4.3.1 等比数列的概念与通项公式教案——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

1、第四章 数列4.3 等比数列4.3.1.1 等比数列的概念与通项公式一、教学目标1、正确理解等比数列的概念及其性质；了解通项公式的推导过程，掌握等比数列的通项公式.2、通过对等比数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力，培养学生思维的深刻性和灵活性.二、教学重点、难点重点：等比数列的概念及其性质，利用通项公式逐步解决问题.难点：等比数列通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【情景一】两河流域发掘的古巴比

2、伦时期的泥版上的记录的数列. 【情景二】庄子天下中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 【情景三】在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2,4,8,16,32,64,. 【情景四】某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么的利息和本金加在一起算按照复利（复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），他5年内每年末得到的本利和分别是 【思考】类比等差数列的研究，如何研究和发现以上数列的取值

3、规律?（二）阅读精要，研讨新知【分析】以上数列用表示，则 数列满足； 数列满足；数列满足； 数列满足；数列满足；数列满足.【等比数列】一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列(geometricprogression),这个常数叫做等比数列的公比(commonratio),公比通常用字母表示（显然）.【等比中项】若三个数组成等比数列，则叫做与的等比中项(geometricmean).根据等比数列的定义可以知道，.【思考】你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗?【与课本不同的公式的演绎】设一个等比数列的首项是，公比是.则，以上各式相乘得

4、，即所以等比数列的通项公式是.【推广】（1） （2）等比数列的通项公式的函数关系变形为当且时，函数，有【例题研讨】阅读领悟课本例1、例2、例3（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）例1若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.解法1：由，解得，所以或. 当时， 当时，因此，的第5项是24或.解法2：因为是与的等比中项，所以所以或因此，的第5项是24或.例2已知等比数列的公比为，试用的第项表示.解：由题意，得，两式相除得 所以【发现】等比数列的任意一项都可以由这数列的某一项和公比表示.例3数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于13

5、6，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.解：设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，依题意， 联立解得或所以这个数列是或【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟【等比数列的判定与证明】1. 已知数列的前项和为，.求证：数列是等比数列.证明： ，由已知 可得 两式相减得即，所以所以是首项为，公比为的等比数列.【等差中项与等比数列的通项公式】2. 已知等比数列的各项都为正数,且成等差数列,则的值是()A.B.C.D.解：设等比数列的公比为,且,因为成等差数列,所以,则,化简得,解得，又，则,所以，故选A.【等比

6、中项的应用】3. 已知等比数列的公比为正数，且，则（ ）A. B. C. D.解：因为成等比数列，所以又，所以，所以，故选B【等比数列通项公式的应用】4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（ ）A.B.C.D.解：由已知,单音的频率构成一个首项为，公比为的等比数列，记为,共有13项.由等比数列通项公式可知,，故选D5. 设等比数列满足，则的最大值为_.解：方法一：由已知得，解得，所以，即数列为递减数列.当时, ;当时, ,所以当或时, 最大,又,因此.方法二：由已知得，所以因为，所以当或时, 最大值为.答案：64（四）归纳小结，回顾重点等比数列(geometricprogression)定义，为常数，称为公比等比中项三个数成等比数列，则通项公式，（五）作业布置，精炼双基1.完成课本习题4.3 1、2、42.预习4.3.2 等比数列的前项和五、教学反思：（课后补充，教学相长）