4.5 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】（举一反三）（北师大版）（教师版）.docx

1、专题4.5 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】【北师大版】【题型1 线段中的整体思想】1【题型2 线段中的方程思想】5【题型3 线段中的分类讨论思想】11【题型4 线段中的数形结合思想】17【题型5 角中的整体思想】22【题型6 角中的方程思想】30【题型7 角中的分类讨论思想】37【题型8 角中的数形结合思想】43【题型1 线段中的整体思想】【例1】（2022全国七年级专题练习）线段AB16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD2，E为BC的中点(1)如图1，当AC4时，求DE的长(2)如图2，F为AD的中点点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发

2、生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长【答案】(1)DE=4(2)EF=7【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长；（2）由题意可得AD+BC=AB+CD，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出FD+CE=12AD+BC，代入EF=FD+CE-CD，即可求出EF长【详解】（1）AB16，CD2，AC4，BC=AB-AC=16-4=12，AD=AC+CD=6,E为BC的中点，BE=12BC=6，DE=AB-AD-BE=16-6-6=4；（2）线段EF的长度不会发生变化，EF=7，AB16，CD2，AD+BC=AB+CD=16+2

3、=18，F为AD的中点，E为BC的中点，FD+CE=12AD+BC=1218=9，EF=FD+CE-CD=9-2=7【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系【变式1-1】（2022黑龙江大庆期末）如图1，已知点C在线段AB上，且AM=13AC，BN=13BC(1)若AC=12，CB=6，求线段MN的长(2)若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC=a，其他条件不变，求线段MN的长【答案】(1)12(2)23a【分析】（1）若AC=12，CB=6，求线段MN的长；（2）若点C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC=a，请直接写出线

4、段MN的长；（1）解：因为AM=13AC，BN=13BC，AC=12，CB=6，所以AM=1312=4，BN=136=2AB=AC+BC=12+6=18 所以MN=AB-AM-NB=18-4-2=12（2）解：因为AM=13AC，BN=13BC，AC+BC=a，所以：AM+BN=13AC+BC=13a，所以MN=AB-AM+BN=AC+BC-AM+BN=a-13a=23a【点睛】本题考查了两点间的距离，利用AM=13ACBN=13BC，得出AM的长，BN的长是解题关键【变式1-2】（2022四川德阳七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点(1)若A

5、B=10cm，求线段MN的长；(2)若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长【答案】(1)MN5cm(2)PN32cm【分析】（1）根据线段中点的性质可得MC12AC，CN12BC再根据MNMC+CN12AC+12BC12（AC+BC）代入计算即可得出答案；（2）先根据题意可计算出AP的长度，由线段中点的性质可得AB2AP，CBABAC，CN12CB，再根据PNCNCP代入计算即可得出答案(1)解：M、N分别是AC、BC的中点，MC12AC，CN12BC，MNMCCN12AC12BC12（ACBC）12AB12105（cm）.(2)解：AC3，CP1，APACCP4，点P是线段AB的中点，

6、AB2AP8，CBABAC5，点N是线段CB的中点，CN12CB52（cm），PNCNCP52132（cm）【点睛】本题主要考查了两点间距离的计算，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键【变式1-3】（2022湖南长沙七年级期末）如图，已知B、C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，且AB=CD(1)如图线段AD上有6个点，则共有_条线段；(2)比较线段的大小：AC_BD（填“”、“=”或“”）；(3)若AD=12，BC=8，求MN的长度【答案】(1)15(2)(3)10【分析】（1）根据线段有两个端点，得出所有线段的条数；（2）依据ABCD，即可得到ABBCCDBC，进

7、而得出ACBD；（3）依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度(1)线段AD上有6个点，图中共有线段条数为6（61）215；故答案为：15；(2)ABCD，ABBCCDBC，即ACBD；故答案为：；(3)AD=12，BC=8，AB+CD=AD-BC=4，M是AB的中点，N是CD的中点，BM=12AB，CN=12CD，BM+CN=12AB+CD=124=2，MN=BM+CN+BC=2+8=10【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性【题型2 线段中的方程思想】【例2】（2022河

8、南信阳七年级期末）如图，A，B，C，D四点在同一条直线上(1)若AB=CD，比较线段的大小：AC_BD；（填“”“=”或“5，且CD=AB时，求t的值；(3)取线段CD的中点M，当BM=14OA时，求t的值【答案】(1)BC=12AD(2)t=15(3)t=5或t=253【分析】（1）分别计算出BC和AD即可等到BC=12AD；（2）先计算得到CD的关于t的表达式，再根据CD=AB求出t即可；（3）根据M在点B前面和后面两种情况分别计算出BM关于t的表达式，再根据BM=14OA即可计算出t（1）当t=2时，AC=1t=2,BC=OB-(OA+AC)=15-10-2=3 ，OD=2t=4,AD=

9、OA-OD=10-4=6，BC=12AD;（2）当D在C后面时，如下图所示，OD=2t,OC=OA+AC=10+t，CD=OC-OD=10-t,AB=15-10=5CD=AB，10-t=5，t=5（舍去），点D在点C的前面时，如下图所示，CD=OD-OC=2t-10+t=t-10,CD=AB，t-10=5，即t=15（3）当点M在点B左边时，BM=OB-OM=OB-OD-DM=15-2t-12(10+t-2t)=10-32t又BM=14OA，10-32t=1410即t=5；当点M在点B右边时，BM=OM-OB=OD+DM-OB=2t+12(10+t-2t)-15=32t-10又BM=14OA3

10、2t-10=1410即t=253，t=5或t=253【点睛】本题考查数轴上的点及线段的长度，解题的关键是根据题意建立等式.【题型3 线段中的分类讨论思想】【例3】（2022全国七年级专题练习）已知线段AB上有两点C、D，使得ACCDDB=123，M是线段AC的中点，点N是线段AB上的点，且满足DN=14DB，AB=24，求MN的长【答案】7或13【分析】设AC=x，则CD=2x，DB=3x，根据题意得x+2x+3x=24，计算得x=4，即可得AC=4，CD=8，DB=12，CB=20，根据点M是线段AC的中点得MC=12AC=2，根据DB=12，DN=14DB得DN=3，分以下两种情况：当点N

11、在线段CD上时， 当点N在线段DB上时，进行计算即可得【详解】解：设AC=x，则CD=2x，DB=3x，AB=24，x+2x+3x=24，6x=24解得x=4，AC=4，CD=8，DB=12，CB=20，点M是线段AC的中点，MC=12AC=2，DB=12，DN=14DB，DN=1412=3，分以下两种情况：当点N在线段CD上时，MN=MC+CD-DN=2+8-3=7，当点N在线段DB上时，MN=MC+CD+DN=2+8+3=13，综上所述，线段MN的长度为7或13【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的计算，线段的中点的性质，解题的关键是掌握线段中点的性质，分类讨论【变式3-1】

12、（2022福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足(a+1)2+|b-3|=0(1)填空：a ，b ，AB ；(2)若数轴上存在一点C，且AC2BC，求C点表示的数；(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间【答案】(1)1，3，4(2)53或7(3)甲：

13、t+1；乙：3-2t或2t-3；t=23秒或t=4秒【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式求得A、B两点之间的距离；（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；（3）甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（）当0t32时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（）当t32时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离；分两种情况：（）0t32，（）t32，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可（1

14、）因为(a+1)2+|b-3|=0，所a+1=0,b-3=0，所以a=-1,b=3；所以AB的距离|b-a|=4，故答案为：1，3，4；（2）设数轴上点C表示的数为c因为AC=2BC，所以|c-a|=2|c-b|，即|c+1|=2|c-3|因为AC=2BCBC，所以点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上当C点在线段AB上时，则有-1c3，得c+1=2(c-3)，解得c=7故当AC=2BC时，c=53或c=7；（3）因为甲球运动的路程为：1t=t,OA=1，所以甲球与原点的距离为：t+1；乙球到原点的距离分两种情况：（I）当032时，乙球从原点O处开始一直向右运动

15、，此时乙球到原点的距离为：2t-3；当032时，得t+1=2t-3，解得t=4故当t=23秒或t=4秒时，甲乙两小球到原点的距离相等【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键【变式3-2】（2022全国七年级专题练习）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC8m，AB=32BC机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动(1

16、)BC_m，AB_m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ2m？请直接写出x的值【答案】(1)16，24(2)当x=45，即运动45秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处(3)当x=32或x=52或x=194，即运动x=32或x=52或x=194秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m【分析】（1）由AB=32BC且AC=8cm得8+BC=32BC，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可；（2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=12AQ列方程

17、求出x的值即可；（3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可【详解】（1）解：AB=32BC，AB=AC+BC，AC=8m，8+BC=32BC，解得：BC=16m，AB=3216=24m故答案为：16，24（2）解：由题意可得：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，6x=128+2x），解得x=45答：当x=45，即运动45秒时，机器狗P

18、在点A与机械猫Q的中点处（3）解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=32；当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或242-6x=8+2x+2，解得x=52或x194答：当x=32或x=52或x=194，即运动x=32或x=52或x=194秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键.【变式3-3】（2022江西省丰城中学七年级期中）已知数轴上A点表示的数是a，B点表示的数是b，且a，b满足式子a+32+b

19、-6=0(1)写出a=_，b=_(2)将数轴上线段AB剪下来，并把AB这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为1：2：2，求折痕处对应的点所表示的数【答案】(1)-3；6(2)35或32或125【分析】（1）根据绝对值的非负性与偶次方的非负性，非负数的性质得出a+3=0，b-6=0，再解方程即可求解（2）设折痕处点表示数为x，被剪处为点C、D，分三种情况：当AC:CD:DB=1:2:2时，当AC:CD:DB=2:1:2时，当AC:CD:DB=2:2:1时，分别求解好戏可（1）解：(a+3)2+|b-6|=0，又(a+3)20，|b-6|0，a+3=0

20、，b-6=0，a=-3，b=6故答案为：-3；6（2）解：设折痕处点表示数为x，当AC:CD:DB=1:2:2时，AB=5AC=9，AC=95，x=-3+295=35当AC:CD:DB=2:1:2时，则AB=5CD=9，CD=95，AC+12CD=52CD=5295=92，x=-3+92=32当AC:CD:DB=2:2:1时，则AB=5DB=9，DB=95，AC+12CD=3DB=395=275x=-3+275=125综上，折痕处表示的数为：35或32或125【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，非负数的性质，线段和差倍分，熟练掌握偶次方与绝对值的非负性，分类讨论思想的应用是解题的关键【题型

21、4 线段中的数形结合思想】【例4】（2022广东东莞七年级期末）如图，C是线段AB上一点，AB12cm，AC4cm，P、Q两点分别从A、C出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向右运动，运动的时间为ts(1)当t1s时，CP cm，QB cm；(2)当运动时间为多少时，PQ为AB的一半？(3)当运动时间为多少时，BQAP？【答案】(1)3，6；(2)运动时间为2s时，PQ为AB的一半；(3)运动时间为83s或8s时，BQ=AP【分析】（1）根据CP=AC-AP，QB=AB-AQ的关系，由P、Q两点分别从A、C出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向右运动，求解当t=1s对应的长度即

22、可；（2）通过建立一元一次方程进行求解即可；（3）通过分类讨论的思想，当点Q到点B的左边或右边时，通过建立一元一次方程进行求解(1)解：CP=AC-AP，当t=1s，AP=1cm，CP=4-1=3cm，QB=AB-AQ，当t=1s，CQ=2cm，QB=12-4-2=6cm，故答案为：3，6；(2)解：设运动t秒时，PQ是AB的一半，当点P到点C的左边时，PQ=PC+CQ=4-t+2t=6，解得：t=2，当点P到点C的右边时，PQ的距离大于AB的一半，不满足题意，故运动时间为2s时，PQ是AB的一半；(3)解：当点Q到点B的左边时，设运动t秒时，BQ=AP，则8-2t=t，解得：t=83，当点Q

23、到点B的右边时，设运动t秒时，BQ=AP，则2t-8=t，解得：t=8，故运动时间为83s或8s时，BQ=AP【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程，两点间的距离，解题的关键是通过数形结合及分类讨论的思想进行求解【变式4-1】（2022山东德州七年级期末）已知，线段AB=20，M是线段AB的中点，P是线段AB上任意一点，N是线段PB的中点（1）当P是线段AM的中点时，求线段NB的长；（2）当线段MP=1时，求线段NB的长；（3）若点P在线段BA的延长线上，猜想线段PA与线段MN的数量关系，并画图加以证明【答案】（1）7.5；（2）4.5或5.5；（3）PA=2MN，画图证明见解析【分

24、析】（1）画出符合题意的图形，先求解AM=10， 再求解AP=5， 可得PB=15， 再利用中点的含义可得答案；（2）分两种情况讨论：当P在M左边时，当P在M右边时，先求解PB, 再利用中点的含义可得答案； （3）当P在线段BA延长线上时，如图，设PA=t，求解NB=10+12t，再求解MN=NB-MB=12t，从而可得结论【详解】解：（1）如图，M是线段AB的中点，AB=20MA=12AB=10P是线段AM的中点，AP=12AM=5PB=AB-AP=20-5=15N是线段PB的中点NB=12PB=7.5（2）MP=1，当P在M左边时，如图，BP=MB+MP=11，N是线段PB的中点，NB=1

25、2PB=5.5，如图，当P在M右边时，BP=MB-MP=9，N是线段PB的中点，NB=12PB=4.5（3）线段PA和线段MN的数量关系是：PA=2MN，理由如下：当P在线段BA延长线上时，如图，设PA=t，则PB=20+tN是线段PB的中点NB=12PB=10+12tM是线段AB的中点，AB=20MB=12AB=10MN=NB-MB=12t又PA=tPA=2MN【点睛】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，整式的加减运算，分类思想的运用，掌握以上知识是解题的关键【变式4-2】（2022全国七年级专题练习）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：ABm，CDn，且m，n满足m-4+

26、n-82=0，点M，N分别为AB，CD中点(1)求线段AB，CD的长；(2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动若运动6秒后，MN4，求此时线段BC的长；(3)若BC24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内【答案】(1)线段AB的长是4，线段CD的长是8(2)16或8(3)当7.5t9时，MN+AD为定值，定值为6【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求出m和n的值即可；（2）分M在N的左侧和M在N的右侧两种情况，根据线段的和差关系列出

27、方程，即可求解；（3）由题意，运动t秒后，MN=30-4t，AD=36-4t，分段讨论即可求解（1）解：m-4+n-82=0，m-4=0，n-82=0，m=4，n=8，AB=4，CD=8，即线段AB的长是4，线段CD的长是8；（2）解：AB=4，CD=8，MB=12AB=2，CN=12CD=4，设运动后点M对应点为M，点N对应点为N，分两种情况，若6秒后，M在N的左侧时：MN+NN=MM+MN，MB+BC+CN+NN=MM+MN，即2+BC+4+61=64+4，解得BC=16若6秒后，M在N的右侧时：MM=MN+NN+MN，MM=MB+BC+CN+NN+MN，即64=2+BC+4+61+4，解

28、得BC=8即线段BC的长为16或8；（3）解：BC24，AB=4，CD=8，MN=BC+12AB+12CD=24+2+4=30，AD=BC+AB+CD=24+4+8=36，线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，运动t秒后，MN=30-4t，AD=36-4t，当0t9时，MN+AD=4t-30+4t-36=8t-66；故当7.5t9时，MN+AD为定值，定值为6【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想【变式4-3】（2022河南周口七年级期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGebra做了n次

29、取线段中点实验：如图，设线段OP0=1第1次，取OP0的中点P1；第2次，取P0P1的中点P2；第3次，取P1P2的中点P3，第4次，取P2P3的中点P4；(1)请完成下列表格数据次数Pi-1Pi线段OPi的长第1次P0P1=12OP1=OP0-P0P1=1-12第2次P1P2=122OP2=OP1+P1P2=1-12+122第3次P2P3=123OP3=OP2-P2P3=1-12+122-123第4次P3P4=124OP4=OP3+P3P4=1-12+122-123+124第5次(2)小明对线段OP4的表达式进行了如下化简：因为OP4=1-12+122-123+124，所以2OP4=21-1

30、2+122-123+124 =2-1+12-122+123两式相加，得3OP4=2+124所以OP4=23+1324请你参考小明的化简方法，化简OP5的表达式(3)类比猜想：Pn-1Pn=_，OPn=_，随着取中点次数n的不断增大，OPn的长最终接近的值是_【答案】(1)P4P5=125，OP5=OP4-P4P5=1-12+122-123+124-125(2)OP5=23-1325(3)12n，23+(-1)n32n，23【分析】（1）根据表中的规律可求出P4P5，根据OP5=OP4-P4P5可得出答案；（2）参照小明对线段OP4的表达式的化简可得OP5的表达式；（3）根据类比猜想可得答案（1

31、）解：P4P5=125，OP5=OP4-P4P5=1-12+122-123+124-125；故答案为：P4P5=125，OP5=OP4-P4P5=1-12+122-123+124-125；（2）解：因为OP5=1-12+122-123+124-125，所以2OP5=21-12+122-123+124-125 =2-1+12-122+123-124两式相加，得3OP5=2-125所以OP5=23-1325；（3）解：Pn-1Pn=12n，OPn=23+(-1)n32n，随着取中点次数n的不断增大OPn的长最终接近的值是23故答案为：12n，23+(-1)n32n，23【点睛】本题考查规律型：图形

32、的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键【题型5 角中的整体思想】【例5】（2022山西七年级期末）数学课上，李老师出示了如下题目将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出AOC，BOD的平分线OM，ON，然后提出问题：求MON的度数小明与同桌小丽讨论后，进行了如下解答：特殊情况，探索思路将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是AOC和BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON，OD，OB在同一直线上按图3方式摆放时，AOC和BOD相等（1）请你直接写出计算结果：图2中MON的度数为_，图3中MON的度数为_；特例启发，解答题目（2）请你完成李老师出示的题目的解答过

33、程；拓展结论，设计新题（3）若将李老师出示的题目中条件“分别作出AOC，BOD的平分线OM，ON”改为“分别作出射线OM，ON，使AOM=34AOC，DON=14BOD”，请你直接写出MON的度数【答案】（1）135；135；（2）答案见解析；（3）112.5【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；（2）根据已知条件得到AOC+BOD=180-COD=90，根据角平分线的定义得到MOC+NOD =12AOC+12BOD=12(AOC+BOD)=45，于是得到结论；（3）根据已知条件得到AOC+BOD=180-COD=90，根据角平分线的定义得到MOC+NOD=14AOC+BOD

34、=22.5，于是得到结论【详解】（1）解：图2中，MON=1290+90=135,图3中，MDN=12AOC+12BOD+COD=12(AOC+BOD)+90=1290+90=135；故答案为：135，135；（2）图1中，COD=90，AOC+BOD=180-COD=90，OM和ON是AOC和BOD的角平分线，MOC+NOD=12AOC+12BOD=12(AOC+BOD)=45，MON=（MOC+NOD）+COD=45+90=135；（3）COD=90，AOC+BOD=180-COD=90，AOM=34AOC，DON=14BOD，MOC=14AOC，MOC+NOD=14AOC+14BOD=1

35、4(AOC+BOD)=22.5，MON=（MOC+NOD）+COD=22.5+90=112.5；故答案为：112.5【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键【变式5-1】（2022全国七年级课时练习）如图，已知AOB内部有三条射线，其中OE平分角BOC，OF平分AOC（1）如图1，若AOB=120，AOC=30，求EOF的度数？（2）如图2，若AOB=，求EOF的度数，（用含的式子表示）（3）若将题中的“平分”的条件改为“EOB=13COB，COF=23COA，且AOB=，求EOF的度数（用含的式子表示）【答案】(1) 45;(2) 1

36、2a; (3)23a【分析】(1) 首先求得BOC的度数, 然后根据角的平分线的定义和角的和差可得EOF=EOC+COF即可求解;(2) 根据角的平分线的定义和角的和差可得EOF=EOC+COF=12BOC+12AOC=12 (BOC+AOC),即可求解;(3) 根据角的等分线的定义可得EOF=EOC+COF=23BOC+23.AOC= 23(BOC+AOC) =23AOB,即可求解.【详解】解：（1）BOC=AOBAOC=9030=60，OE平分BOC，OF平分AOC，EOC=BOC=60=30，COF=AOC=30=15，EOF=EOC+COF=30+15=45；（2）OE平分BOC，OF

37、平分AOC，EOC=BOC，COF=AOC，EOF=EOC+COF=BOC+AOC=（BOC+AOC）=AOB=a；（3）EOB=BOC，EOC=BOC，又COF=AOC，EOF=EOC+COF=BOC+AOC=（BOC+AOC）=AOB=a【点睛】本题主要考查角的计算及角平分线的定义，注意运算的准确性.【变式5-2】（2022全国七年级）已知AOB120，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分AOC和DOB（1）如图，若OC、OD是AOB的三等分线，求MON的度数；（2）如图，若COD50，AOCDOB，则MON_；（3）如图，在AOB内，若COD(060)，则MON_【答案】（1

38、）80；（2）85；（3）60+12【分析】（1）由题意易得AOCCODDOB=1312040，进而可得MOC=12AOC20，DON=12DOB20，然后问题可求解；（2）由题意易得MOC=12AOC，DON=12DOB，则有MOC+DON=12AOC+DOB，进而可得MOC+DON35，然后问题可求解；（3）由题意可得MOC+DON=12AOC+DOB，则有MOC+DON60-12，然后根据角的和差关系可求解【详解】解：（1）OC、OD是AOB的三等分线，AOCCODDOB=1312040，射线OM、ON分别平分ACO和DOB，MOC=12AOC20，DON=12DOB20，MON20+4

39、0+2080；（2）射线OM、ON分别平分ACO和DOB，MOC=12AOC，DON=12DOB，MOC+DON=12AOC+DOB，AOB120，COD50，AOC+DOB120-5070，MOC+DON35，MON50+3585；故答案为85；（3）射线OM、ON分别平分AOC和DOB，MOC=12AOC，DON=12DOB，MOC+DON=12AOC+DOB，AOB120，COD，AOC+DOB120-，MOC+DON60-12，MON60-12+60+12；故答案为60+12【点评】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的性质【变式5-3】（2022全国七年级单元测试）如图，将一副三角

40、板如图所示摆放，AOB60，COD45，OM，ON分别平分AOD、COB(1)求MON的度数；(2)将图中的三角板OCD绕点旋转到如图的位置，求MON的度数；(3)将图中的三角板OCD绕点旋转到如图的位置，猜想MON的度数，并说明理由【答案】(1)525(2)525(3)525，理由见解析【分析】（1）利用角平分线的性质，分别求出NOB和MOB，相加即可求得MON，（2）由角平分线分别表示出MOD和NOB，则MON=12AOD+12COB+BOD，将式子变形为MON=12 AOD+BOD+COB+BOD=12AOB+COD，代值计算即可，（3）同（2）由角平分线分别表示出MOD和NOB，则MO

41、N=12AOD+12COB-BOD，将式子变形为MON=12 AOD+BOD-COB-BOD =12AOD-BOD +12COB-BOD =12AOB+COD，代值计算即可，（1）OM平分AOD，ON平分COBNOB=12COB=225，MOB=12AOD=30，MON=NOB+MOB=225+30=525，（2）OM平分AOD，ON平分COBMOD=12AOD，NOB12COB，MON=12AOD+12COB+BOD，=12AOD+COB+2BOD，=12AOD+BOD+COB+BOD，=12AOB+COD=1260+45=52.5，（3）OM平分AOD，ON平分COBMOD=12AOD，N

42、OB=12COB，MON=12AOD+12COB-BOD，=12AOD+COB-2BOD，=12AOD-BOD+12COB-BOD，=12AOB+COD =1260+45 =52.5【点睛】本题考查了角平分线的性质，几何图形中角的计算准确识图并发现角度之间的关系是解题关键【题型6 角中的方程思想】【例6】（2022黑龙江牡丹江七年级期末）以直线MN上点O为端点作射线OC，将直角三角板AOB的直角顶点放在点O处(1)如图，三角板AOB的边OB在射线ON上，若BOC=40，则AOC=_(2)如图，将三角板绕点O逆时针方向转动，使得OB平分CON，请判断OA平分COM吗？并说明理由(3)若CON=5

43、0，将三角板AOB绕点O按逆时针方向转动，使得BOC=13AOM，则BON=_（可用备用图）【答案】(1)50(2)OA平分MOC，见解析(3)30或60【分析】（1）代入AOB=AOC+COB求出即可；（2）求出COB=BON，根据AOB=90求出AOM+BON=90，AOC+COB=90，推出AOM=AOC，即可得出答案；（3）设BOC=x，则AOM=3x，分OB在CON的内部和在COM的内部时两种情况讨论，利用平角的性质列出方程求解即可（1）解：AOB=AOC+COB=90，又COB=40，AOC=50，故答案为：50；（2）解：OA平分MOC，理由如下：OB平分NOC，COB=BON=

44、12NOC，AOB=90，AOM+BON=180-90=90，AOC+COB=90，AOM=AOC，OA平分MOC；（3）解：设BOC=x，则AOM=3x，当OB在CON的内部时，如图：AOC=90-x，COM=180-50=130，AOM+AOC=COM=130，3x+90-x=130，x=20，BOC=20，BON=50-20=30；当OB在COM的内部时，如图：AOM+AOB+BOC=COM=130，3x+90+x=130，x=10，BOC=10，BON=10+50=60；故答案为：30或60【点睛】本题考查了角平分线定义和角的计算，一元一次方程的应用，能根据图形和已知求出各个角的度数是

45、解此题的关键.【变式6-1】（2022陕西渭南七年级期末）如图，已知AOC:AOB=2:7,OD是AOB的平分线，若AOC=16，求AOD的度数【答案】AOD=28【分析】设AOC=2x，AOB=7x，由AOC=16，求出x=8，可求AOB=7x=56由OD是AOB的平分线，可得AOD=12AOB=28即可【详解】AOC：AOB=2：7，设AOC=2x，AOB=7x，AOC=162x=16x=8AOB=7x=78=56OD是AOB的平分线，AOD=12AOB=1256=28【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，7等分角问题，关键是能根据题意得出关于x的方程【变式6-2】（2022山东烟台

46、期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分AON(1)当BON=60时，求COM的度数；(2)若AOM=2COM，求AON的度数【答案】(1)COM=30(2)AON=135【分析】（1）根据邻补角得出AON=120，再由角平分线得出CON=60，结合图形求解即可；（2）设COM=x，结合图形利用角平分线及一元一次方程求解即可（1）解：BON=60，AON=120，OC平分AON，CON=12AON=12120=60，MON=90，COM=90-60=30；（2）设COM=x，AOM=2COM，AOM=2x，AOC=3x，OC平分AON，AOC=CON，CON=AO

47、C=3x，COM+CON=90，x+3x=90，解得x=22.5，AON=6x=135【点睛】题目主要考查角平分线的计算，邻补角的计算及一元一次方程的应用，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键【变式6-3】（2022河南郑州七年级期末）如图，已知AOB=90，三角形COD是含有45角的三角板，COD=45，OE平分BOC(1)如图1，当AOC=30时，DOE=_；(2)如图2，当AOC=60时，DOE=_；(3)如图3，当AOC=（90180）时，求DOE的度数（用表示）；(4)由前三步的计算，当0AOC180时，请直接写出AOC与DOE的数量关系为_【答案】(1)15(2)30(3)DOE

48、=12(4)AOC=2DOE【分析】（1）先求出BOC=60，再根据角平分线的定义可得EOC=30，然后根据角的和差即可得；（2）先求出BOC=30，再根据角平分线的定义可得EOC=15，然后根据角的和差即可得；（3）先求出BOC=-90，再根据角平分线的定义可得EOC=12-45，然后根据角的和差即可得；（4）设AOC=x0x180，分0x90和90x180两种情况，参照（1）和（3）的方法求解即可得（1）解：AOB=90,AOC=30，BOC=AOB-AOC=60，OE平分BOC，EOC=12BOC=30，COD=45，DOE=COD-EOC=15，故答案为：15（2）解：AOB=90,A

49、OC=60，BOC=AOB-AOC=30，OE平分BOC，EOC=12BOC=15，COD=45，DOE=COD-EOC=30，故答案为：30（3）解：AOB=90,AOC=90180，BOC=AOC-AOB=-90，OE平分BOC，EOC=12BOC=12-45，COD=45，DOE=COD+EOC=12（4）解：设AOC=x0x180，如图1和图2，当0x90时，AOB=90,AOC=x，BOC=AOB-AOC=90-x，OE平分BOC，EOC=12BOC=45-12x，COD=45，DOE=COD-EOC=12x，即AOC=2DOE；如图3，当90x180时，同（3）可得：DOE=12x

50、，则AOC=2DOE；综上，AOC与DOE的数量关系为AOC=2DOE，故答案为：AOC=2DOE【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，正确找出图形中的角之间的关系是解题关键【题型7 角中的分类讨论思想】【例7】（2022浙江金华七年级期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线(1)如图，已知AOB120，若OC是AOB三等分线，求AOC的度数(2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD设AOC3t，BOD5t当OC是AOD的三等分线时，求t的值当OC是BOD的三等分线时，求BOD

51、的度数【答案】(1)AOC的度数为40或80；(2)：t=907或36019；BOD=270019度【分析】（1）分两种情况讨论，列式计算即可；（2）分两种情况讨论，列式计算即可；计算得到COD=8t-180，分两种情况讨论，列式计算即可(1)解： OC是AOB的三等分线，当AOC=23AOB时，如图：AOB=120，AOC=23AOB=80；当AOC=13AOB时，如图：AOB=120，AOC=13AOB=40；综上，AOC的度数为40或80；(2)解：OC是AOD的三等分线，OC在AOD内，依题意得：(180-5t)3=3t或(180-5t)32=3t，解得：t=907或36019；OC是

52、BOD的三等分线，OC在BOD内，BOD+AOC=180-COD，AOC=3t，BOD=5t，COD=8t-180，依题意得：(8t-180) 3=5t或(8t-180)32=5t，解得：t=54019或54014；BOD=270019度或270014度（舍去）【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三等分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏【变式7-1】（2022江苏文昌初级中学七年级阶段练习）已知如图，COD=90，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G. (1)若OE平分BOA，AF平分BAD，OBA=42，则OGA= (

53、2)若GOA=13BOA，GAD=13BAD，OBA=42，则OGA= ；(3)将(2)中的“OBA=42”改为“OBA=”，其它条件不变，求OGA的度数.(用含的代数式表示)(4)若OE将BOA分成12两部分，AF平分BAD，ABO=(3090) ，求OGA的度数.(用含的代数式表示)【答案】（1）21；（2）14；（3）13；（4）OGA的度数为12+15或1215【分析】（1）由于BAD=OBA+BOA=+90，由AF平分BAD得到FAD=12BAD，而FAD=EOD+OGA，45+OGA=12(+90)，则OGA=12，然后把OBA=42代入计算即可；（2）由于GOA=13BOA=30

54、，GAD=13BAD，OBA=，根据GAD=EOD+OGA得到30+OGA=13(+90)，则OGA=13，然后把OBA=42代入计算即可；（3）由（2）得到OGA=13；（4）讨论：当EOD：COE=1：2时，则EOD=30，利用BAD=ABO+BOA=+90，FAD=EOD+OGA得到30+OGA=12(+90)，则OGA=12+15；当EOD：COE=2：1时，则EOD=60，同理得OGA=1215【详解】（1）21；（2）14；（3）13；（4）当EOD：COE=1：2时，则EOD=30，BAD=ABO+BOA=+90，而AF平分BAD，FAD=12BAD，FAD=EOD+OGA，23

55、0+2OGA=+90，OGA=12+15；当EOD：COE=2：1时，则EOD=60，同理得到OGA=1215，即OGA的度数为12+15或1215考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质【变式7-2】（2022江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图，AOB=90，BOC=(0180)，OD，OE分别是AOB，BOC的平分线(1)如图1，当OC在OB左侧，且=80时，DOE的度数是_；(2)当OC的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究DOE的大小与的数量关系；(3)当DOE的度数为36时，请直接写出的度数【答案】(1)85(2)DOE=45+12或DOE=45-

56、12或DOE=12-45(3)18或162【分析】（1）利用角平分线的定义和角的和差关系求解；（2）分OC在OB左侧，OC在AOB内部，OC在OA下方三种情况，利用角的和差关系分别计算即可求解；（3）将DOE=36代入（2）中结论即可求解（1）解：由题意得，AOB=90，BOC=80，OD，OE分别是AOB，BOCDOB=12AOB=45，EOB=12BOC=40，DOE=DOB+EOB=45+40=85，即DOE的度数是85；（2）解：分三种情况讨论，当OC在OB左侧时，如下图所示：DOE=DOB+EOB=12AOB+12BOC=45+12；当OC在AOB内部时，如下图所示：DOE=DOB-

57、EOB=12AOB-12BOC=45-12；当OC在OA下方时，如下图所示：DOE=EOB-DOB=12BOC-12AOB=12-45；综上可知，DOE=45+12或DOE=45-12或DOE=12-45（3）解：由（2）可知，DOE=36时，45-12=36，或12-45=36，或36=45+12解得=18，或=162，或=-18（舍去），即的度数为18或162【点睛】本题考查角平分线的定义和角的和差关系，需要注意OC的位置有多种可能，掌握分类讨论思想是解题的关键【变式7-3】（2022广东汕头七年级期末）探索新知：如图1，射线OC在AOB的内部，图中共有3个角：AOB，AOC和BOC，若其

58、中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是AOB的“巧分线”（1）一个角的平分线_这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）；（2）如图2，若MPN=，且射线PQ是MPN的“巧分线”，则MPQ=_；（用含的代数式表示）；深入研究：如图2，若MPN=60，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180时停止旋转，旋转的时间为t秒若射线PM同时绕点P以每秒5的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请求出当射线PQ是MPN的“巧分线”时的值【答案】（1）是；（2）12或13或23；深入研究：当t为2.4或4或6时，射线PQ是MPN的“巧分线”【分析】（1）根据巧

59、分线定义即可求解；（2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解；深入研究：分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可【详解】（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”，故答案为：是；（2）MPN=，当MPN=2MPQ时，如图：MPQ=12；当QPN=2MPQ时，如图：MPQ=13；当MPQ=2QPN时，如图：MPQ=23，故答案为：12或13或23；深入研究：依题意有：10t=135t+60，解得t=2.4；10t=125t+60，解得t=4；10t=235t+60，解得t=6；故当t为2.4或4或6时，射线PQ是MPN的“巧分线”【点睛】本题考查了几何问题中的角度计算，解一元一次方程，巧分线定义，

60、学生的阅读理解能力及知识的迁移能力理解“巧分线”的定义是解题的关键【题型8 角中的数形结合思想】【例8】（2022浙江台州七年级期末）如图，已知AOB120，OC是AOB内的一条射线，且AOC：BOC=1：2(1)求AOC，BOC的度数；(2)作射线OM平分AOC，在BOC内作射线ON，使BON=70，补全图形， 并求出MON的度数；(3)若存在射线OD，使AOD=4BOD，请直接写出所有可能的COD的度数【答案】(1)AOC=40，BOC=80(2)MON=30(3)56或120或128【分析】（1）根据角的倍分关系求解即可；（2）根据题意画出图形，求出CON和COM即可求解；（3）分射线O

61、D在AOB的内部和射线OD在AOB的外部分别求解即可(1)解：AOB=120，AOC：BOC=1：2AOC=13AOB=40，BOC=23AOB=80；(2)解：如图，BOC=80，BON=70，CON=BOC-BON=10，OM平分AOC，COM=12AOC=20，MON=CON+COM=30；(3)解：当射线OD在AOB的内部时，如图，AOD=4BOD，BOD=15AOB=24，COD=BOC-BOD=80-24=56；当射线OD在AOB的外部时，如图，AOD=4BOD，BOD=13AOB=40，或BOD=15(360-AOB)=48COD=BOC+BOD=80+40=120，或COD=8

62、0+48=128，综上，COD的度数为56或120或128【点睛】本题考查简单作图、角平分线的定义、角的运算，属于基础题型，解答关键是理解题意，利用数形结合和分类讨论思想进行角度的运算【变式8-1】（2022山东临沂七年级期末）已知AOB、COD，射线OE平分AOD；(1)如图1，已知AOB=180、COD=90，若DOB=46，求COE的度数；(2)AOB、COD的位置如图2，已知COD=12AOB，求COE:DOB的值【答案】(1)COE=23(2)COE:DOB=1:2【分析】（1）先根据邻补角性质求出AOD=134，再根据角平分线定义求出EOD度数，即可由COE=COD-EOD求解；（

63、2）由角平分线得EOD=12AOB+BOD，又因为COD=12AOB，则EOC=EOD-COD =12AOB+12BOD-12AOB =12BOD，即可求解（1）解：AOB=180，DOB=46，AOD=134，OE平分AOD，EOD=12AOD=12134=67，COD=90，COE=COD-EOD=90-67=23；（2）解：OE平分AOD，EOD=12AOB+BODCOD=12AOB，EOC=EOD-COD=12AOB+12BOD-12AOB=12BODCOE:DOB=1:2【点睛】本题考查与角平分线有关的角的计算，利用数形结合，熟练掌握利用数形结合进行角的和差倍分运算是解题的关键【变式

64、8-2】（2022全国七年级单元测试）操作与实践：在综合与实践活动课上，老师将一副三角板按图1所示的位置摆放，分别在AOC，BOD的内部作射线OM，ON，然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求MON的度数(1)特例探究：“兴趣小组”的同学添加了：“若OM，ON分别平分AOC，BOD”，画出如图2所示图形小组3号同学佳佳的做法：由于图中AOC与BOD的和为90，所以我们容易得到MOC与NOD的和，这样就能求出MON的度数请你根据佳佳的做法，写出解答过程(2)特例探究：“发现小组”的同学添加了：“若MOC=13AOC，DON=13BOD”，画出如图3所示图形小组2号同学乐乐的做法：设AOC的度

65、数为x，我们就能用含有x的式子表示出COM和DON的度数，这样就能求出MON的度数，请你根据乐乐的做法，写出解答过程(3)类比拓展：受“兴趣小组”和“发现小组”的启发，“创新小组”的同学添加了：“若MOC=1nAOC，DON=1nBOD”请你直接写出MON的度数【答案】(1)135(2)120(3)90n+90【分析】根据题意，由于图中AOC与BOD的和为90，所以我们容易得到MOC与NOD的和，这样就能求出MON的度数，即可求解【详解】（1）OM，ON分别平分AOC，BODMOC=12AOC,DON=12BOD AOC+BOD =180-COD=90MON=MOC+COD+DON=12AOC

66、+BOD+90 =45+90=135，（2）MOC=13AOC，DON=13BOD设AOC的度数为x，COM+DON=13AOC+BOD，MON=MOC+COD+DON=13AOC+BOD+90=30+90=120，（3）MOC=1nAOC，DON=1nBOD设AOC的度数为x，COM+DON=1nAOC+BOD，MON=MOC+COD+DON=1nAOC+BOD+90=90n+90【点睛】本题考查了角平分线，n等分线，角度的和差计算，数形结合是解题的关键【变式8-3】（2022山东烟台市福山区教学研究中心期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴趣小组对

67、一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合已知一副三角板重合的顶点记为点O，作射线OE平分AOC，射线OF平分BOD，来研究一下45三角板不动，30三角板绕重合的顶点O旋转时，EOF的度数如何变化【A组研究】在同一平面内，将这副三角板的的两个锐角顶点重合（图中点O），此时AOB=45，COD=30将三角板OCD绕点O转动（1）如图，当射线OB与OC重合时，则EOF的度数为_；（2）如图，将COD绕着点O顺时针旋转，设BOC=，EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图求出EOF的度数；如果变化，请简单说明理由【B组研究】在同一平面内，将这副直角三角板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合(图中点O)

68、，此时AOB=90，COD=30，将三角板OCD绕点O转动（3）如图，当三角板OCD摆放在三角板AOB内部时，则EOF的度数为_；（4）如图，当三角板OCD转动到三角板AOB外部，设BOC=，EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图求出EOF的度数；如果变化，请简单说明理由【答案】（1）37.5；（2）不变，37.5；（3）60；（4）不变，60【分析】（1）根据EOF=EOB+COF=12AOB+12COD即可求得答案；（2）根据条件得COE=12AOC=(45-a),BOF=BOD=12(30-a)，又因为EOF=COE+BOF+BOC，得出答案；（3）根据EOF=COE+DOF+CO

69、D =12AOB+12COD，得出答案；（4）根据EOF=COE+BOF-BOC=12(90+)+12(30+)-，得出答案；【详解】解: (1) AOB=45,COD=30，OE平分AOC，OF平分BOD， EOF=EOB+COF=12AOB+12COD =22.5+15=37.5，故答案为：37.5；(2)不变；BOC=a,AOB=45,COD=30，AOC=45-a,BOD=30-a，OE平分AOC，OF平分BOD，COE=12AOC=(45-a),BOF=BOD=12(30-a)，COE=12AOC,DOF=12BOD， EOF=COE+BOF+BOC，=12AOC+12BOD+a，=12(45-a)+12(30-a)+a，=37.5；(3) EOF=COE+DOF+COD，=12COA+12BOD+COD，=12(COA+BOD)+COD，=12(AOB-COD)+COD，=12AOB+12COD，=45+15，=60，故答案为：60；(4)不变，由题意得，COE=12AOC，DOF=12BOD，EOF=COE+BOF-BOC，=12AOC+12BOD-，=12(90+)+12(30+)-，=60【点睛】本题考查角的计算，解题关键根据角平分线的性质结合图形得出结论