6.2.4向量的数量积（教学设计）-【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册).docx

1、 6.2.4向量的数量积 教学设计本小节内容选自普通高中数学必修第二册人教A版（2019）第六章平面向量及其应用的第二节平面向量的运算。以下是本节的课时安排： 第二节 平面向量的运算课时内容向量的加法运算向量的减法运算向量的数乘运算向量的数量积所在位置教材第7页教材第11页教材第13页教材第17页新教材内容分析向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础。通过本节课让学生知道向量也是一种量，同其他量一样也有自己的运算，学好本节课为后面的学习奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运

2、算和加法运算之间的内部联系。实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量。核心素养培养通过理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义，掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题，培养学生数学抽象、直观想象的核心素养。借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养。理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量

3、数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养。会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.教学主线平面向量的运算在学生掌握平面向量加法、减法、数乘运算的基础上，再让学生了解向量的数量积运算，理解投影的意义，能用向量语言和方法，表述和解决数学和物理中的一些问题。 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功，培养数学抽象的核心素养；2.掌握向量数量积的定义及投影向量，提升数学抽象的核心素养；3.会用数量

4、积判断两个平面向量的垂直关系，培养逻辑推理的核心素养；4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，提升数学运算的核心素养。重点：平面向量的数量积的运算掌握平面向量数量积的性质及其运算律难点：投影向量的概念探究数量积的性质及其应用（一）新知导入1. 创设情境，生成问题一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石上磨一磨”于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停下来结果当然是失败的难道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功成功物理学当中的做功在数学中叫做什么，是如何表示的呢？【想一想】当力与运动方向成某一角

5、度时，力对物体所做的功等于多少呢？你是如何得到的呢？2.探索交流，解决问题【探究】在马拉爬犁的实例中，力和位移都是向量，大家能否从功的计算公式中抽象出两个非零向量数量积的定义呢？【提示】通过现实情境马拉爬犁，研究当力和位移存在夹角时，如何研究力对物体所做的功，通过力的分解，由于垂直位移方向上的分力对物体不做功，最终力对物体所做的功等于位移方向上的分力对物体所做的功，向量的数量积具有相同的运算。【设计意图】通过设计的问题，让学生从功的计算公式的得出过程引出投影向量和数量积的计算。（二）向量的数量积1.向量的夹角【探究】如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们

6、的夹角是什么？【提示】力、位移都是矢量,夹角为.定义已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角图示范围特殊情况a与b同向a与b反向a与b垂直，记作ab【做一做1】若向量a与b的夹角为60，则向量a与b的夹角是()A60 B120 C30 D150解析：平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量a与b的夹角也是60.答案：A2.向量的数量积【探究】力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?【提示】由物理知识容易得到W=|F|s|cos ,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中功是标量.定义已知两个非零向

7、量a与b，它们的夹角为，则把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)记法记作ab，即ab|a|b|cos 规定零向量与任一向量的数量积均为0特别提醒：(1)“”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“”;(2)数量积的结果为数量,不再是向量; 【做一做】已知向量a，b满足|a|=2,|b|=,且a与b的夹角为30,那么ab等于()A.1 B. C.3 D.3 解析：ab|a|b|cos =2cos30=2=3.答案：C3.投影向量【探究1】如图（1），已知线段AB和直线l，过线段AB的两个端点A，B，分别作直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，得到线段A1B1，那么线段A1B1

8、叫做什么？【提示】线段A1B1叫做线段AB在直线l上的投影线段.【探究2】设直线AB与直线l的夹角为，那么|A1B1|与|AB|，之间有怎样的关系？【提示】|A1B1|=|AB|cos.（1）如图，设a，b是两个非零向量，a，b，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.（2）如图，在平面内任取一点O，作=a,=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则=|a|cose.特别地，当=0时，=|a|e. 当=时，=|a|e. 当=时，=0.【做

9、一做】已知非零向量a与b的夹角为45，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c= .解析：c=|a|cos45e=2e=e.答案：e4.向量的数量积的性质已知两个非零向量a，b，为a与b的夹角，e为与b方向相同的单位向量.【探究1】根据数量积公式，计算ae，aa.【提示】ae=|a|e|cos=|a|cos，aa=|a|a|cos 0|a|2.【探究2】若ab0，则a与b有什么关系？【提示】ab0，a0，b0，cos 0，90，ab.【探究3】当=0和180时，数量积ab分别是什么？【提示】当=0时，ab=|a|b|;当180时，ab=|a|b|.【探究4】

10、两个向量的数量积什么时候为正数，什么时候为零，什么时候为负数？【提示】设向量a，b的夹角为，当00，即数量积为正数，当90，ab0，即数量积为0；当90180时，ab0，即数量积为负数设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则(1)ae=ea=|a|cos.(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.(4)aaa2=|a|2或|a|.(5)|ab|a|b|.(6)cos .5.数量积的运算律【探究】根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如下表,这些结果正确吗?【提示】向量数量积的运算律 交换律abba对数乘的结合律(

11、a)b(ab)a(b)分配律(ab)cacbc特别提醒：（1）数量积对结合律一般不成立，因为(ab)c是一个与c共线的向量，而(ac)b是一个与b共线的向量，两者一般不同（2）类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b2(ab)(ab)a2b2(abc)2a2b2c22ab2bc2ca(abc)2a2b2c22ab2bc2ca【辩一辩】判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“”，错误的打“”.答案:(1)(2)(3)(4)(5)【做一

12、做1】已知非零向量a，b满足(ab)(ab)，则()A.ab B.|a|b|C.ab D.ab解析：(ab)(ab)，(ab)(ab)0，|a|2|b|20，|a|b|.答案：B【做一做2】设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A.1 B.2 C.3 D.5解析：|ab|2a22abb210，|ab|2a22abb26，4ab4，ab1.答案：A【设计意图】通过探究让学生理解向量的数量积运算，培养数学抽象、数学运算的核心素养。（三）典型例题1.向量的数量积的计算例1.在ABCD中，|4，|3，DAB60，求：；.解：因为，且方向相同，所以与的夹角是0，所以|cos 03319.因为与的

13、夹角为60，所以与的夹角为120，所以|cos 120436.【类题通法】向量数量积的求法求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键【巩固练习1】已知|a|4，|b|7，且向量a与b的夹角为120，求(2a3b)(3a2b)解：(2a3b)(3a2b)6a24ab9ba6b26|a|25ab6|b|2 642547cos 120672 268.2.求投影向量例2.已知|a|4，e为单位向量，它们的夹角为，则向量a在向量e上的投影向量是_；向量e在向量a上的投影向量是_解：向量a在向量e上的投影向量是|a|cose=4cose=2e.因为与向量

14、a方向相同的单位向量为=，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cos=cos=a.答案：2e a【类题通法】向量a在向量b上的投影向量的求法将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos e(e是与b方向相同的单位向量，且e)中计算即可【巩固练习2】已知|a|4，|b|6，a与b的夹角为60，则向量a在向量b上的投影向量是_解：向量a在向量b上的投影向量是|a|cos 604bb.答案：b3.利用数量积解决向量的夹角和垂直问题例3.已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()ABCD解：由题意，得a(2ab)2a2ab0，即ab2a2，设a与b的夹角为，则c

15、os，所以，故选C答案：C【变式探究】本例中,若非零向量a，b的夹角为60,且|b|=4|a|,当(a+2b)(ka-b)时,求实数k的值.解:因为(a+2b)(ka-b),所以(a+2b)(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)ab-2|b|2=0,所以k|a|2+2(2k-1)|a|2-32|a|2=0，化简得k+2(2k-1)-32=0，解得k=.【类题通法】1.求平面向量夹角的方法:(1)利用公式cos ，求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出ab的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,ab三者之间的关系,然后代入求解.(2)求向量的夹角,还可结合向

16、量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.2.非零向量ab0ab是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌握【巩固练习3】（1）已知|a|6，|b|4，(a2b)(a3b)72，则a与b的夹角为_；(2)已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则等于_解：（1）设a与b的夹角为，(a2b)(a3b)aa3ab2ba6bb|a|2ab6|b|2|a|2|a|b|cos 6|b|26264cos 64272，所以24cos 36729612，所以cos .又因为，所以.（2）(3a2b)(ab)，(ab)(3a2b)0，3a2(23)ab2b20

17、.又|a|2，|b|3，ab，12(23)23cos 90180，12180，.4.利用数量积求向量的模例4.已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|的值解：因为a2|a|225，b2|b|225，ab|a|b|cos 55cos ，所以|ab|5，|ab|5.【类题通法】根据数量积的定义aa|a|a|cos 0|a|2，得|a|，这是求向量的模的一种方法即要求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积(一定非负)，再求它的算术平方根对于复杂的向量也是如此例如，求|ab|，可先求(ab)2(ab)(ab)，再取其算术平方根即为|ab|.【巩固练习4】已知|a|4，|b|8，a与

18、b的夹角是60，计算：(1)(2ab)(2ab)；(2)|4a2b|.解：(1)(2ab)(2ab)(2a)2b24|a|2|b|2442820.(2)|4a2b|2(4a2b)216a216ab4b216421648cos 60482256.|4a2b|16.（四）操作演练 素养提升1.若|m|4，|n|6，m与n的夹角为135，则mn()A12 B12 C12 D12解析：mn|m|n|cos46cos1352412.答案：C2.若向量a与b的夹角为60，|b|4，且(a2b)(a3b)72，则a的模为()A2B4 C6 D12解析：(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|b|co

19、s 606|b|2|a|22|a|9672，|a|22|a|240，|a|6.答案：C3.已知|a|b|1，a与b的夹角是90，c2a3b，dka4b，c与d垂直，则k的值为()A6 B6 C3 D3解析：因为cd0，所以(2a3b)(ka4b)0，所以2ka28ab3kab12b20，所以2k12，所以k6.答案：B4.已知|b|5，ab12，则向量a在向量b上的投影向量为_解析：与b方向相同的单位向量为=，设a与b的夹角为，则cos，|a|cos.向量a在向量b上的投影向量为|a|cos=b.答案：b【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第20页 练习 第1，2，3题 第22页 练习 第1,2,3题第23页 习题6.2 第18,19,20,21题