2019高一上盘山期中）已知函数 f(x)=(m2-m-1)xm 为幂函数且为偶函数，则 m= （ ） A.

2、3B.2C.-1D.-23. 若幂函数y=m2+3m+3xm2+2m-3的图像不过原点,且关于原点对称,则m的取值是( )A.m=-2B.m=-1C.m=-2或m=-1D.-3m-14. （2017高一上乌鲁木齐期中）幂函数 y=f(x) 的图象经过点 (-2,-18) ，则满足 f(x)=27 的 x 的值是（ ） A.13B.-13C.3D.-35. （2020高一上宝安期末）幂函数 f(x)=xm2-5m+4(mZ) 为偶函数且在区间 (0,+) 上单调递减，则 m= ， f(12)= . 6. （2020高一上江西月考）已知幂函数 y=xa ，当 x=2 时， y=8 ，那么a的值为

3、7. （2018高二下无锡月考）已知幂函数 f(x) 的图像过点( 12 ， 22 )，则 f(4) 8. （2020高一上上海月考）幂函数 f(x)=xa 的图像经过点 (2,12) ，则 f(3)= . 9. （2020高一上晋州月考）已知幂函数 f(x) 的图象经过点 A(4,2) （1）求 f(x) 的解析式； （2）若 f(3a-2)f(a2-6) ，求 a 的取值范围 10. （2019高一上海林期中）已知幂函数 y=f(x) 的图象过点 (2,4) .求（1）f(x) 解析式；（2）f(3) 的值. 11. （2020高一上清远期末）已知幂函数 y=f(x) 的图象经过点 P(5

4、,25) . （1）求 f(x) 的解析式； （2）用定义法证明函数 g(x)=f(x)+4x 在区间 (2,+) 上单调递增 练习答案1.【答案】 C 【考点】对数的运算性质，对数函数的单调性与特殊点，幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由 2f(2)=f(16) 可得 22=24 ， 1+=4 ， =13 ，即 f(x)=x13 .由此可知函数 f(x) 在 R 上单调递增.而由换底公式可得 log42=log22log24=12 ， ln2=log22log2e ， 5-12=15 ， 1log2e2 ， log22log24log22log2e ，于是 log42ln2 ，又

5、1512 ， 5-12ac .故答案为：C.【分析】 根据题意求出幂函数f(x)的解析式，判断f(x)是定义域上的单调增函数，再比较出a、b、c的大小，即可得出结论.2.【答案】 B 【考点】偶函数，幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由题意，函数 f(x)=(m2-m-1)xm 为幂函数，可得 m2-m-1=1 ，即 m2-m-2=0 ， 解得 m=-1 或 m=2 ，当 m=-1 时，函数 f(x)=x-1=1x ，此时 f(-x)=-1x=-f(x) ，函数 f(x) 为奇函数，不符合题意，舍去；当 m=2 时，函数 f(x)=x2 ，此时 f(-x)=(-x)2=x2=f(x)

6、 ，函数 f(x) 为偶函数，综上，可得 m=2 .故答案为：B.【分析】由函数 f(x)=(m2-m-1)xm 为幂函数，求得 m=-1 或 m=2 ，分别验证函数的奇偶性，即可求解，得到答案.3.【答案】 A 【考点】幂函数图象及其与指数的关系，幂函数的性质 【解析】因为幂函数图像不过原点，故当时，则， 显然过原点，不符合题意舍去。当， 图像不过原点,且关于原点对称,故符合题意，选A.【分析】解决该试题的关键是准确运用幂函数的定义，保证x的系数为1，得到m的值，进而分类讨论得到参数m的值。4.【答案】 A 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】设幂函数 y=xa函数的图象经过

7、点 (-2,-18) -18=(-2)a a=-3幂函数的解析式为 y=x-3 f(x)=27 x-3=27 x=13故答案为：A【分析】根据幂函数上的一点可得出f(x)的具体公式，再代入函数值，就可解出自变量。5.【答案】 m=2或3；4 【考点】函数奇偶性的性质，函数的值，幂函数的概念、解析式、定义域、值域，幂函数的图象 【解析】 f(x) 区间 (0,+) 上单调递减， m2-5m+401mf(a2-6) ，所以 a2-60a2-63a-2 ，解得 6af(a2-6) 结合增函数的定义，从而判断函数为增函数，再利用函数的单调性，从而求出实数a的取值范围。 10.【答案】 （1）解：设幂函

8、数 y=f(x)=xn ,因为该函数图像经过点 (2,4) ,所以 f(2)=2n=4, 解得 n=4 ,则函数解析式为 f(x)=x4 ;（2）解：由(1)得函数解析式 f(x)=x4 ,所以 f(3)=34=81 . 【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数的值，幂函数的图象 【解析】 (1)设幂函数 y=f(x)=xn ,由函数过定点代入可求得参数 n ,进而求得函数解析式;(2)利用(1)中求的函数解析式,令 x=3 ,即可求得 f(3) .11.【答案】 （1）解：设 f(x)=x ，则 5=25 ，得 =2 ， 所以 f(x)=x2 （2）证明：由（1）可得 g(x)=x+4x ，

9、 任取 x1,x2(2,+) ，且 x1x2 ，则g(x1)-g(x2)=x1+4x1-x2-4x2 =(x1-x2)+4(x2-x1)x1x2 =(x1-x2)x1x2-4x1x2 ，因为 2x1x2 ，所以 x1-x20 ， x1x2-40 ，所以 g(x1)-g(x2)0 ，即 g(x1)g(x2) ，所以 函数 g(x)=f(x)+4x 在区间 (2,+) 上单调递增.【考点】函数单调性的判断与证明，幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】 (1)根据题意把点的坐标代入到函数的解析式，计算出=2从而得到函数的解析式。 (2)由(1)即可求出函数g(x)的解析式，再由函数单调性的定义即可得证出结论。