9.5 矩形的性质与判定【八大题型】（举一反三）（苏科版）（教师版）.docx

1、专题9.5 矩形的性质与判定【八大题型】【苏科版】【题型1 由矩形的性质求线段的长度】1【题型2 由矩形的性质求角的度数】5【题型3 由矩形的性质求面积】8【题型4 矩形的性质与坐标轴的综合运用】11【题型5 矩形判定的条件】17【题型6 证明四边形是矩形】20【题型7 矩形中多结论问题】25【题型8 矩形的判定与性质综合】32【知识点1 矩形的定义】有一个角是直角的平行四边形是矩形【知识点2 矩形的性质】平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两

2、条对角线的交点【题型1 由矩形的性质求线段的长度】【例1】（2022春新泰市期末）如图，在矩形ABCD中，AD=42，对角线AC与BD相交于点O，DEAC，垂足为点E，CEOE，则DE的长为（）A4B32C22D2【分析】根据矩形的性质得出ADC90，ACBD，OAOC，OBOD，求出ODOC，求出ODCDOD，根据等边三角形的判定得出DOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DCA60，求出DAC90DCA30，再根据含30度角的直角三角形的性质得出DE=12AD即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，ADC90，ACBD，OAOC，OBOD，ODOC，DEAC，CEOE，ODCD，即ODO

3、CCD，DOC是等边三角形，DCA60，DAC90DCA30，DEAC，DEA90，DE=12AD，AD42，DE22，故选：C【变式1-1】（2022春开州区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若BD23，DF2，则AF的长为（）A6B22C7D3【分析】根据矩形对角线相等且互相平分，OD=12BD=3，再根据DF垂直平分OC，得DCOD=3，分别在RtDCF，RtDCB中，利用勾股定理求出CF、BC的长，从而求出BF，在RtABF中利用勾股定理求出AF的长【解答】解：四边形ABCD是矩形ABCD，OD=12BD=

4、3DF垂直平分OCCDOD=3ABCD=3在RtBCD中，BC=BD2-CD2=(23)2-(3)2=3在RtDCF中，CF=DF2-DC2=22-(3)2=1BFBCCF312在RtABF中，AF=AB2+BF2=(3)2+22=7故选：C【变式1-2】（2022碑林区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，O是BD的中点，E为AD边上一点，且有AEOB2连接OE，若AEO75，则DE的长为（）A32B3C2D23-2【分析】连接AC，OE，根据矩形的性质可得AC4，由AEO75，可得EAO30，进而利用含30度角的直角三角形即可解决问题【解答】解：如图，连接AC，OE，在矩形ABCD中，O是BD

5、的中点，OAOB，AEOB2AEOA2AC4，AEO75，EAO30，CD=12AC2，AD=3CD23，DEADAE23-2故选：D【变式1-3】（2022南岗区期末）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且CF2DF2，连接BE，EF，BF，且BF平分EBC，EFB45，连接CE交BF于点G，则线段EG的长为51311【分析】在BC上截取BN，使BNBE，过点G作GHEF于点H，证明NFCFED（AAS），推出EDFC2，CNDF1，设BNBEx，作GQBE于Q，GPBC于P利用勾股定理构建方程求出x，再证明EGGC=BEBC=56，即可解决问题【解答】解：在BC上截取BN，使

6、BNBE，过点G作GHEF于点H，BF平分EBC，EBFCBF，又BEBN，BFBF，BEFBNF（SAS），EFNF，EFBNFB45，EFN90，EFD+NFC90，又EFD+FED90，NFCFED，又DNCF90，NFCFED（AAS），EDFC2，在RtFED中，DF1，EF=ED2+DF2=12+22=5，在RtEDC中，EC=DE2+DC2=22+32=13，设BNBEx，作GQBE于Q，GPBC于P在RtABE中，AB2+AE2BE2，32+（x1）2x2，解得x5，BG平分EBC，GQBE，GPBC，GQGP，SBEGSBGC=12BEGQ12BCGP=EGGC，EGGC=B

7、EBC=56，EG=511EC=51311，故答案为51311【题型2 由矩形的性质求角的度数】【例2】（2022春溧水区期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DEAC于点E，AOD110，则CDE大小是（）A55B40C35D20【分析】由矩形的性质得出OCOD，得出ODCOCD55，由直角三角形的性质求出ODE20，即可得出答案【解答】解：四边形ABCD是矩形，ADC90，ACBD，OAOC，OBOD，OCOD，ODCOCD，AOD110，DOE70，ODCOCD=12（18070）55，DEAC，ODE90DOE20，CDEODCODE552035；故选：C【变式2-1】（2

8、022武昌区期末）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得EDF22，则FDB的大小是（）A22B34C24D68【分析】由FDB90BDC根据已知条件易求BDC的度数【解答】解：EDF22，ADC90，EDC112BDC56FDB90BDC34故选：B【变式2-2】（2022春江夏区期中）如图，矩形ABCD中，AB2，AD1，点M在边DC上，若AM平分DMB，则AMD的大小是（）A45B60C75D30【分析】由矩形的性质和角平分线定义证出BAMAMB，得出BMAB2，因此BC=12BM，由直角三角形的性质得出BMC30，即可得出答案【解答】解：四边形ABCD是矩形DC90，ADBC1，A

9、BCD，BAMAMD，AM平分DMB，AMDAMB，BAMAMB，BMAB2，BC=12BM，BMC30，AMDAMB=12（18030）75；故选：C【变式2-3】（2022春莫旗期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的最大内角的大小是 150【分析】过D作DEAB于点E，根据面积的关系可以得到AD2DE，则DAE30，再根据平行四边形的性质即可求解【解答】解：如图，过D作DEAB于点E，矩形的面积ABBF2S平行四边形ABCD2ABDE，BF2DE，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，DAE+ABC

10、180，BFBC，ADBF2DE，DAE30，ABC180DAE150，即平行四边形ABCD的最大内角的大小是150，故答案为：150【题型3 由矩形的性质求面积】【例3】（2022春浦东新区期末）我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为253cm2【分析】根据“和谐矩形”的性质求出ADB30，由含30角的直角三角形的性质求出AB、AD的长，即可得出答案【解答】解：四边形ABCD是“和谐矩形”，OAOC，OBOD，ACBD10，BAD90，CAD：BAC1：2，OAOD，CAD30，BAC60，ADBCAD30

11、，AB=12BD5，AD=3AB53，矩形ABCD的面积ABAD553=253（cm2）；故答案为：253【变式3-1】（2022成都）如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1S2；（填“”或“”或“”）【分析】根据矩形的性质，可知ABD的面积等于CDB的面积，MBK的面积等于QKB的面积，PKD的面积等于NDK的面积，再根据等量关系即可求解【解答】解：四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，ABD的面积CDB的面积，MBK的面积QKB的面积，PKD的面积NDK的面

12、积，ABD的面积MBK的面积PKD的面积CDB的面积QKB的面积NDK的面积，S1S2故答案为S1S2【变式3-2】（2022春成都期末）如图，点E是矩形ABCD边AD上一动点，连接BE，以BE边作矩形BEFG，使得FG始终经过点C若矩形ABCD的面积为s1，矩形BEFG的面积为s2，则s1与s2的大小关系是（）As1s2Bs1s2Cs1s2D不确定【分析】连接CE，根据矩形ABCD和矩形BEFG都与三角形CBE同底等高，进而可以解决问题【解答】解：如图，连接CE，矩形ABCD的面积为s1，矩形BEFG的面积为s2，s12SCBE，s22SCBE，则s1s2故选：B【变式3-3】（2022春九

13、龙坡区校级期中）已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BEBD，F为DE的中点，连接AF、CF（1）求证：CFAF；（2）若AB10cm，BC16cm，求ADF的面积【分析】（1）连接BF，根据矩形的性质可得ADBC，ADCBCD90，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CFDF，根据等边对等角可得CDFDCF，然后求出ADFBCF，利用“边角边”证明ADF和BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得AFDBFC，再根据等腰三角形三线合一可得BFDE，然后求出AFC90，即可得证；（2）根据全等三角形对应边上的高相等可得点F到AD、BC的距离相等，都是AB的一半，然后利用三角形的面积公式

14、列式计算即可得解【解答】（1）证明：如图，连接BF，在矩形ABCD中，ADBC，ADCBCD90，F为DE的中点，CFDF，CDFDCF，ADC+CDFBCD+DCF，即ADFBCF，在ADF和BCF中，AD=BCADF=BCFCF=DF，ADFBCF（SAS），AFDBFC，BEBD，F为DE的中点，BFDE，AFCAFB+BFCAFB+AFD90，CFAF；（2）解：ADFBCF，点F到AD、BC的距离相等，AB10cm，点F到AD的距离为12105cm，ADF的面积=1216540cm2【题型4 矩形的性质与坐标轴的综合运用】【例4】（2022春潮南区期中）如图，在矩形COED中，点D的

15、坐标是（1，3），则CE的长是（）A3B3C5D10【分析】连接OD，过D作DFx轴于F，由矩形的性质得CEOD，再由点D的坐标得OF1，DF3，然后由勾股定理求出OD的长，即可解决问题【解答】解：如图，连接OD，过D作DFx轴于F，四边形COED是矩形，CEOD，点D的坐标是（1，3），OF1，DF3，OD=OF2+DF2=12+32=10，CE=10，故选：D【变式4-1】（2022春任城区期末）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA3，OC4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得CMP为“智慧

16、三角形”，则点P的坐标为（）A（3，1）或（3，3）B（3，12）或（3，3）C（3，12）或（3，1）D（3，12）或（3，1）或（3，3）【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，CPM90或CMP90，设P（3，a），则APa，BP4a；分两种情况：若CPM90，若CMP90，根据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，CPM90或CMP90，设P（3，a），则APa，BP4a；若CPM90，在RtBCP中，由勾股定理得：CP2BP2+BC2（4a）2+9，在RtMPA中，由勾股定

17、理得：MP2MA2+AP21+a2，在RtMPC中，由勾股定理得：CM2MP2+CP21+a2+（4a）2+92a28a+26，又CM2OM2+OC24+1620，2a28a+2620，解得：a3或a1，P（3，3）或（3，1）；若CMP90，在RtBCP中，由勾股定理得：CP2BP2+BC2（4a）2+9，在RtMPA中，由勾股定理得：MP2MA2+AP21+a2，CM2OM2+OC220，在RtMCP中，由勾股定理得：CM2+MP2CP2，20+1+a2（4a）2+9，解得：a=12P（3，12）综上，P（3，12）或（3，1）或（3，3）故选：D【变式4-2】（2022西平县模拟）已知在

18、矩形ABCD中，AB4，BC=252，O为BC上一点，BO=72，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点（1）若点M的坐标为（1，0），如图1，以OM为一边作等腰OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其他条件不变，如图2，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标【分析】（1）OM的长是1，小于矩形的宽，也小于OB的长，所以点P只能是OM的垂直平分线与AD的交点；（2）OM的长是4，等于矩形的宽，所以点P可以是过O、M的

19、垂线与AD的交点，也可以是OM的垂直平分线与AD的交点，又OM的长大于OB的长，所以点P也可以在AB上；【解答】解：（1）符合条件的等腰OMP只有1个；点P的坐标为（12，4）；（2）符合条件的等腰OMP有4个如图，在OP1M中，OP1OM4，在RtOBP1中，BO=72，BP1=(OP1)2-OB2=42-(72)2=152，P1（-72，152）；在RtOMP2中，OP2OM4，P2（0，4）；在OMP3中，MP3OP3，点P3在OM的垂直平分线上，OM4，P3（2，4）；在RtOMP4中，OMMP44，P4（4，4）；【变式4-3】（2022春浦江县期中）如图，长方形OABC中，O为平面

20、直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着OCBAO的路线移动（移动一周）（1）写出点B的坐标；（2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标；（3）在移动过程中，当OBP的面积是10时，直接写出点P的坐标【分析】（1）根据矩形的性质以及点的坐标的定义写出即可；（2）先求得点P运动的距离，从而可得到点P的坐标；（3）分点P在OC上，在BC上，在AB上，在AO上四种情况讨论，由三角形的面积公式可求点P坐标【解答】解：（1）A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），OA4，OC6，点B（4，6）；（2）点P移动了

21、4秒时的距离是248，点P的坐标为（2，6）；（3）如图，当点P在OC上时，SOBP=12OP1410，OP15，点P（0，5）；当点P在BC上，SOBP=12BP2610，BP2=103，CP24-103=23，点P（ 23，6）；当点P在AB上，SOBP=12BP3410，BP35，AP3651，点P（4，1）；当点P在AO上，SOBP=12OP4610，OP4=103，点P（103，0）综上，点P的坐标为（0，5）或（23，6）或（4，1）或（103，0）【知识点3 矩形的判定方法】矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形（

22、或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.【题型5 矩形判定的条件】【例5】（2022春夏邑县期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DEAD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）AABBEBBEDCCADB90DCEDE【分析】先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定进行解答即可【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，ADBC，ADBC，又ADDE，DEBC，且DEBC，四边形DBCE为平行四边形，A、ABBE，DEAD，BDAE，BDE90，DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一

23、定为矩形，故本选项符合题意；C、ADB90，EDB90，DBCE为矩形，故本选项不符合题意；D、CEDE，CED90，DBCE为矩形，故本选项不符合题意；故选：B【变式5-1】（2022春江油市期末）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）AAOCO，BODO，BAD90BABCD，ADBC，ACBDCBADBCD，ABC+BCD180，ACBDDBADABC90，ACBD【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断即可【解答】解：A、AOCO，BODO，四边形ABCD是平行四边形，又BAD90，平行四边形A

24、BCD是矩形，故选项A不符合题意；B、ABCD，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，又ACBD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、ABC+BCD180，ABCD，BADBCD，ABC+BAD180，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，又ACBD，平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；D、BADABC90，ADBC，在RtABD和RtBAC中，AB=BABD=AC，RtABDRtBAC（HL），ADBC，四边形ABCD是平行四边形，又ACBD，平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C【变式5-2】（2022春仙居县期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延

25、长AD到E，使DEAD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）AABBEBCEDECADB90DBEDC【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，ADBC，ADBC，又ADDE，DEBC，且DEBC，四边形BCED为平行四边形，A、ABBE，DEAD，BDAE，DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B、CEDE，CED90，DBCE为矩形，故本选项不符合题意；C、ADB90，EDB90，DBCE为矩形，故本选项不符合题意；D、对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；故选：D

26、【变式5-3】（2022西城区一模）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DGEF只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 DEFG（答案不唯一）（写出一个即可）【分析】根据三角形中位线定理得到DEBC，推出四边形DFGE是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论【解答】解：DEFG，理由：D，E分别是AB，AC的中点，DEBC，DEFG，DEFG，四边形DFGE是平行四边形，DGEF，四边形DFGE是矩形，故答案为：DEFG（答案不唯一）【题型6 证明四边形是矩形】【例6】（2022春南谯区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，

27、BD相交于点O，若E，F是线段AC上两动点，同时分别从A，C两点出发以1cm/s的速度向点C，A运动（1）求证：ADECBF；（2）若BD8cm，AC14cm，当运动时间t为多少秒时，四边形DEBF是矩形？【分析】（1）由平行四边形的性质得ADBC，ADBC，则DAEBCF，易证AECF，由SAS即可得出结论；（2）先证四边形DEBF为平行四边形，当BDEF时，四边形DEBF为矩形，得出OEOD=12BD，即12ACt=12BD或t-12AC=12BD，即可得出结果【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DAEBCFE，F是线段AC上两动点，同时分别从A，C两点出发

28、以1cm/s的速度向点C，A运动，AECF，在ADE和CBF中，AE=CFDAE=BCFAD=BC，ADECBF（SAS）；（2）解：四边形ABCD是平行四边形，ODOB，OAOC，AECF，OEOF四边形DEBF为平行四边形，当BDEF时，四边形DEBF为矩形，OEOD=12BD，即12ACt=12BD或t-12AC=12BD，1214t=128或t-1214=128，解得：t3（s）或t11（s），当运动时间t为3秒或11秒时，四边形DEBF是矩形【变式6-1】（2022春海陵区期末）如图，在ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交ACB的平分线于点E，交ABC的外角ACD的

29、平分线于点F给出下列信息：MNBC；OEOC；OFOC（1）请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OEOF；（2）在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得OECACE，OFCACF，则OEOC，OFOC，即可得出结论；（2）先证四边形AECF是平行四边形，再证ECF90，即可得出结论【解答】解：（1）选择MNBC，理由如下：MNBC，OECBCE，OFCDCF，CE平分ACB，CF平分ACD，BCEACE，DCFACF，OECACE，OFCACF，OEOC，OFOC，OEOF；（2）

30、当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：当O为AC的中点时，AOCO，由（1）可知，OEOF，四边形AECF是平行四边形，CE平分ACB，CF平分ACD，ACEBCE，ACFDCF，ACE+ACF=1218090，即ECF90，平行四边形AECF是矩形【变式6-2】（2022春津南区期末）已知ABCD，对角线AC，BD相交于点O（ACBD），点E，F分别是OA，OC上的动点（）如图，若AECF，求证：四边形EBFD是平行四边形；（）如图，若OEOB，OFOD，求证：四边形EBFD是矩形【分析】（）由平行四边形的性质得OBOD，OAOC，再证OEOF，即可得出结论；（）

31、由平行四边形的性质得OBOD，再证OEOFOBOD，进而得出结论【解答】证明：（）四边形ABCD是平行四边形，OBOD，OAOC，AECFOAAEOCCF，即OEOF，OBOD，四边形EBFD是平行四边形；（）四边形ABCD是平行四边形，OBOD，OEOB，OFOD，OEOFOBOD，四边形EBFD是平行四边形，BDEF，平行四边形EBFD是矩形【变式6-3】（2022春洪泽区期末）在矩形ABCD中，AB6，BC8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0t10（1）若G、H分别是AD、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（

32、E、F相遇时除外）的判断：一定是平行四边形；一定是矩形；一定是菱形，正确的是 ；（直接填序号，不用说理）（2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值【分析】（1）利用三角形全等可得EGFH，AEGCFH，则EGFH，即可证明；（2）分为两种情况，一种是四边形EGFH为矩形，另一种是FGEH为矩形，利用EFGH即可求解；【解答】解：（1）连接HG交AC于点O，在矩形ABCD中，有ADCD，ADCD，DACACB，AGHCHG，G、H分别是AD、BC的中点，AG=12AD，CH=12BC，AGCH，AOGCOH（ASA），OGOH，OAOC，由题意得：AECF，OEOF，四边形EGFH

33、是平行四边形，故是正确得；随着t的增加，EGF由大变小，不一定是直角，故不一定正确；G平分AD，O平分AC，OGCD，OG不是AC的垂直平分线，EG与GF不一定相等，故不一定正确；故答案为：（2）（2）如图1，连接GH，由（1）得AGBH，AGBH，B90，四边形ABHG是矩形，GHAB6，如图1，当四边形EGFH是矩形时，EFGH6，AECFt，EF102t6，t2；如图2，当四边形EGFH是矩形时，EFGH6，AECFt，EFt+t102t106，t8；综上，四边形EGFH为矩形时t2或t8；【题型7 矩形中多结论问题】【例7】（2022绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB4，BC

34、8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH有以下四个结论：四边形CFHE是菱形；CE平分DCH；线段BF的取值范围为3BF4；当点H与点A重合时，EF5以上结论中，其中正确结论的个数有（）A1个B2个C3个D4个【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CFFH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得BCHECH，然后求出只有DCE30时EC平分DCH，判断出错误；点H与点A重合时，设BFx，表示出AFFC8x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值

35、，点G与点D重合时，CFCD，求出BF4，然后写出BF的取值范围，判断出正确；过点F作FMAD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出错误【解答】解：FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，FHCG，EHCF，四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CFFH，四边形CFHE是菱形，故正确；四边形CFHE是菱形，BCHECH，只有DCE30时EC平分DCH，故错误；点H与点A重合时，设BFx，则AFFC8x，在RtABF中，AB2+BF2AF2，即42+x2（8x）2，解得x3，点G与点D重合时，CFCD4，BF4，线段BF的取值范围为3BF4，故正

36、确；如图，过点F作FMAD于M，则ME（83）32，由勾股定理得，EF=MF2+ME2=42+22=25，故错误综上所述，结论正确的有，共2个故选：B【变式7-1】（2022春南充期末）如图，矩形ABCD中，M，N分别是边AB，CD的中点，BPAN于P，CP的延长线交AD于Q下列结论：PMCN；PMCQ；PQAQ；DQ2PN其中结论正确的有（）A1 个B2 个C3 个D4 个【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半直接判断即可；连接MC，可以判断MCAN，根据已知进一步判断PMCBMC，即可得出结论；连接MQ，证得MPQ90，进一步证明RtMPQRtAMQ，得出PQAP即可判断；取C

37、Q的中点E，连接EN，则ENDQ，根据大角对大边判断即可【解答】解：如图，BPAN于P，M是AB的中点，PM=12AB，四边形ABCD是矩形，ABCD，PMCN正确连接MC，则AMCN是平行四边形，MCAN，BPAN，BPMC，PMBM，12，PMCBMC，MPCMBC90正确连接MQ，由（2）得MPQ90，同理RtPMQRtAMQ （HL）PQAQ正确取CQ中点E，连接EN，则ENDQ，PEN90EPN，PNENDQ2EN2PN正确故选：D【变式7-2】（2022春泉州期末）如图，点P是矩形ABCD内一点，连结PA、PB、PC、PD，设PAB、PBC、PCD、PDA的面积分别为S1、S2、S

38、3、S4，以下四个判断：当PABPDA时，B、P、D三点共线存在唯一一点P，使PAPBPCPD不存在到矩形ABCD四条边距离都相等的点P若S1S2，则S3S4其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）【分析】根据矩形的性质和三角形的面积公式进行逐一判断即可得出结论【解答】解：当PABPDA时，根据矩形四个角都是直角，则有PAB+PAD90，即PAD+PDA90，根据直三角形两个锐角互余可知：APD为90，即APD为直角三角形，则只有正方形ABCD且P为中心时，才可能B、P、D三点共线，故错误；根据矩形对角线相等且互相平分的性质可知：存在唯一一点P满足PAPBPCPD，此时P为对角线的交点，故正确

39、；除非矩形ABCD是正方形，则在其内部才存在到矩形ABCD四条边距离都相等的点P故错误；PAB和PCD可看作以AB和CD为底的三角形，如图，过P分别作PEAB于E，PFCD于F，则显然有PE，PF在一条有线上，且满足PE+PFAD，则S1+S3=12ABPE+12CDPF=12AB（PE+PF）=12ABAD，同理可知：S2+S4=12ADAB，即S1+S3S2+S4，故若S1S2，则S3S4，故正确，综上所述：正确故答案为：【变式7-3】（2022春兴文县期中）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BFAC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DEBF交AB于点E，交AC于点N，

40、连接FN，EM则下列结论：DNBM；EMFN；DFNF；当AOAD时，四边形DEBF是菱形其中正确的结论是 【分析】根据矩形的性质得到ABCD，ABCD，DAEBCF90，ODOBOAOC，ADBC，ADBC，根据全等三角形的性质得到DNBM，ADECBF，故正确；DEBF；根据平行四边形的性质得到EMFN，故正确；根据平行线的性质得到FDNAED，推出AMDE，而AN不一定等于MN，得到DFFN，故错误；根据平行四边形的判定定理得到四边形DEBF是平行四边形，根据等边三角形的性质得到ADODAN60，推出四边形DEBF是菱形；故正确【解答】解：四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，DAE

41、BCF90，ODOBOAOC，ADBC，ADBC，DANBCM，BFAC，DEBF，DEAC，DNABMC90，在DNA和BMC中，DAN=BCMDNA=BMCAD=BC，DNABMC（AAS），DNBM，ADECBF，故正确；在ADE和CBF中，ADE=CBFAD=BCDAE=BCF，ADECBF（ASA），DEBF；DEDNBFBM，即NEMF，DEBF，四边形NEMF是平行四边形，EMFN，故正确；DNFDEM，DCAB，FDNAED，AMDE，而AN不一定等于MN，AEDDEM，FDNFND，DFFN，故错误；ABCD，AECF，BEDF，BEDF，四边形DEBF是平行四边形，AOAD

42、，AOADOD，AOD是等边三角形，ADODAN60，ABD90ADO30，DEAC，ADNODN30，ODNABD，DEBE，四边形DEBF是菱形；故正确；故答案为：【题型8 矩形的判定与性质综合】【例8】（2022春海淀区期末）如图，在ABC中，D是AB上一点，ADDC，DE平分ADC交AC于点E，DF平分BDC交BC于点F，DFC90（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）若B30，AD2，连接BE，求BE的长【分析】（1）证EDF90，CED90，再由DFC90，即可得出结论；（2）证ACD是等边三角形，得ACD60，ACAD2，则AECE1，再由勾股定理得DE=3，然后由三角形中位线

43、定理得BC2DE23，由勾股定理即可得出结论【解答】（1）证明：DE平分ADC，DF平分BDC，ADECDE=12ADC，CDF=12BDC，CDE+CDF=12（ADC+BDC）=1218090，即EDF90，ADDC，DCADAC，CEDAED=1218090，又DFC90，四边形CEDF是矩形；（2）解：由（1）可知，四边形CEDF是矩形，CEDECF90，A90B903060，DEAC，ADDC，CEAE，ACD是等边三角形，ACD60，ACAD2，AECE1，DE=AD2-AE2=22-12=3，DCBECFACD906030，DCBB，DBDCAD，DE是ABC的中位线，BC2DE

44、23，在RtBCE中，由勾股定理得：BE=CE2+BC2=12+(23)2=13，即BE的长为13【变式8-1】（2022息烽县二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BEAC，且BE=12AC，连接EC、ED（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC2，ABC60，求DE的长【分析】（1）由菱形的性质得BOC90，OC=12AC，推出BEOC，即可得出四边形BECO是平行四边形，又由BOC90，即可得出结论；（2）由菱形的性质得ACBD，OB=12BD，OC=12AC1，ABBC，易证ABC是等边三角形，得出BCAC2，由勾股定理求出OB=3，则BD23，由矩形的性质

45、得出BEOC1，DBE90，再由勾股定理即可得出结果【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，BOC90，OCOA=12AC，BE=12AC，BEOC，BEAC，四边形BECO是平行四边形，BOC90，四边形BECO是矩形；（2）解：四边形ABCD是菱形，ACBD，OB=12BD，OC=12AC1，ABBC，ABC60，ABC是等边三角形，BCAC2，在RtBOC中，由勾股定理得：OB=BC2-OC2=22-12=3，BD2OB23，由（1）得：四边形BECO是矩形，BEOC1，DBE90，在RtDBE中，由勾股定理得：DE=BE2+BD2=12+(23)2=13【变式8-2】（2022开福区

46、校级二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AFCD，垂足为F，延长DC到点E，使CEDF，连接BE（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）若AB5，CF2，ACBD，连接OE，求OE的长【分析】（1）先证四边形ABEF是平行四边形，再证AFE90，即可得出结论；（2）证平行四边形ABCD是菱形，得ADCDAB5，再由勾股定理求出AF4，然后由矩形的性质和勾股定理求出BD45，即可求解【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，CEDF，CE+CFDF+CF，即EFCD，ABEF，四边形ABEF是平行四边形，又AFCD，AFE90，平行四边形

47、ABEF是矩形；（2）解：四边形ABCD是平行四边形，ACBD，OBOD，平行四边形ABCD是菱形，ADCDAB5，DFCDCF523，AFCD，AFD90，AF=AD2-DF2=52-32=4，由（1）得：四边形ABEF是矩形，BEF90，BEAF4，CEDF3，DECD+CE8，BD=DE2+BE2=82+42=45，又OBOD，OE=12BD25【变式8-3】（2022崇左）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AEBFCGDH（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DGAC，OF2cm，求矩形ABCD的面积【分析】（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HFEG；（2）根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，OA0BOCOD，AEBFCGDH，AOAEOBBFCOCGDODH，即：OEOFOGOH，四边形EFGH是矩形；（2）解：G是OC的中点，GOGC，DGAC，DGODGC90，又DGDG，DGCDGO，CDOD，F是BO中点，OF2cm，BO4cm，四边形ABCD是矩形，DOBO4cm，DC4cm，DB8cm，CB=DB2-DC2=43，矩形ABCD的面积443=163cm2