6.4.1平面几何中的向量方法（教学设计）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册).docx

1、6.4.1平面几何中的向量方法 教学设计本小节内容选自普通高中数学必修第一册人教A版（2019）第六章平面向量及其应用的第四节平面向量的应用。以下是本节的课时安排：6.4 平面向量的应用课时内容平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例余弦定理、正弦定理所在位置教材第38页教材第40页教材第42页新教材内容分析本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性。对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用”向量和向量运算“来替代”数和数的运算“。物理学家很早就在自己的研究中使用向量的概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算。数学家在物理家

2、使用向量的基础上，对向量又进行了深入研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具。本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用。余弦、正弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端；用余弦、正弦定理解三角形，是典型的用代数的方法来解决的几何问题的类型；在日常生活和工业生产中的应用又十分广泛核心素养培养通过对用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养.通过实例，引导学生用向量方法解决物理中的速度、力学问题，培养学生的数学建模、数学运算的核心素养。通过对余弦定理、正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。教学主线平面向量的线性运算、坐标表示前面

3、学生学习了平面向量的运算，初中就已经有了平面几何的知识，本节课是探讨平面几何中的向量方法，让学生学会用向量的方法去解决几何问题。 1.会用向量方法解决简单的几何问题,培养数学抽象的核心素养；2.体会向量在解决几何问题中的作用，提升数学建模的核心素养。1.重点：用向量方法解决几何问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”。2.难点：能够将几何问题转化为平面向量问题。（一）新知导入1. 创设情境，生成问题向量理论的发展有着深刻的几何背景.这一源泉最早可追溯到莱布尼兹的位置几何的概念.莱布尼兹认为代数仅仅能表达未定的数或量值，不能直接表达位置、角度和运动，利用代数运算来分析一个图形的特点、寻找方

4、便的几何证明和构造有时是很困难的.鉴于此，他提出了一个“新代数”，其中几何实体可以用符号来表示，并且这些符号可以直接进行运算，它不需要大量的乘法，不需要添加令人困惑的太多点和线.这就是向量.2.探索交流，解决问题【问题1】要判断ABCD,从向量的角度如何证明?提示证明 ,即=0即可.【问题2】怎样用向量的方法证明ABCD?提示要证明ABCD,证明 即可,同时注意AB,CD是否共线.【问题3】如何利用向量方法求直线AB与CD所成角?提示根据数量积公式先求出 与所成角,若是锐角或直角即为直线AB,CD所成角,若是钝角,其补角即为直线AB,CD所成角.【问题4】如何利用向量的方法求线段的长度?【提示

5、】根据向量的有关运算,求出对应向量的模,即为线段的长度.（二）平面向量在几何中的应用1.用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系2.用向量方法解决平面几何问题的两个基本方法：几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算【做一做】1已知A(1，)，B(1，)，C(，2)

6、，D(，2)，则直线AB与直线CD() A垂直 B平行 C相交D重合2.已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则四边形ABCD为()A梯形 B菱形 C矩形D正方形答案：（1）B （2）A（三）典型例题1.利用平面向量证明垂直问题【例1】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.证明：法一：设a，b，则|a|b|，ab0.又a，b，所以a2ab|a|2|b|20.故，即AFDE.法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，则(2，1)，(1，2).因

7、为(2，1)(1，2)220.所以，即AFDE.【类题通法】利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.【巩固练习1】在直角梯形ABCD中，ABCD，CDADAB90，CDDAAB，求证：ACBC.证明：CDADAB90，ABCD，CDDAAB，故可设e1，e2，|e1|e2|，则2e2，e1e2，(e1e2)2e2e1e2，而(e1e2)(e1e2)ee|e1|2|e2|20，即ACBC.2.利用平面向量求几何中的长度、角度问题【例2】（1）如图，在平行四边形ABCD中，AD

8、1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长.(2)已知矩形ABCD，AB，AD1，E为DC上靠近D的三等分点，求EAC的大小解：（1）设a，b，则ab，ab，而|ab|2，52ab4，ab，又|2|ab|2a22abb2142ab6，|，即AC.（2）如图，建立平面直角坐标系则A(0,0)，C(，1)，E(，1)，(，1)，(，1)，2.cosEAC.0EAC，EAC.【类题通法】用向量法求长度、角度的策略(1)利用图形特点选择基底，用公式|a|求解.(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标a(x，y)，则|a|.（3）用夹角公式先求向量的夹角，在根据实际情况得到角的大小。【巩固练习2】在RtAB

9、C中，ABC90，AB8，BC6，D为AC中点，则cos BDC()A B. C0D.解析：如图建立平面直角坐标系，则B(0,0)，A(0,8)，C(6,0)，D(3,4)，(3，4)，(3，4)又BDC为，的夹角，cos BDC.答案：B3.平面几何中的平行(或共线)问题【例3】如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且.求证：点E，O，F在同一直线上.证明：设m，n，由，知E，F分别是CD，AB的三等分点，m(mn)mn，(mn)mmn.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上.【类题通法】用向量解决平面几何中的平行问题，首先想到的应该是平面向量共线定理。【巩

10、固练习3】在ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM2MB，AN2NC.求证：MNBC.证明：设a，b，则ba.又AM2MB，AN2NC.所以a，b.在AMN中，(ba)，所以，即与共线，故MNBC.（四）操作演练 素养提升1.在四边形ABCD中，若0，0，则四边形为()A.平行四边形 B.矩形C.等腰梯形 D.菱形解析：由0，得，四边形ABCD为平行四边形.又0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D.答案：D2.在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足()，则|等于()A.2 B.1 C. D.4解析：()，()，()，AP为RtABC斜边BC的中线.|

11、1.答案：B3.在ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(4，7)，则BC边的中线AD的长为_.解析：BC中点为D，| .答案： 4.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cosDOE的值.解：以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：，故cosDOE.即cosDOE的值为.答案：1.D 2.B 3. 4. 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第39页 练习 第1，2，3题 第52 页 习题6.4 第1,2,3,12题