5.3.2.docx

1、5.3.2&5.3.3 极大值与极小值、最大值与最小值一、导数的极值1、极值的概念：极大值与极小值统称为极值（1）函数的极大值：一般地，设函数yf(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)，x0是极大值点（2）函数的极小值：一般地，设函数yf(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)，x0是极小值点2、极值与导数的关系如图（1），若x0是极大值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f(

2、x)0，在x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f(x)0.如图（2），若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f(x)0.综合以上情形，可以得到：若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值若f(x)在x0的两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；若f(x)在x0的两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值【注意】（1）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f(x0)0”的充分不必要条件不可导的

3、点可能是极值点也可能不是极值点例如：导数为0的点是极值点：yx2，y|x00，x0是极值点导数为0的点不是极值点：yx3，y|x00，x0不是极值点不可导的点是极值点：y|sinx|，x0不可导，但x0是极值点（2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图，点x1、x3是极大值点，x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点上x4处的极小值（3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点（5）若f(x)在(a，b)内有极值，那么

4、f(x)在(a，b)内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值3、利用导数求函数极值的方法步骤（1）求导数f(x)；（2）求方程f(x)0的所有实数根；（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值如果在f(x)0的根xx0的左右侧f(x)的符号不变，则不是极值点题型一 已知函数求极值或极值点【例1】已知函数，则的极大值点为（ ）A1 B C1 D2【变式1-1】求函数的极值，并指出是极大值还是极小值.【变式1-2】求下列函数的极值：（1）；（2）【变式1-3】已知函数，满足（1）求实

5、数a的值；（2）求的单调区间和极值【变式1-4】已知函数，求函数的极值.题型二 函数（导函数）图象与极值的关系【例2】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A是的极小值点 B是的极小值点C在区间上单调递减 D曲线在处的切线斜率小于零【变式2-1】函数定义域为，其导函数在内的图象如图所示，则函数在区间内极小值点的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【变式2-2】函数的导函数是，下图所示的是函数的图像，下列说法正确的是（ ）A是的零点 B是的极大值点C在区间上单调递增 D在区间上不存在极小值【变式2-3】如图，可导函数在点处的切线方程为，设，为的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A

6、，是的极大值点 B，是的极小值点C，不是的极大值点 D，是的极值点题型三 根据函数的极值或极值点求参数【例3】函数在处有极值，则的值等于（ ）A0 B6 C3 D2【变式3-1】设函数的极大值为，极小值为，则_【变式3-2】已知函数有极值，则的取值范围为（ ）A B C D【变式3-3】若函数 （m为实数）有极大值，则的范围是（ ）A B C D【变式3-4】若函数（）不存在极值点，则实数a的取值范围是（ ）A B C D题型四 利用导数求函数的最值【例4】函数的最小值为_.【变式4-1】函数在区间上取得最大值时的值为（ ）A B C D【变式4-2】已知函数，设函数，则的最大值是_【变式4-

7、3】已知函数.（1）求的极值；（2）求在区间，上的最大值与最小值.题型五 已知函数的最值求参数【例5】已知函数的最小值为0，则实数a的值为_【变式5-1】若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）A B C D【变式5-2】已知函数在上有最小值，则的取值范围是（ ）A B C D【变式5-3】若函数有最小值，则实数的取值范围为（ ）A B C D【变式5-4】设函数在区间上有最大值23，最小值3，求a，b的值题型六 函数的极值与最值综合应用【例6】已知函数（1）求的极值；（2）若对任意的，恒成立，求正实数a的取值范围【变式6-1】己知函数（1）若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；（2）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围【变式6-2】已知实数满足，设函数（1）当时，求的极小值；（2）若函数与的极小值点相等，证明：的极大值不大于10.【变式6-3】已知函数在处取得极小值（1）求实数a的值；（2）若有3个零点，求实数m的取值范围