9.1 不等式及不等式的基本性质【十大题型】（人教版）（教师版）.docx

1、专题9.1 不等式及不等式的基本性质【十大题型】【人教版】【题型1 不等式的概念及意义】1【题型2 取值是否满足不等式】3【题型3 根据实际问题列出不等式】4【题型4 在数轴上表示不等式】6【题型5 利用不等式的性质判断正误】8【题型6 利用不等式性质比较大小】10【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】14【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】17【题型10 不等关系的简单应用】19【知识点1 认识不等式】定义：用符号“”（或“”），“”（或“”），“”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.【题型1 不等式的概念及意义】【例1】（2022春郏县期中）在数学表达式

2、：30；4x+3y0；x3；x2+xy+y2；x5；x+2y+3中，不等式有（）A1个B3个C4个D5个【分析】主要依据不等式的定义用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来解答【详解】解：因为除x3；x2+xy+y2；之外，式子30；4x+3y0；x5；x+2y+3中都含不等号，都是不等式，共4个故选：C【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式解答此类题关键是要识别常见不等号：,【变式1-1】（2022春苍溪县期末）下列式子是不等式的是（）Ax+4y3BxCx+yDx30【分析】根据不等式的定义逐个判断即可【详解】解：A、x+4y

3、3是等式，不是不等式，故此选项不符合题意；B、x，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意；C、x+y，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意；D、x30是不等式，故此选项符合题意故选：D【点睛】本题考查了不等式的定义，注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有：，等【变式1-2】（2022春平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量3%”则这种牛奶蛋白质的质量是（）A3%以上B6.15gC6.15g及以上D不足6.15g【分析】根据蛋白质含量大于或等于3%判断即可【详解】解：2053%6.15（g），蛋白质含量3%，这种牛奶蛋白质的质量是6.15g及以上，故选

4、：C【点睛】本题考查了不等式的定义，掌握表示大于或等于是解题的关键【变式1-3】（2022春曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y500”表示的实际意义是 租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断【详解】解：不等式“45x+30y500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人故答案为：租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于5

5、00人【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式解答此类题关键是要识别常见不等号：、【题型2 取值是否满足不等式】【例2】（2022春卧龙区期中）下列数值2、1.5、1、0、1、1.5、2中能使12x0成立的个数有4个【分析】解得不等式后根据x的取值范围确定个数即可【详解】解：解12x0，解得：x12，满足x12的有2、1.5、1、0共4个，故答案为：4【点睛】本题考查了不等式的解集的知识，解答时也可以将x的值代入看能否满足不等式，满足可以，否则不可以【变式2-1】（2022春泸县期末）x3是下列哪个不等式的解（）Ax+24B13x3C2x13D3x+210【

6、分析】根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得答案【详解】解：A、x2，故A不是不等式的解；B、x9，故B 不是不等式的解；C、x2，故C不是不等式的解；D、x83，故D是不等式的解故选：D【点睛】本题考查了不等式的解集，先解不等式，再选出答案【变式2-2】（2022春雁塔区校级期中）下列x的值中，是不等式x2的解的是（）A2B0C2D3【分析】根据不等式解集的定义即可得出结论【详解】解：不等式x2的解集是所有大于2的数，3是不等式的解故选：D【点睛】本题考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解是解答此题的关键【变式2-3】（2022春夏津县期中）请

7、写出满足下列条件的一个不等式（1）0是这个不等式的一个解：x1；（2）2，1，0，1都是不等式的解：x2；（3）0不是这个不等式的解：x0【分析】根据不等式的解集，即可解答【详解】解：（1）x1，（答案不唯一）（2）x2，（答案不唯一）（3）x0，（答案不唯一）故答案为：（1）x1，（2）x2，（3）x0【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集【题型3 根据实际问题列出不等式】【例3】（2022春川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别

8、为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是（）A210x260B210x300C210x250D250x260【分析】由题意可得，小丽的重量为40公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，小华的重量为50公斤且进入电梯后，警示音响起，分别列出不等式即可求解【详解】解：由题意可知：当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，由图可知：小丽的重量为40公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，所以此时电梯乘载的重量x+40300，解得x260，因为小华的重量为50公斤且进入电梯后，警示音响起，所以此时

9、电梯乘载的重量x+40+50300，解得x210，因此210x260故选：A【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意找到不等关系【变式3-1】（2022南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25，最高气温是32，则今天气温t（）的取值范围是（）At32Bt25Ct25D25t32【分析】根据今天的最低气温是25可得：t25，根据最高气温是32可得：t32，再找出t的公共解集即可【详解】解：根据今天的最低气温是25可得：t25，根据最高气温是32可得：t32，则气温范围是：25t32，故选：D【点睛】此题主要考查了由实际问题列不等式，关键是抓住关键

10、词“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目【变式3-2】（2022春玉田县期末）用不等式表示“a是负数”应表示为 a0【分析】根据题意可得，负数小于0，由此列出不等式即可【详解】解：根据题意，得a0故答案为：a0【点睛】本题考查列不等式，所考查的知识点是：负数小于0【变式3-3】（2022秋婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是7.5x40【分析】若每天服用3次，则所需剂量为1040mg之间，若每天服用4次，则所需剂量为7.530mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为7.

11、540mg之间【详解】解：若每天服用3次，则所需剂量为1040mg之间，若每天服用4次，则所需剂量为7.530mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为7.540mg之间，所以7.5x40故答案为：7.5x40【点睛】本题考查了不等式的意义、有理数的除法运算解题的关键是理解题意的能力，首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量【题型4 在数轴上表示不等式】【例4】（2022嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为1x2【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右向左两个不

12、等式的公共部分就是不等式组的解集【详解】解：由图示可看出，从1出发向右画出的折线且表示1的点是实心圆，表示x1；从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x2，不等式组的解集是指它们的公共部分所以这个不等式组的解集是：1x2故答案为：1x2【点睛】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示【变式4

13、-1】（2022春永丰县期中）不等式xa的解集在数轴上表示如图所示，则a2【分析】根据数轴上表示的解集确定出a的值即可【详解】解：根据数轴上的解集得：a2，故答案为：2【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示【变式4-2】（2022秋衢州期中）在数轴上表示下列不等式（1）x1（2）2x3【分析】（1）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示（

14、2）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示【详解】解：（1）将x1表示在数轴上如下：（2）将不等式组2x3表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线【变式4-3】（2022防城港模拟）在数轴上表示2x1正确的是（）ABCD【分析】根据2是实心点，方向向右，1是空心点，方向向左画出图形即可得到答案【详解】解：2是实心点，方向向右，1是空心点，方向向左，如图所示：故选：D【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，掌握

15、“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”是解题的关键【知识点2 不等式的基本性质】性质1：若ab，bc，则ac.这个性质叫做不等式的传递性.性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。若ab，则acbc.性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。若ab，c0，则acbc，acbc;若ab，c0，则acbc，acbc【题型5 利用不等式的性质判断正误】【例5】

16、（2022春雁塔区校级期中）如果有理数ab，那么下列各式中，不一定成立的是（）A3a3bBa2abC2a2bD-a3-b3【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可【详解】解：ab，ab，3a3b，选项A不符合题意；ab，a2ab（a0），a2ab（a0），或a2ab（a0），选项B符合题意；ab，2a2b，选项C不符合题意；ab，-a3-b3，选项D不符合题意故选：B【点睛】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，

17、不等号的方向不变【变式5-1】（2022禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（）A若ab，c0，则acbcB若ab0，则a0，b0C若a0，b0，则ab0D若ab1，则ab【分析】根据不等式的基本性质判断A，D选项；根据有理数的乘法法则判断B，C选项【详解】解：A选项，当c0时不成立，故该选项不符合题意；B选项，也可能是a0，b0，故该选项不符合题意；C选项，若a0，b0，则ab0，故该选项符合题意；D选项，当b0时不成立，故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键【变式5-2】（2022春大埔县期末）下

18、列结论正确的有（填序号）如果ab，cd，那么acbd；如果ab，那么ab1；如果ab，那么1a1b；如果ac2bc2，那么ab【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变可得答案【详解】解：cd，cd，ab，acbd，故正确当b0时，ab1，故错若a2，b1，满足ab，但1a1b，故错ac2bc2，c20，ab，故正确故答案为：【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质注意：在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个

19、数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变【变式5-3】（2022春天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“”，错的打“”）（1）若 b3a0，则b3a；（2）如果5x20，那么x4；（3）若ab，则 ac2bc2；（4）若ac2bc2，则ab；（5）若ab，则 a（c2+1）b（c2+1）（6）若ab0，则1a1b【分析】利用不等式的性质逐个判断即可【详解】解：（1）若由b3a0，移项即可得到b3a，故正确；（2）如果5x20，两边同除以5不等号方向改变，故错误； （3）若ab，当c0时则 ac2bc2错误，故错误； （4）由ac2bc2得c20，故正确； （5）若ab，根据c

20、2+1，则 a（c2+1）b（c2+1）正确 （6）若ab0，如a2，b1，则1a1b正确故答案为：、【点睛】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变【题型6 利用不等式性质比较大小】【例6】（2022春闵行区期中）如果7x4时，那么7x31（填“”，“”，或“”）【分析】直接根据不等式的基本性质即可得出结论【详解】解：7x4，7x343，即7x31故答案为：【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变是解答此题的关键【变式6-1】（2022春辉县市期中）若ab，用“”或“”填空（1）a4b

21、4（2）a5b5（3）2a2b【分析】（1）根据不等式的基本性质，两边同时4，不等号的方向不变即可解答：（2）根据不等式的基本性质，两边同时除以5，不等号的方向不变解答即可：（3）根据不等式的基本性质，两边同时乘以2，不等号的方向改变即可解答【详解】解：（1）根据不等式的基本性质1可得：a4b4；（2）根据不等式的基本性质2可得：a5b5；（3）根据不等式的基本性质3可得：2a2b，故答案为，【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘（或除以）同

22、一个负数，不等号的方向改变【变式6-2】（2022春饶平县校级期末）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较ab与0的大小来解决：（1）如果ab0，则ab；（2）如果ab0，则ab；（3）如果ab0，则ab若x2a2+3b，ya2+3b1，试比较x、y的大小【分析】利用作差法可比较x、y的大小【详解】解：由于xy2a2+3b（a2+3b1）a2+10，即xy0所以xy【点睛】本题考查了不等式的性质（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变【变式6-3】（20

23、22春濉溪县期中）如果ab，那么a（ab）b（ab）（填“”或“”）【分析】根据不等式的性质进行解答【详解】解：ab，ab0，a（ab）b（ab）故答案是：【点睛】此题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是本题的关键，不等式的基本性质是：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变【题型7 利用不等式性质化简不等式】【例7】（2022秋余杭区期中）利用不等式的性质解不等式：5x+510【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去5，不等号的方向不变利用不等

24、式的基本性质，将两边不等式同时除以5，不等号的方向改变【详解】解：根据不等式的性质1，在不等式的两边同时减去5，得5x15，根据不等式的性质3，在不等式5x15的两边同时除以5，得x3【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变【变式7-1】（2022秋郴州校级月考）把下列不等式化成xa或xa的形式（1）2x+53；（2）6（x1）0【分析】（1）根据移项、合并同类项，系数化为1，可得答案；（2）根据去括号、移项、系数化为1，

25、可得答案【详解】解：（1）移项，得2x35，合并同类项，得2x2，系数化为1，得x1；（2）去括号，得，6x+60，移项，得6x6，系数化为1，得x1【点睛】本题考查了不等式的性质，利用了解不等式的一般步骤，不等式的两边都除以同一负数，不等号的方向改变【变式7-2】（2022秋余杭区期中）试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为xa或xa的形式（a为常数）（1）13x-23x2（2）12x12（6x）【分析】根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变作答【详解】解：（1）利用不等式的基本性质1，在不等式的两边

26、都加上23x，得13x+23x-23x+23x2，即x2；（2）根据不等式的基本性质2，在不等式的两边都乘以2，得12x212（6x）2，即x6x，再由不等式的基本性质1，在不等式的两边同时加上同一个整式x，得2x6，最后利用不等式的性质2，在不等式的两边同时除以2，得x3【点睛】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变【变式7-3】（2022秋湖州期中）根据不等式的性质把下列不等式化成xa或xa的形式（1）x+79（2）6x5x

27、3（3）15x25【分析】根据不等式的基本性质对各不等式进行逐一分析解答即可【详解】解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减7，不等号的方向不变，得x+7797，即x2；（2）根据不等式性质1，不等式两边都减去5x，不等号的方向不变，得6x5x5x5x3，即x3；（3）根据不等式性质2，不等式两边同乘以5，不等号的方向不变，得x2；【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，需熟练掌握（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】【

28、例8】（2022春西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：【问题背景】小明在学习完不等式的性质之后，思考：“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：已知：ab，c0求证：acbc已知：ab，c0求证：acbc【问题探究】（1）针对小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：c0，即c是一个负数c的相反数是正数，即c0aba（c）b（c）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变）即acbc不等式的两端同时加（ac+bc）可得：ac+（ac+bc）bc+（ac+bc）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时

29、加上同一个整式，不等号不变）合并同类项可得：bcac即：acbc得证（2）参考（1）的结论或证明方法，完成的证明【分析】（1）根据不等式的基本性质进行分析即可；（2）仿照（1）的方法进行求解即可【详解】解：（1）c0，即c是一个负数c的相反数是正数，即c0aba（c）b（c）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变），即acbc，不等式的两端同时加（ac+bc）可得：ac+（ac+bc）bc+（ac+bc）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变），合并同类项可得：bcac，即：acbc，得证故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时

30、乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变；（2）c0，即c是一个负数c的相反数是正数，即c0aba-cb-c（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变），即-ac-bc，不等式的两端同时乘以1可得：-ac（1）-bc（1）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号改变），即：acbc，得证【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，解答的关键是熟记不等式的基本性质【变式8-1】（2022春武侯区期末）求证：如果ab，ef，c0，那么facebc【分析】根据不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方

31、向改变，不等式的两边都加同一个数，不等号的方向不变，可得答案【详解】证明：ab，c0，acbcfacfbcef，ebcfbcfacebc【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变【变式8-2】（2022春江西期末）已知：bc，1ab+ca+1，求证：ba【分析】根据不等式的性质得出2ba+1，1+a2a，根据不等式的传递性从而得出结论【详解】证明：因为bc，所以2bb+c，由b+ca+1，得2ba+1，由1a，得1+a2a，所以2b1+a2a，ba成立【点睛】本题考查了不等式的性质，要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证【变

32、式8-3】（2022春夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c0，c0，3a+2b+c0求证：（1）ac；（2）2ba-1【分析】（1）根据等式的性质可得3a+2b+c（a+b+c）2a+b2a+b0，由a+b+c0可得bac，再代入2a+b0解答即可；（2）由bac，c0，由不等式的性质可得ba，再根据2a+b0可得2ab，所以2aba，再由a0，结合不等式的性质解答即可【详解】证明：（1）a+b+c0，3a+2b+c0，3a+2b+c（a+b+c）+2a+b2a+b0，又bac，2aac0，即ac0，ac；（2）bac，c0，ba，又2a+b0，2ab，2aba，又ac0，2ba-1

33、【点睛】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】【例9】（2022春龙凤区期中）已知实数x，y，z满足x+y3，xz6若x2y，则x+y+z的最大值为（）A3B4C5D6【分析】设x+y+zt，用x表示z得到zx6，则t3+x6x3，所以xt+3，再利用x2y，y3x得到x2（3x），解不等式得到x6，所以t+36，然后解不等式得到t的最大值即可【详解】解：设x+y+zt，xz6，zx6，x

34、+y3，y3x，t3+x6x3，xt+3，x2y，即x2（3x），x6，t+36，解得t3，x+y+z的最大值为3故选：A【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变也考查了等式的性质【变式9-1】（2022春郫都区校级期中）若xy，且（6a）x（6a）y，则a的取值范围是 a6【分析】根据不等式的基本性质，发现不等式的两边都乘（6a）后，不等号的方向改变了，说明（6a）是负数，从而得出答案【详解】解：根据

35、题意得：6a0，a6，故答案为：a6【点睛】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键【变式9-2】（2022天门校级自主招生）已知正数a、b、c满足a2+c216，b2+c225，则ka2+b2的取值范围为9k41【分析】根据已知条件先将原式化成a2+b2的形式，最后根据化简结果即可求得k的取值范围【详解】解：正数a、b、c满足a2+c216，b2+c225，c216a2，a20所以0c216同理：有c225b2

36、得到0c225，所以0c216两式相加：a2+b2+2c241即a2+b2412c2又16c20即322c209412c241即9k41【点睛】解答此题的关键是熟知不等式的基本性质：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数或式子，不等号方向不变；基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的数或式子，不等号方向改变【变式9-3】（2022春朝阳区校级期中）已知a，b，c为整数，且a+b2006，ca2005，若ab，求a+b+c的最大值【分析】由ca2005得ca+2005，与a+b2006相加得a+b+

37、ca+4011，由a+b2006及ab，a为整数，可得a的最大值为1002，从而得出a+b+c的最大值【详解】解：由a+b2006，ca2005，得a+b+ca+4011，a+b2006，ab，a为整数，a的最大值为1002，a+b+c的最大值为a+b+ca+40115013【点睛】本题考查了整式的加减，关键是由已知等式得出a+b+c的表达式，再求最大值【题型10 不等关系的简单应用】【例10】（2022春饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？【分析】根据题意得到不等式10b+

38、a10a+b，通过解该不等式即可比较它们的大小【详解】解：根据题意，得10b+a10a+b，所以，9b9a，所以，ba，即ab【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变【变式10-1】（2022春巩义市期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（）ADBACBBDCACBADCDBCDA【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答【详解】解：由题意得：DA，A+CB+D，B+CA+

39、D，由得：CA+DB，把代入得：A+A+DBB+D，2A2B，AB，AB0，由得：ABCD，DA0，CD0，CD，CDAB，即BADC，故选：C【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键【变式10-2】（2022春兰山区期末）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若ab0，则ab；若ab0，则ab；若ab0，则ab反之也成立这种方法就是求差法比较大小请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小方案一总面积记为S1，方案二总面

40、积记为S2，则S1S2（填“，或”）【分析】设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，方案一：用4块A型钢板，用8块B型钢板，用式子表示为：s14x+8y；方案二：用3块A型钢板，用9块B型钢板，用式子表示为：s23x+9y，用s1减去s2，结果与0比较即可；【详解】解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，方案一：用4块A型钢板，用8块B型钢板，用式子表示为：s14x+8y；方案二：用3块A型钢板，用9块B型钢板，用式子表示为：s23x+9y，s1s24x+8y3x9yxy，xy，xy0，s1s2故答案为：【点睛】本题考查了探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“求差法”，读懂方法，计算化简即可本题难度中等略大【变式10-3】（2022苏州自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（）Aa+b2c+d2Bc+d2a+b2Cc+d2=a+b2D以上都不对【分析】根据已知得出3a+2b2c+3d，推出2a+2b2c+2d，求出a+bc+d，两边都除以2即可得出答案【详解】解：3a+2b2c+3d，ad，2a+2b2c+2d，a+bc+d，a+b2c+d2，即c+d2a+b2，故选：B【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，关键是根据不等式的性质进行变形