5.3.2.2 函数的最大(小)值-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）.docx

1、5.3.2.2函数的最大(小)值【考点梳理】考点一函数最值的定义1一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值2对于函数f(x)，给定区间I，若对任意xI，存在x0I，使得f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意xI，存在x0I，使得f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值考点二求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端

2、点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值【题型归纳】题型一：函数的最值与极值的关系1（2021全国高二）已知函数的导函数图像，如图所示，那么函数（）A在上单调递增B在处取得极小值C在处切线斜率取得最大值D在处取得最大值2（20

3、21秋河北石家庄高二河北新乐市第一中）已知函数在（1，2）上有最值，则a的取值范围是（）ABCD3（2022秋福建泉州高二校联考期中）已知函数，以下结论中错误的是（）A是偶函数B有无数个零点C的最小值为D的最大值为题型二：不含参函数的最值问题4（2022秋四川乐山高二统考期末）已知函数，则函数在的最小值为（）A1BCD5（2022春陕西渭南高二统考期末）已知函数在处取得极值.(1)求实数的值；(2)求函数在上的最大值和最小值.6（2022全国高二假期作业）已知函数(1)求函数的单调区间与极值；(2)求函数在区间上的最值题型三：含参函数的最值问题7（2022春江西宜春高二上高二中校考阶段练习）已

4、知函数，其中.(1)求函数的单调区间；(2)设，若对任意的，恒成立，求的最大值.8（2022秋陕西西安高二统考期末）已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若函数在上无零点，求实数a的取值范围.9（2022秋四川凉山高二统考期末）已知函数(1)讨论的单调性；(2)若，求a的取值范围题型四：由函数的最值求参数问题10（2022秋四川雅安高二统考期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD11（2022秋四川成都高二四川省成都市新都一中校联考期末）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（）ABCD12（2022秋湖北武汉高二校联考阶段练习）若函数在上的最大值与最小值之

5、和不小于，则实数a的取值范围为（）ABCD题型五：函数的单调性、极值和最值的综合问题13（2022春陕西西安高二西安中学校考期中）已知函数，(1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若，存在两个极值点，证明：14（2022秋上海宝山高二上海市行知中学校考期末）已知函数.(1)求函数的极值；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.15（2022秋湖北武汉高二武汉市第一中学校考阶段练习）已知函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值【双基达标】一、单选题16（2022春陕西延安高二校考阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的最大

6、值是（）A1BC0D17（2022春江苏连云港高二校考期末）函数的导函数的图象如图所示，则（）A为函数的零点B为函数的极大值点C函数在上单调递减D是函数的最小值18（2022秋广东潮州高二饶平县第二中学校考开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（）ABCD19（2022春浙江高二校联考阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（）ABCD20（2022秋浙江杭州高二杭州四中校考期中）设函数，若函数只有1个零点，则函数在上的最大值为（）A0BCD21（2022春新疆巴音郭楞高二新疆和静高级中学校）已知函数在处取得极值-14.(1)求a，b的值；(2)求曲线在点处的切线方程；(3)求函数

7、在上的最值.22（2022春陕西渭南高二统考期末）已知函数.(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；(2)若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围.【高分突破】一、单选题23（2022高二课时练习）已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数k的最大值是（）A1B0C1D224（2022秋黑龙江哈尔滨高二哈尔滨市第六中学校校考期末）若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（）A1B2CD325（2022秋贵州贵阳高二校联考期末）若函数在上的最小值为，则a的值为（）A0B1CD26（2022秋江西上饶高二校联考期末）已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为（）.ABCD27（2022秋北京海淀高二

8、统考期末）已知函数，给出下列三个结论：一定存在零点；对任意给定的实数，一定有最大值；在区间上不可能有两个极值点其中正确结论的个数是（）A0B1C2D328（2022秋重庆江北高二重庆十八中校考期末）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）ABCD二、多选题29（2022春江苏盐城高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知函数，则下列判断正确的是（）A存在，使得B函数有且只有一个零点C存在正数k，使得恒成立D对任意两个正实数，且，若，则30（2022秋辽宁辽阳高二辽阳市第一高级中学校联考期末）已知函数，则下列说法正确的是（）A当时，在点的切线方程是B当时，在R上是减函数C若只有一个极值点，则或D

9、若有两个极值点，则31（2022秋河北石家庄高二统考期末）已知，在处取得最大值，则（）ABCD32（2022秋福建漳州高二校联考期末）已知，则（）A函数在上有两个极值点B函数在上的最小值为C若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为D若（），则的最小值为33（2022秋山东烟台高二统考期末）关于函数，下列说法正确的有（）Af(x)为奇函数Bf(x)为偶函数Cf(x)的最小值为D对，都有34（2022秋广东清远高二统考期末）已知函数和，若，则（）ABCD三、填空题35（2022全国高二）已知函数，设函数，则的最大值是_36（2022全国高二假期作业）已知函数若在内不单调，则实数a的取值范围是_37

10、（2022秋山东泰安高二统考期末）已知函数，则的最大值为_.38（2022全国高二专题练习）已知函数在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为_.39（2022全国高二专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a的值是_.40（2022秋四川绵阳高二统考期末）已知函数，对于任意，都有成立，则实数的取值范围是_41（2022秋山东淄博高二统考期末）已知函数，若对于定义域内任意不相等的实数，都有，则实数k的取值范围是_四、解答题42（2022全国高二假期作业）已知函数(1)当时，求的最大值；(2)若恒成立，求a的取值范围43（2022秋黑龙江哈尔滨高二哈尔滨市第一二二中学校校考期末）已知函数.(1

11、)当时，求函数的图象在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若恒成立，求实数的取值集合.44（2022春陕西延安高二校考阶段练习）已知函数且(1)求的值；(2)求函数的单调区间；(3)设函数，若函数在上单调递增，求实数的范围45（2022秋河南驻马店高二新蔡县第一高级）已知函数.(1)设在上单调递减，求a的取值范围；(2)当时，证明：恒成立.46（2022春北京高二清华附中校考阶段练习）已知函数(1)求函数在上的最大值；(2)若对于任意的，总有，分别求出a，b的取值范围47（2022春浙江高二校联考阶段练习）设函数，其中是自然对数的底数.(1)若单调递增，求的取值范围；(2)设曲线在处

12、的切线与曲线交于另一点，若恒成立，求的取值范围.参考答案：1C【分析】本题首先可根据导函数图像分析出函数的单调性与极值，即可判断出A、B、D错误，然后根据导函数值的几何意义即可得出C正确.【详解】结合图像易知，当时，函数是减函数，当时，函数取极小值，当时，函数是增函数，当时，函数取极大值，不一定是最大值，当时，函数是减函数，结合上述易知，A、B、D错误，因为函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，所以由图像易知，在处切线斜率取得最大值，C正确，故选：C.2A【分析】首先求出导函数，只需在（1，2）上不单调即可.【详解】由题意可得，在（1，2）上单调递增，若在（1，2）上有最值，则在（1

13、，2）上不单调，所以解得故选：A3C【分析】由奇偶性定义可判断出A正确；令可确定B正确；根据定义域为，可知若最小值为，则是的一个极小值点，根据可知C错误；由时，取得最大值，取得最小值可确定D正确.【详解】对于A，定义域为，为偶函数，A正确；对于B，令，即，解得：，有无数个零点，B正确；对于C，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；，不是的极小值点，C错误；对于D，；则当，即时，取得最大值，D正确.故选：C.4A【分析】利用导函数求得函数在上的单调区间，进而求得函数在的最小值【详解】，则，当时，单调递减；当时，单调递增.则在时取得最小值故选：A5(1)(2)，.【分析】（1）求导，根据极值的定义

14、可以求出实数的值；（2）求导，求出时的极值，比较极值和，之间的大小关系，最后求出函数的最大值和最小值.【详解】（1），函数在处取得极值，即（经检验符合题意），.（2）由（1）知，则，令，解得或；令，解得；函数在上单调递增，在上单调递减，则极大值，而，.故函数在上的最大值和最小值分别为，.6(1)单调递增区间是，单调递减区间是，极大值是，极小值是(2)最大值为，最小值为【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；（2）根据极值和端点值即可确定最值.【详解】（1）令，得或；令，得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是所以的极大值是，的极小值是（2）因为，由（1）知，

15、在区间上，有极小值，所以函数在区间上的最大值为，最小值为7(1)当时，在上单调递增，无单调递减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)【分析】（1）先确定函数的定义域，然后求导，通过讨论a的正负判断导函数在定义域内有无零点，无零点时原函数在定义域内单调，有零点时再通过导函数确定各区间的单调性；（2）原不等式恒成立等价于原函数的最大值小于等于0成立，由第一问的单调区间求得原函数的最大值，记为关于a的函数，再通过对新函数求导判断单调性，得到满足新函数小于等于0的自变量a的最大整数值即可.【详解】（1），定义域为当时，在上递增.当时，在上递增.当时，令，得；令，得.即在上递增，在上递减.综上：

16、当时，在上单调递增，无单调递减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）在上恒成立，等价于.由（1）得，当时，在上单调递增，无最大值，故此时原不等式无法恒成立；当时，在上单调递增，在上单调递减，则此时即须成立.记函数，且则即在单调递增.因为，所以满足的a的最大整数值为.综上：的最大值为.8(1);(2).【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可；(2)求导，对分类讨论，根据函数的最值与0的关系即可求解.【详解】解：（1）由题得，则，曲线在处的切线方程为，即.（2），当时，在上单调递减，在上无零点且，则，；当时，令得，若即时，在上单调递增，由可知，符合条件；若，即时，在上单调递减，在上无零点

17、且，则，；若，即时，在上单调递减，在上单调递增，综上，a的取值范围为.9(1)时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增；(2).【分析】（1）对函数f(x)求导，然后分为和两种情况去讨论即得；（2）分为和两种情况讨论，在时，求解函数的极小值，进而即得.（1）由题意知：当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，函数单调递增综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增（2）当时，即不合题意；当时，由（1）可知，则，即综上，a的取值范围为10A【分析】问题转化为在上恒成立，当时，上式显然成立，当时，令，对函数求导后，分和两种情况求函数最小值，使基本最小值大于等于零即可【详解】由在上恒

18、成立，得在上恒成立，当时，上式显然成立，当时，令，则，当时，所以在上递增，而当时，不合题意，当时，由，得，令，作出两函数的图象，如图所示由图象可知，存在，使，所以，得，当时，当时， ，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，所以，由，得，得，综上，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的综合应用，解题的关键是将问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题11A【分析】令，故，原不等式变为，进而令，利用最值分析法，通过对的导数进行讨论，即得.【详解】由题意得，令，故，故.令，则.若，则，则在上单调递增，又，则当时，

19、不合题意，舍去；若，则当时，当时，则函数在上单调递减，在上单调递增.因为，所以若，则当，舍去；若，则当，舍去；若，则，符合题意，故.故选：A【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；（2）能成立：；.12B【分析】法一：由题设得，结合二次函数的性质研究符号，进而确定的单调性，求得不同情况下的最值并结合，即可求参数范围；法二：由题设可得、，应用作差法，与比较大小，即可确定最值结合，即可求参数范围；【详解】法一：由题意，对于，当，即时，在上单调递增，所以，即，因此；当，即时，由、且，则在

20、上有两个不相等的实根，不妨设，则上，上，上，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由此，.由，则，同理可得，所以，则，解得，与矛盾.综上，.法二：由题意得：，.当时，即，所以；，又，即，所以.综上，即，得.故选：B.13(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，利用导数可求出其最小值，（2）由（1）知：，满足，不妨设，则，则，所以只需证成立，构造函数，利用求出其出其最大值小于零即可.【详解】（1），又在区间上单调递减，在上恒成立，即在上恒成立，在上恒成立；设，则，当时，单调递增，即实数a的取值范围是（2）由（1）知：，满足，不妨设，则，则要证

21、，即证，即证，也即证成立设函数，则，在单调递减，又当时，即.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解（2）问解题的关键是根据题意将问题转化为证成立，构造函数，利用导数求出其最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.14(1)极小值为；, 无极大值(2).【分析】(1) 极值点就是导数等于零的解, 且在解的左右两边区间的导数符号异号时才是极值点, 进 而求出极值.(2) 函数有两个零点，转化为两个函数有两个交点问题. 求出函数的极值, 并且得到函数的单调性, 再分类讨论即可求出 2个交点时的的范围.【详解】（1）已知，则 , 令 , 得,当

22、 时, 为减函数;当 时, 为增函数;所以的极小值为, 无极大值;（2）,函数 有两个零点, 等价于曲线 与直线 有两个交点.,令 得 . 当 时,在 单调递减, 当 时, 在 单调递增, 时, 取得极小值 ,又 时, 单调递增，且时，； 时单调递减，且时，；要使函数有两个零点，即曲线 与直线 有两个交点.，则只需.的取值范围为：.【点睛】本题考查函数的极值定义, 以及函数的零点问题转化成函数的交点问题. 属于中等题.15(1)(2)【分析】（1）由导数的几何意义即可求曲线在处的切线方程；（2）将转化为，从而构造，根据导数即可求得的最小值，从而得解.【详解】（1），所以切线斜率为，又，切点为，

23、所以切线方程为：（2），若，则恒成立， ，设，则，令，则，在上单调递减；， ， ， ， 当时， ，即实数的最大值为【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理16B【分析】由函数在区间上单调递减，等价于在区间上恒成立，分离参数后得到，令，通过即可求出的最大值.【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，所以在上单调递减，上单调递增，故，则，即.经检验，当时，满足题意，所以实数的最大值是.故选：B.17C【分

24、析】根据导函数图象，导函数与原函数的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由的图象可得，当时，当时，当时，当时，所以在和上单调递增，在和上单调递减，所以为的极小值点，所以B选项错误，C选项正确；是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.故选：C18C【分析】由基本不等式求得x0时，f（x）的值域，由题意可得x0时，f（x）的值域应该包含在x0时的值域内，转化为在x0时恒成立利用导数求出的最大值即可.【详解】当x0时，当且仅当x1时，f（x）取得最大值f（1）a2，由题意可得x0时，的值域包含于（，a2，即在x0时恒成立即在x0时恒成立即设当时

25、，在上单调递增，当时，在上单调递减，故选：C19A【分析】求导得，分类讨论判断得单调性，进而根据最值分析求解.【详解】由题意可得：，则当，则当时恒成立，即在上单调递减，则在上无最值，即不成立当，则当时恒成立，即在上单调递增，则在上无最值，即不成立当，令，则在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立故选：A.20C【分析】利用分离参数法，转化为函数问题，再用导数研究函数最值.【详解】由题知，因为，所以，令，则，令，解得，故当，当，所以，故，则，故函数在上是增函数，所以，故A，B，D错误.故选：C.21(1)(2)(3)函数在上的最小值为，最大值为.【分析】(1)求导，利用在处的导数值为0，

26、并且，解之检验即可求解；(2)结合（1）的结果，求出函数在处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；(3) 结合（1）的结果，列出在时，随的变化，的变化情况，进而即可求解.【详解】（1）因为函数，所以，又函数在处取得极值.则有，即，解得：，经检验，时，符合题意，故.（2）由（1）知：函数，则，所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，也即.（3）由（1）知：函数，则，令，解得：，在时，随的变化，的变化情况如下表所示：单调递减单调递增单调递减由表可知：当时，函数有极小值；当时，函数有极大值；因为，故函数在上的最小值为，最大值为.22(1)最大值为，最小值为(2)【分析】（1）求导，利用导数判

27、断原函数的单调性，进而确定最值；（2）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值点，注意讨论与的大小关系.【详解】（1）当时，则函数，令，解得或，当时，当时，则函数在上单调递减，函数在上单调递增，在时取得极小值为，且，故在上的最大值为，最小值为.（2），则当时，函数单调递增，无极值，不合题意，舍去；当时，令，得或，在，上单调递增，在上单调递减，故函数在时取得极大值，在时取得极小值，；当时，令，得或，在和上单调递增，在上单调递减，故函数在时取得极大值，在时取得极小值，解得.综上所述：实数的取值范围是.23B【分析】根据函数解析式化简恒成立为恒成立，构造函数，利用导数求其最小值，即可求得答案.

28、【详解】，,恒成立，且，恒成立，令，则,因为是时的递增函数，故在上单调递增，且，当时，单调递减，当时，单调递增，故实数k的最大值是0，故选：B24A【分析】由得，令，利用的单调性可得，转化为对任意时恒成立，令，利用导数求出的最值可得答案.【详解】由得，令，因为都是单调递增函数，所以为单调递增函数，所以，即对任意时恒成立，令，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以，即.故选：A.25B【分析】先求出定义域，由导函数得到所以在单调递增，从而求出最小值，进而求出a的值【详解】定义域为，在恒成立，所以在单调递增，所以，所以故选：B26B【分析】同构函数，利用函数的单调性和x的取值范围即可求解.【详

29、解】由题意，不等式可变形为，得对任意恒成立，设，则对任意恒成立， ，当时， ，所以函数在上单调递减，当时， ，所以函数在上单调递增，因为求实数的最小值，所以考虑的情况，此时，函数在上单调递增，要使，只需，两边取对数，得上 ，由于， ，所以，令 ，则 ，当时， ， 时， ，是增函数， 时， ，是减函数，在 取得最大值， ， ，即a的最小值为 ；故选：B.27C【分析】依据零点存在定理并分类讨论求得的零点判断；利用导数并分类讨论判定是否有最大值判断；举反例否定【详解】当时，由，可得在存在零点当时，由，可得在存在零点当时，在单调递减，值域又在单调递增，值域，则与的图象在必相交，则在存在零点综上，一定

30、存在零点.判断正确；当时，在单调递增，存在最大值； 当时，则，在上单调递减，值域，当，时，在上值域则在上恒成立，则在单调递增，存在最大值；当时，在上单调递减，则在上单调递减，则，使得则时，时，则在单调递增，在单调递减，存在最大值；当时，在上单调递增，当时，恒成立，则在单调递增，当时，单调递增，值域为又当时，单调递减，值域为则当时，若，则在单调递增，则在单调递增，存在最大值；若，使得时；时；则在单调递增，在单调递减，又在单调递增，则在有最大值；综上，对任意给定的实数，在有最大值.判断正确；令，则，在上单调递减，值域，在上单调递增，值域，又，则，使得则当，或时，单调递增当时，单调递减则在区间上有两

31、个极值点判断错误.故选：C28C【分析】求导，求得其最小值点，再根据在区间上有最小值，由最小值点在区间内求解可得.【详解】因为函数，所以，当或时，当时，所以当时，取得最小值，因为在区间上有最小值，且所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C29BD【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系分析函数的单调性及最值可检验选项A；求得的导数可得单调性, 计算的函数值，可判断选项B；由参数分离和构造函数求得导数判断单调性，可判断选项C；构造函数，结合导数分析的性质，结合已知可分析的范围即可判断选项D.【详解】，易得，当 时，函数单调递减，当 时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值，不存在，使

32、得, 故选项A错误；的导数为恒成立, 所以 递减，且，可得 有且只有一个零点，介于, 故选项B正确； 等价为 ，设，则，故在上为减函数，故，故，故当，所以不恒成立，故选项C错误；设，则，令，则 ，故在上单调递减，不妨设，因为，所以，则，故选项D正确.故选：BD.【点睛】本题考查导数的运用，求单调性和极值、最值，以及函数的零点和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于难题.30ABD【分析】根据导数的几何意义，可判断A的正误；求导可得解析式，设，利用导数可得的单调性和最值，结合a的范围，可得的正负，即可判断B的正误；当时，可得恒成立，即可得恒成立，则单调递减，分析可判断C的正

33、误；根据有两个极值点，可得有2个实根，根据的单调性和最值，分析即可得答案.【详解】对于A：当时，则，即切点（0,0）又，所以切线的斜率，所以切线方程为，即，故A正确；对于B：由题意得，设，则，令，解得，当时，则为增函数，当时，则为减函数，所以，因为，所以，所以，又恒成立，所以在R上恒成立，则在R上是减函数，故B正确；对于C：当时，由B选项可得，所以恒成立，即恒成立，所以在R上是单调减函数，无极值点，反之若只有一个极值点，不成立，故C错误；对于D：若有两个极值点，则有2个实根，因为恒成立，所以有2个实根，由B选项可得，所以，解得.又，根据零点存在性定理可得，在和分别存在1个零点，结合的单调性可得

34、满足题意，故D正确；故选：ABD【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调性、极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，如无法判断的正负，需构造函数，再次求导，根据的单调性及最值，可得的正负，再进行分析求解，考查分析计算的能力，属中档题.31BC【分析】利用导数研究函数的单调性与最值.【详解】因为由题可知，所以，所以，即B正确.令，因为，所以是增函数，且，又，所以 ，即，即C正确.故选：BC.32BCD【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性判断A，求出函数的导数，根据函数的单调性判断B，若对任意，不等式恒成立，则对恒成立，参变分离再根据对勾函数的性质判断C，依题意可得，构造函数利用导数说明

35、函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可判断D；【详解】解：对于A：，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，无极大值点，故A错误；对于B：，令，解得，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故B正确；对于C：因为，所以，当时，则对任意，不等式恒成立，即对恒成立，即对恒成立，又在上单调递增，所以，所以，故C正确；对于D：若，则，且，则，所以，设，设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，此时，故的最小值为，故D正确；故选：BCD【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题

36、注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理33BC【分析】对AB，根据奇偶函数的定义判断即可；对C，求导分析函数的单调性判断即可；对D，举反例判断即可【详解】对AB，因为，故为偶函数，故A错误，B正确；对C，因为为偶函数， 为增函数，且，故在上，单调递减；在上，单调递增.故的最小值为，故C正确；对D，当时，因为，故，此时，故D错误；故选：BC34ABD【分析】A选项，根据反函数求解出与交点坐标，从而得到；B选项，由零点存在性定理得到，；C选项，化简整理得到，求出在上的单调性，求出取值范围；D选项，构造函数，根据得到，根据在上单调递增，所

37、以，即，整理得，D正确【详解】由于和互为反函数，则和的图象关于直线对称，将与联立求得交点为，则，即，A正确易知为单调递增函数，因为，由零点存在性定理可知，B正确易知为单调递减函数，由零点存在性定理可知因为，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，C错误因为，所以，所以令，则，当时，在上单调递增，所以，即，整理得，D正确故选：ABD【点睛】结论点睛：对于双变量问题，要结合两个变量的关系，将双变量问题转化为单变量问题再进行求解，也可通过研究函数的单调性及两个变量的不等关系进行求解350【分析】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；【详解】解：因为定义域为，所以当

38、时，；当时，所以在上为增函数，在上为减函数，从而故答案为：36【分析】求出函数的导数，然后参数分离，先求出函数在内单调时的范围，从而可得不单调时的范围.【详解】由，得，当在内为减函数时，则在内恒成立，所以在内恒成立，当在内为增函数时，则在内恒成立，所以在内恒成立，令，因为在内单调递增，在内单调递减，所以在内的值域为，所以或，所以函数在内单调时，a的取值范围是，故在上不单调时，实数a的取值范围是故答案为：371【分析】利用导数和基本不等式求出函数的单调性，即得解.【详解】函数，所以，当且仅当，即时等号成立，又因为，所以，所以在时单调递增，其最大值为.故答案为：138【分析】根据题意转化为在只有一

39、个实数根，进而转化为方程在区间上没有实数根，得出与的图象在上没有交点，利用导数求得的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，因为函数在区间上有且只有一个极值点，所以在区间上有且只有一个实数根，即方程在区间上有且只有一个实数根，因为时方程的根，所以方程在区间上没有实数根，即方程在区间上没有实数根，等价于与的图象在上没有交点，又由，所以在上单调递增，所以，且当时，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.391或.#e或1【分析】用导数法求得函数最小值，解方程得解.【详解】因为，当时，所以是上的减函数，函数无最小值，不符合题意；当时，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为，

40、由，得，解得或.故答案为：1或.40【分析】对于任意，都有成立可等价为对于任意，都有成立，求出，然后将不等式参变分离转化为，进而等价为成立，令，求其最小值，从而得到的取值范围.【详解】依题意得，对于任意，都有成立可等价为对于任意，都有成立，当时，单调递减；当时，单调递增；又，对于任意，都有成立，即对于任意，都有成立，等价为成立，令，当时，单调递减；当时，单调递增；，的取值范围是.故答案为：.41【分析】根据题意可得函数在上递减，则在恒成立，分离参数，构造新的函数，利用导数求出新函数的最值即可得出答案.【详解】解：函数的定义域为，因为对于定义域内任意不相等的实数，都有，所以函数在上递减，所以在恒

41、成立，即在恒成立，令，则，当时，当时，所以函数在上递增，在上递减，所以，所以，所以实数k的取值范围是.故答案为：.42(1)(2)【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的最大值；（2）通过分类讨论和构造新函数，列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围【详解】（1）时，则，当时，单调递增；当时，单调递减，则当时，取得最大值（2），则，当时，在单调递增，且，则当时，不符合要求.当时，当时，单调递增；当时，单调递减，则当时，取得最大值则由恒成立，可得成立，令则当时，单调递减；当时，单调递增，则当时，取得最小值则恒成立，（当且仅当时等号成立）则的解集为则a的取值范围为43(1)；(2)答案

42、见解析；(3).【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到切线方程；（2），对以及进行讨论，根据导函数的符号即可得到的单调区间；（3）根据（2）的结论，可知，根据题意，应有，即.令，根据导函数即可求得实数的取值集合.【详解】（1）当时，则.根据导数的几何意义，可得函数的图象在点处的切线斜率，又.所以，切线方程为，整理可得.（2）定义域为R，.当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；当时，解，即，解得，解，得，则在上单调递增，解，得，则在上单调递减.综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）知，当时，在R上单调递增，又，所以当时，不

43、满足要求，所以.则由（2）知，在时，取得最小值.要使恒成立，则只需满足即可，即.令，即.令，则.当时，当时，所以，在处取得极大值，也是最大值，所以.又，所以，所以有.即当时，有成立.所以，实数的取值集合为.44(1)(2)单调增区间为，单调减区间为(3)【分析】求出原函数的导函数，直接利用列式求解值；把代入函数解析式，再由导数求解函数的单调区间；求出的解析式，求其导函数，利用导函数大于等于0在上恒成立，可得在上恒成立，令，再由导数求其最大值得答案【详解】（1）由，得，得；（2），当时，当时，的单调增区间为，单调减区间为；（3），函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，也就是在上恒成立，即.

44、令，则，当时，当时，的单调减区间为，.单调增区间为，则当时，.设，由上有，得.则.，得在上的最大值为.故实数的范围是【点睛】关键点点睛：本题涉及求函数单调区间及已知单调区间求参数范围，前两问较为基础，要完成（3）问需注意以下两点：（1）函数在某区间单调递增等价于其导函数在某区间大于等于0恒成立.（2）求时，为防止出错可采用降次思想.45(1)(2)证明见解析【分析】（1）对求导，利用单调性得到恒成立，求出的最大值，求出a的取值范围；（2）构造函数，求导，得到其单调性，证明出不等式.（1）由题可知，当时，恒成立，所以恒成立令当时，取最大值，即a的取值范围为（2）证明：要证，即证令，函数在上单调递

45、减，命题得证.【点睛】导函数证明不等式，一般要对不等式进行变形，构造函数，利用导函数得到函数单调性，极值和最值情况，证明出不等式.46(1)(2)；.【分析】（1）对求导得，再令，对求导，可知，所以在上单调递减，即可得出答案.（2）若对于任意的，总有，等价于对于任意的，总有，分别令，转化为求，分别讨论和即可得出答案.（1），令，因为，所以，则在上单调递减，所以，所以在上单调递减，函数在上的最大值为；（2）对于任意的，总有，等价于对于任意的，总有，所以对于任意的恒成立，令，当时，所以在上单调递减，所以，所以成立；当时，令，解得：，（i）当，所以在上单调递减，所以，所以成立；（ii）当，所以在上单

46、调递增，又因为，所以，所以不成立；（iii）当，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以只需，解得：，所以；综上：a的取值范围为同理：所以对于任意的恒成立，令，当时，所以在上单调递减，因为，所以不成立；当时，令，解得：，（i）当，所以在上单调递减，因为，所以不成立；（ii）当，所以在上单调递增，又因为，所以，所以成立；（iii）当，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以不成立，综上：的取值范围为.47(1)(2)【分析】(1)由条件结合函数的单调性与导数的关系可得恒成立，由此可得，由此可求的取值范围；(2)利用导数研究函数的性质确定的范

47、围，再分别探究，时不等式是否恒成立即可.（1）由题意可知，恒成立，设，则令，解得，当时，单调递增，当时，单调递减，即当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取最小值，最小值为，所以，解得，即的取值范围为；（2）由(1)可得，所以切线方程为，设，则，整理得，所以，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，即，又，所以存在，使得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以当时，当且仅当时等号成立，所以，所以当时，当时，满足题意；当时，因为，所以，整理得，设，则恒成立，易知，设，则，所以单调递增，即在上单调递增，所以，所以，当时，所以单调递增，所以，所以单调递增，所以，所以单调递增，所以，即满足题意；当时，取，则，所以，所以存在，使得，且当时，即，所以单调递减，所以，所以单调递减，所以，即，所以单调递减，所以，即不满足题意；综上，的取值范围为.