4.4 数学归纳法（解析版）.docx

1、4.4 数学归纳法一、数学归纳法的定义和关键点1、定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数的所有正整数都成立时，可以用以下两个步骤：（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；（2）（归纳递推）假设当(，)时命题成立，证明当命题也成立.在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法。2、三个关键点（1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的

2、过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项（3）利用假设是核心：在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心不用归纳假设的证明就不是数学归纳法二、归纳猜想证明”的一般环节：1、计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题；2、归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论；3、证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明.三、用数学归

3、纳法证明恒等式的步骤及注意事项1、明确初始值并验证真假（必不可少）；2、“假设时命题正确”并写出命题形式；3、分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；4、明确等式左端变形目标，掌握恒等变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。题型一 对数学归纳法的理解【例1】用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（ ）A2 B3 C4 D5【答案】D【解析】显然当时，而当时，A不是；当时，B不是；当时，C不是；当时，符合要求，D是故选：D【变式1-1】一个关于自然数n的命题，已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成

4、立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，该命题对于（ ）A一切自然数成立 B一切正整数成立C一切正奇数成立 D一切正偶数成立【答案】C【解析】已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，命题对成立即该命题对于一切正奇数成立故选：C【变式1-2】与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立现得知时命题不成立，那么可推得（ ）A当时，该命题不成立 B当时，该命题不成立C当时，该命题成立 D当时，该命题成立【答案】A【解析】由于原命题与它的逆否命题的真假性相同，因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立，所以当

5、时命题不成立，则可以得到当时命题不成立，故选：A【变式1-3】用数学归纳法证明命题“若为奇数，则能被整除”，在验证了正确后，归纳假设应写成（ ）A时，能被整除；B时，能被整除；C时，能被整除；D时，能被整除【答案】C【解析】原命题中为奇数，归纳假设应写为：时，能被整除.故选：C.题型二 数学归纳法中的增项问题【例2】用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（ ）A B C D【答案】D【解析】当时，左端，那么当时左端，故由到时不等式左端的变化是增加了，两项，同时减少了这一项，即，故选：【变式2-1】用数学归纳法证明，则当时，等式的左边应在的基础上增加的项数是（ ）A B C

6、 D【答案】C【解析】当时，等式的左边是，等式左边共项，当时，等式的左边是，等式左边共项，增加了、，共项.故选：C.【变式2-2】用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（ ）项A7 B6 C5 D4【答案】C【解析】当时，则当时，则从k到添加的项数共有5项，故选：C.【变式2-3】利用数学归纳法证明不等式（）的过程，由到时，左边增加了（ ）Ak项 B项 C项 D项【答案】D【解析】时,左边为，当时，左边为左边增加了 ，共有.故选：D题型三 用数学归纳法证明恒等式【例3】用数学归纳法证明.【答案】详见解析【解析】证明：（1）当n=1时，左边=1-x，右边=1-x=左边，等式成立；（

7、2）假设n=k时，等式成立，即，当时，故当时，等式成立，由（1）（2）可知，原等式对于任意成立.【变式3-1】用数学归纳法证明：.【答案】证明见解析【解析】当时，左边，右边，等式成立.假设当时等式成立，即，那么当时，所以当时，等式也成立.由，得等式对任意都成立.【变式3-2】用数学归纳法证明：【答案】见解析【解析】（1）当时，左边=，右边=，等式成立，（2）假设当时，等式成立，即，当时，+，即当时等式也成立.，由（1）（2）可知：等式对任何都成立，故.【变式3-3】观察下列等式：按照以上式子的规律：（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立【答案】（1

8、）；，；（2）证明见解析.【解析】（1）第5个等式为第个等式为，（2）证明：当时，等式左边，等式右边，所以等式成立假设时，命题成立，即，则当时，即时等式成立根据和，可知对任意等式都成立题型四 用数学归纳法证明不等式【例4】用数学归纳法证明：当nN*时，12233nn(n1)n.【答案】见解析【解析】(1)当n1时，左边1，右边2,12，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时不等式成立，即12233kk(k1)k；那么，当nk1时，左边12233kk(k1)k1(k1)k(k1)k1(k1)k(k2)(k2)k1(k1)1k1右边，即左边右边，所以不等式成立（2）假设当时，不等式成立，即则当时，

9、即当时，不等式也成立由（1）（2）知，不等式对任何都成立【变式4-2】设，且，求证：.【答案】证明见解析【解析】当时，不等式的左边，右边，由，可得左边右边，不等式成立；假设，且，成立，当时，即时，不等式也成立综上由可得，且，不等式成立【变式4-3】）证：，nN*【答案】证明见解析【解析】证明：（1）当n1时，因为1，所以原不等式成立（2）假设nk(kN*)时，原不等式成立，即有，当nk1时，因此，欲证当nk1时，原不等式成立，只需证明成立，即证，从而转化为证，也就是证又k2k10，从而于是当nk1时，原不等式也成立由（1）（2）可知，当n是一切正整数时，原不等式都成立题型五 用数学归纳法证明整

10、除问题【例5】用数学归纳法证明：可以被7整除.【答案】证明见解析【解析】证明：（1）时，能被7整除，（2）假设时，命题成立，即能被7整除，设（是正整数），则时，是正整数，所以能被7整除，所以时，命题成立，综上，原命题成立，（是正整数）可以被7整除【变式5-1】求证：对于自然数能被13整除.【答案】证明见解析；【解析】当时，能被整除.假设当时结论成立，即能被整除.则当时，由于能被整除，所以能被整除.所以当时，结论成立.综上所述，对于自然数能被13整除.【变式5-2】求证：对任意正整数，都能被整除【答案】证明见解析【解析】证明：当时，则能被整除，假设当时，能被整除，则当时，即,因为、都能被整除，故

11、能被整除，即能被整除，所以，当时，命题也成立，因此，对任意正整数，都能被整除.【变式5-3】求证：能被整除【答案】证明见解析.【解析】当n=1时，能被整除，假设当, 时能被整除，则当时，其中能被整除，所以能被整除，所以能被整除，即当时，能被整除，所以能被整除.题型六 用数学归纳法证明数列问题【例6】设数列满足（1）求的值并猜测通项公式；（2）证明上述猜想的通项公式【答案】（1）， ，猜测；（2）见解析【解析】（1）由题意得，时，得，时，得，故，猜测；（2）证明：当时，即猜测成立；假设时，猜测成立，即，则时，由，得，所以时也成立，综上可得，成立【变式6-1】在数列，中，且当（为正整数）时，（1）

12、计算，的值，并猜测数列，的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜测【答案】（1），；，；，；猜测：数列的通项公式为（为正整数）；数列的通项公式为（为正整数）；（2）证明见解析【解析】（1）令，则令，则令，则猜想数列的通项公式为（为正整数）；数列的通项公式为（为正整数）（2）当时，成立假定当时，成立当时，则即成立数列，的通项公式分别为：，（为正整数）【变式6-2】已知数列中，其前项和为，当时，.（1）计算，；（2）依据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明.【答案】（1）；（2），证明见解析【解析】（1）由题意得：，时，得，则；同理，同理；故，的值依次为；（2）由（1）的结果，可猜想 ；证明：当时，故此时成立；假设时，成立，则当时，即，故当时，也成立，综合，当时,.【变式6-3】已知数列1，（）的前项和为（1）求，；（2）猜想前项和，并证明【答案】（1），；（2）；证明见解析【解析】（1），；（2）猜想前项，证明：当时，,成立，当时，假设命题成立，即，那么当时，即当时，命题成立，综上可知当时，命题成立，即.