8.6.1 直线与直线垂直(透课堂）-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第二册）.docx

1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)8.6.1直线与直线垂直【知识导学】考点一两直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)画法：2.两条直线的位置关系3.两个定理(1)基本事实4文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行.符号语言：直线a，b，c，ab，cbac.作用：证明空间两条直线平行.(2)等角定理内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.作用：证明两个角相等或互补.4.平面内两直线的夹角(1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定

2、两直线平行时夹角为0，垂直时夹角为90.(2)范围：两条直线夹角的取值范围是090.考点二异面直线所成的角1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线aa，bb，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a与b所成的锐角(或直角).2.范围：090.特别地，当90时，a与b互相垂直，记作ab.【考题透析】透析题组一：异面直线概念理解1（2019云南省楚雄天人中学高一）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）ABCD2（2021江苏常州高一期末）如图，已知平面，且，设梯

3、形中，且，则下列结论一定正确的是（）AB直线与可能为异面直线C直线与可能为异面直线D直线，相交于一点3（2021浙江台州高一期末）“直线与直线没有交点”是“直线与直线为异面直线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件透析题组二：证明异面直线垂直4（2021陕西武功县普集高级中学高一阶段练习）空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为()A30B45C60D905（2021陕西西安高级中学高一阶段练习）在正方体中，为棱的中点，则ABCD6（2017河北定州一中高一期末）设为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是A若，

4、则B若，则C若，则D若，则透析题组三：求异面直线所成的角7（2022陕西西安建筑科技大学附属中学高一期末）如图，四面体ABCD中，CD=4，AB=2，F分别是AC，BD的中点，若EFAB，则EF与CD所成的角的大小是（）A30B45C60D908（2022全国高一）如图所示，在正方体中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分别是棱和的中点，则异面直线NO和AM所成角的大小是（）A30B45C60D909（2021陕西西安市远东一中高一期末）如图，在正三棱锥中，点为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（）A30B45C60D90透析题组四：异面直线所成的角有关的综合性问题10（2021全国高一课

5、时练习）如图，在正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角11（2021广东广州高一期末）如图，直三棱柱中，是的中点.（1）求证：直线平面；（2）若，求异面直线与所成角的大小.12（2021江苏金陵中学高一期中）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA平面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点（1）画出平面AMN与平面OCD的交线（保留作图痕迹，不需写出作法）；（2）证明：直线MN/平面OCD；（3）求异面直线AB与MD所成角的大小【考点同练】一、单选题13（2022全国高一课时练习）如图，在长

6、方体ABCDA1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（）A2条B4条C6条D8条14（2021全国高一课时练习）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（）ABCD15（2021江西九江市第三中学高一期中（理）如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）A平行B相交且垂直C相交成60D异面直线16（2021全国高一）如图，正方体中，与平行；与垂直；与垂直以上三个命题中，正确命题的序号是（）ABCD17（2021陕西西安高级中学高一阶段练习）如图，在正方体中，分别为，的中点，则异面直线与所成的角的度数是 A4

7、5B60C90D3018（2021全国高一课时练习）如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为()ABCD二、多选题19（2021全国高一课时练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是（）AABEFBAB与CM所成的角为60CEF与MN是异面直线DMNCD20（2021全国高一课时练习）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（）ACC1与B1E是异面直线BC1C与AE共面CAE与B1C1是异面直线DAE与B1C1所成的角为60三、填空题21（2021全国高一课时练

8、习）如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB，E，F分别是BD1和AD中点，则异面直线CD1，EF所成的角的大小为_.22（2022全国高一课时练习）在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有_23（2022全国高一课时练习）如图，在四面体中，与所成的角为，、分别为、的中点，则线段的长为_24（2021全国高一课时练习）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线.其

9、中正确的结论为_（填序号）.四、解答题25（2022全国高一课时练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=求证：ADBC26（2022全国高一课时练习）如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.27（2021全国高一课时练习）如图，已知正方体.（1）求与所成角的大小；（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.28（2021全国高一课前预习）如图，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，若异面直线和所成的角为，试求的长.【答案精讲】1C【解析】【分析】根据平面展开图可得

10、原正方体，根据各点的分布逐项判断可得正确的选项【详解】由平面展开图可得原正方体如图所示：由图可得：为异面直线，与不是异面直线，故错误；连接，则为等边三角形，而，故或其补角为与所成的角，因为，故与所成的角为，故正确；因为，又平面，所以，故平面又平面，所以，则正确；综上，正确命题的序号为：故选：C2D【解析】【分析】由梯形的定义、平面的基本性质和异面直线的定义结合图形可判断ABC；设、交点为，可得在内且在内，则在平面的交线上可判断D.【详解】梯形中，且，则不一定成立，故A错误；因为，所以在同一平面内，所以直线与不可能为异面直线，直线与不可能为异面直线，故BC错误；由、相交，设交点为，可得在上，又，

11、可得在内，同理可得在上，又，可得在内，则在平面的交线上，即直线，相交于一点，故D正确.故选：D.3B【解析】【分析】根据空间两直线的位置关系判断即可得出结论.【详解】两条直线没有交点 ，说明这两条直线的位置关系为平行或异面而两条直线为异面直线时，它们必没有交点，所以选项B正确，选项ACD错误.故选：B.4D【解析】【分析】取中点，连接,根据已知条件，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而得到结论.【详解】解：取中点，连接,由已知得，又平面,所以平面，因此,故选：D【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，异面直线所成的角，关键在于线面垂直的判定定理的运用5C【解析】【分析】画出图形，结合图形根据空间中

12、的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论【详解】画出正方体，如图所示对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确对于选项C，连，则连，则得，所以平面，从而得，所以所以C正确对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确故选C【名师点睛】本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题6D【解析】【详解】试题分析：A的结论可能是，B的结论可能是，C的结论可能是，因此A、B、C均错误，故选D.考点：空间点线面的

13、位置关系.7A【解析】【分析】取BC的中点G,连结FG,EG.先证明出（或其补角）即为EF与CD所成的角.在直角三角形EFG中，利用正弦的定义即可求出的大小.【详解】取BC的中点G,连结FG,EG. 由三角形中位线定理可得：ABEG，CDFG.所以（或其补角）即为EF与CD所成的角.因为EFAB,则EFEG.因为CD=4,AB=2,所以EG=1,FG=2,则EFG是一个斜边FG=2,一条直角边EG=1的直角三角形,所以,因为为锐角，所以，即EF与CD所成的角为30.故选:A8D【解析】【分析】取的中点，连接，由异面直线NO与AM所成角即为与AM所成角求解.【详解】如图所示：取的中点，连接，易知

14、，所以异面直线NO与AM所成角就为与AM所成角，因为，M分别是正方形的边AD，的中点，所以由正方形知识可知，所以异面直线NO与AM所成角的大小为90故选：D9C【解析】【分析】取BC的中点E，DFE即为所求，结合条件即求.【详解】如图取BC的中点E，连接EF，DE，则EFAB，DFE即为所求，设，在正三棱锥中，故，即异面直线与所成角的大小为.故选：C.10(1)45(2)30【解析】【分析】（1）判断出与所成角，并求得其大小.（2）作出与所成角，并求得其大小.(1)因为CGBF，所以EBF（或其补角）为异面直线BE与CG所成的角，又在BEF中，EBF45，所以BE与CG所成的角为45(2)连接

15、FH，因为HDEA，EAFB，所以HDFB，又HDFB，所以四边形HFBD为平行四边形所以HFBD，所以HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角连接HA，AF，易得FHHAAF，所以AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以HFO30，即FO与BD所成的角为3011（1）证明见解析；（2）90.【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，证明后得线面平行；（2）证明平面，可得线线垂直，从而得异面直线所成的角【详解】解：（1）证明：连接，交于点，连接，直三棱柱中，是矩形，是中点，是的中点，平面，平面，直线平面；（2），是的中点，直三棱柱中，平面，平面，平面，平面，异面直线与所成角的大小为9

16、0.12(1)图形见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】【分析】(1) 延长AN,CD,两直线相交于点E,则OE为所求，(2)先证明MNOE，由线面平行判定定理可得MN平面OCD，(3)由异面直线夹角的定义确定异面直线AB与MD所成角的平面角，再通过解三角形求其大小.【详解】(1) 延长AN,CD,两直线相交于点E，OE.为平面AMN与平面OCD的交线；(2)延长AN,CD,两直线相交于点E,由已知，N为AE的中点，又M为AO的中点，MNOE，又 平面OCD，MN平面OCD，MN平面OCD；(3)ABCD，异面直线AB与MD所成角为或其补角，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，,又OA平

17、面ABCD，OA2，M为OA的中点，,，异面直线AB与MD所成角的大小为.13D【解析】【分析】根据线线之间的垂直关系判断即可.【详解】在长方体ABCDA1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条故选：D.14A【解析】【分析】由BCB1C1，所以ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角在可得答案.【详解】因为BCB1C1，所以ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角，因为，AB=BC=1，所以，所以异面直线B1C1与AC所成角为故选：A.15C【解析】【分析】把展开图还原成正方体可得的位置关系【详解】把展

18、开图恢复成如图所示的正方体，其中，为等边三角形，所以故选：C.16C【解析】【分析】根据线面平行、线面垂直的判定与性质，即可得到正确答案【详解】解：对于，在正方体中，由图可知与异面，故不正确对于，因为，不垂直，所以与不垂直，故不正确对于，在正方体中，平面，又平面，与垂直.故正确故选：C【点睛】此题考查线线平行、线线垂直，考查学生的空间想象能力和对线面平行、线面垂直的判定与性质的理解与掌握，属基础题17B【解析】【分析】通过平移将两条异面直线平移到同一起点B，得到的锐角A1BC1就是异面直线所成的角，在A1BC1中求出此角即可【详解】如图，连A1B、BC1、A1C1，则A1BBC1A1C1，且E

19、FA1B、GHBC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60，故选B【点睛】本题考查异面直线所成角，解题步骤：1.根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；2.证明作出的角是异面直线所成的角；3.解三角形，求出所作的角.18A【解析】【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）平移AB1至A2B，连接A2M，MBA2即为AB1与BM所成的角，在A2BM中， 故选A【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做1

20、9AC【解析】【分析】由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.【详解】还原正方体,以正方形为底面有对选项A,因为,且有,故A正确.对选项B,因为,所以B错误.对选项C,由图可得显然正确.对选项D,故D错误.故选：AC20ABD【解析】【分析】根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断.【详解】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所

21、成的角，而E为BC中点，ABC为正三角形，所以AEBC，即AE与B1C1所成为90，D错误.故选：ABD.2190#【解析】【分析】取CD1的中点G，连接EG，DG，由题设条件可得EFDG且DGCD1，从而可求异面直线CD1，EF所成的角.【详解】取CD1的中点G，连接EG，DG.E是BD1的中点，EGBC，EG=BC.F是AD的中点，且ADBC，AD=BC，DFBC，DF=BC，EGDF，EG=DF，四边形EFDG是平行四边形，EFDG，DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB，四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，DGCD1，D1G

22、D=90，异面直线CD1，EF所成的角为90.故答案为：90.22AB，A1B1【解析】【分析】根据线线垂直的定义或判定来判断即可.【详解】由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1故答案为：AB，A1B1.23或【解析】【分析】取的中点，连接、，求出的值，利用余弦定理可求得线段的长.【详解】取的中点，连接、，、分别为、的中点，且，同理可得且，为异面直线与所成的角或其补角，则或.在中，.若，则为等边三角形，此时，；若，由余弦定理可得.综上所述，或.故答案为：或.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面

23、直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角24【解析】【分析】本题直接判断直线AM与CC1是异面直线，直线与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，用反证法证明直线AM与BN不平行，即可得到答案.【详解】根据平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点的直线成异面直线，因为平面，平面，平面，直线不过点，所以直线AM与CC1是异面直线，同理直线与MB1是

24、异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故错误，正确；若AM与BN是平行直线，取中点，连，则，所以四边形是平行四边形，则有，这与相交矛盾，所以不平行，故错误. 故答案为：.【点睛】本题考查异面直线，是基础题.25证明见解析【解析】【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明.【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH因为E是AB的中点，且AD=2，所以EHAD，EH=1同理FHBC，FH=1所以EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以EHF=90，即AD与BC所成的角是90，所以ADBC2645.【

25、解析】【分析】根据中位线的性质知BCDE，得出ABC是异面直线DE与AB所成的角，结合圆的性质即可得出结果.【详解】解：因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BCDE，因此ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形，于是ABC45，故异面直线DE与AB所成的角为45.27（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小；（2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证；【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，从而与所成的角为与所成的角，由，可知.故与所成的角为.（2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以，因为为的中位线，所以.又，所以，所以.【点睛】本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题28【解析】【分析】连接，得到，根据题意，得到，再求得，结合，即可求解.【详解】如图，连接，在四棱柱中，所以四边形是平行四边形，所以，所以（或其补角）为和所成的角，因为异面直线和所成的角为，所以，因为四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，所以是等腰直角三角形，所以，因为底面四边形是菱形且，所以，所以.