9_09-专题九　平面解析几何.docx

1、专题九平面解析几何一、单项选择题1.(2022山西晋城重点中学4月月考,6)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=5答案A由已知得圆心到两直线的距离d=|2a1+4|5=|2a16|5,解得a=1,d=5,所以半径r=5,所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.2.(2023届广西桂林月考,11)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(4,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点,若M(1,-1),

2、且OA+OB=2OM,则E的方程为()A.x248+y232=1B.x236+y220=1C.x224+y28=1D.x220+y24=1答案COA+OB=2OM,M为AB的中点.过点F的直线交椭圆于A、B两点,且M(1,-1),kAB=kMF=1014=13.设A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1x2,则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,由点差法得-b2a2=y1y2x1x2y1+y2x1+x2=kAB22,b2a2=13,又a2=b2+c2,c=4,b2=8,a2=24,E的方程为x224+y28=1.故选C.3.(2020课标,5,5分)设O为坐标原点,直线

3、x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为()A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2,0)答案B由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方.由x=2,y2=2px得D(2,2p),E(2,-2p),ODOE,ODOE=4-4p=0,p=1,C的焦点坐标为12,0,故选B.4.(2023届南宁三中摸底,10)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,点P(a,b)满足OBF=BPO(O是坐标原点),则椭圆C的离心率是()A.5+12B.512C.22D.24答案B依题意可得B(0,b),F(c,0),A

4、(a,0),P(a,b),所以OBBP,又OBF=BPO,BOF=OBP=90,所以OBFBPO,所以OBBP=OFOB,即ba=cb,所以b2=ac,又b2=a2-c2,所以a2-c2=ac,所以1-e2=e,解得e=1+52或e=152(舍去).故选B.5.(2023届山西大同调研一,12)已知F1,F2为双曲线E:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,点P在E上,F1PF2的平分线交x轴于点D,若F1PF2=3,|PF1|+|PF2|=8,且PD=3,则双曲线的方程为()A.x22y28=1B.x28y22=1C.x26y24=1D.x24y26=1答案B不妨设点P在双曲线的右

5、支上,设|PF1|=n,|PF2|=m,则n-m=2a,又m+n=8,所以n=a+4,m=4-a.由F1PF2=3,PD平分F1PF2,得F1PD=F2PD=6,又PD=3,SPF1F2=SPF1D+SPF2D,12|PF1|PF2|sin3=12|PF1|PD|sin6+12|PF2|PD|sin6,整理得mn=m+n,即(4-a)(4+a)=8,解得a2=8.在PF1F2中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos3=(m+n)2-3mn=40.c2=10,则b2=c2-a2=2,故所求的双曲线方程为x28y22=1.故选B.6.(2023届山西大学附中9月诊断,4)若直线x=4y

6、+7与双曲线C:ax2-y2=1(a0)的一条渐近线平行,则a的值为()A.116B.14C.4D.16答案A由题意可得双曲线C的渐近线方程为y=ax,直线x=4y+7的斜率为14.直线x=4y+7与双曲线C的一条渐近线平行,a=14,解得a=116.故选A.7.(2023届河南洛阳期中,9)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线与x轴的交点为A,点P在抛物线C上,且PAPF,则|PF|=()A.512 B.5-2 C.5-1 D.3-5答案C因为点P在抛物线C:y2=4x上,所以设Py024,y0.由抛物线C:y2=4x可得焦点F(1,0),准线方程为x=-1,故A(-1,0).因为PA

7、PF,所以PAPF.因为PA=1y024,y0,PF=1y024,y0,所以PAPF=y04161+y02=0,解得y02=45-8(舍负),所以P的横坐标为5-2.由抛物线的定义可得|PF|=52+1=5-1.故选C.8.(2022安徽安庆二模,4)抛物线y2=4x的焦点为F,点A在抛物线上.若|AF|=3,则直线AF的斜率为()A.2 B.22 C.2 D.22答案B设点A(x0,y0),则|AF|=x0+1=3,故x0=2,所以y0=22,故点A的坐标为(2,22)或(2,-22),又F(1,0),所以直线AF的斜率为22.故选B.一题多解:设直线AF的倾斜角为(0),点F,A在抛物线准

8、线l:x=-1上的射影分别为F1,A1,则|AA1|=|FF1|+|AF|cos |=2+3|cos |,又|AA1|=|AF|,所以2+3|cos |=3,得cos =13,所以tan =sincos=1cos2cos=22.故选B.二、多项选择题9.(2022江苏阜宁中学期中,10)已知圆C:x2+y2-4x=0和直线l:kx-y+1-2k=0,则()A.直线l与圆C的位置关系无法判断B.当k=1时,圆C上的点到直线l的最远距离为2+22C.当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时,k=0 D.如果直线l与圆C相交于M,N两点,那么弦MN的中点的轨迹是一个圆答案BCD圆C:x2+y2-

9、4x=0的圆心为C(2,0),半径r=2,直线l:kx-y+1-2k=k(x-2)+(1-y)=0,故直线l过定点P(2,1).对于A,由于点P(2,1)在圆C:x2+y2-4x=0内,故直线l与圆C相交,A错误;对于B,当k=1时,直线l:x-y-1=0,圆心C(2,0)到直线的距离d=12=22,故圆C上的点到直线l的最远距离为2+22,B正确;对于C,当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时,圆心到直线的距离d=11+k2=1,解得k=0,C正确;对于D,由于直线l过定点P(2,1),设弦MN的中点为Q(x,y),则CQPQ,即点Q的轨迹是以CP为直径的圆,故D正确,故选BCD.10

10、.(2022福州一模,9)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点,则()A.C的离心率为22B.PF1F2的周长为5C.F1PF290D.1|PF1|3答案CD对于A,因为a=2,c=43=1,离心率e=ca=12,A错误;对于B,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,又|F1F2|=2c=2,PF1F2的周长为4+2=6,B错误;对于C,当P为椭圆短轴端点时,tan F1PF22=cb=33,tanF1PF2=2tan F1PF221tan 2F1PF22=233113=3,F1PF2=60,即(F1PF2)max=60,F1PF20)和C的离心率

11、相等B.若P为C上一点,且F1PF2=90,则F1PF2的周长为6+214C.若直线y=tx-1与C没有公共点,则t62D.在C的左、右两支上分别存在点M,N,使得4F1M=F1N答案BC对于A,双曲线C:x24y25=1的离心率e=32,双曲线x24+my25+m=1(m0)的离心率e=4+m+5+m4+m=9+2m4+m,它们的离心率不相等,A错误;对于B,有PF1|2+PF2|2=36,|PF1|PF2|=4,整理得|PF1|+|PF2|=214,则F1PF2的周长为6+214,B正确;对于C,由x24y25=1,y=tx1可得(5-4t2)x2+8tx-24=0,由题意知方程(5-4t

12、2)x2+8tx-24=0无解,当5-4t2=0时,方程(5-4t2)x2+8tx-24=0有解;当5-4t20时,则有54t20,(8t)2+96(54t2)0,解之得t62,故C正确;对于D,当直线MN不与x轴平行时,设直线MN的方程为x=ty-3,M(x1,y1),N(x2,y2),由4F1M=F1N,可得y2=4y1,由x24y25=1,x=ty3,可得(5t2-4)y2-30ty+25=0,则y1+y2=30t5t24,y1y2=255t24,即5y1=30t5t24,4y12=255t24,整理得19t2+100=0,显然不成立,当过双曲线C的左焦点F1的直线MN与x轴重合时,方程

13、为y=0,则M(-2,0),N(2,0),F1M=(1,0),F1N=(5,0),即5F1M=F1N,D错误.故选BC.12.(2022辽宁名校联盟3月联考,12)已知抛物线C:x2=2py(p0)的准线l的方程为y=-1,过C的焦点F的直线与C交于A,B两点,以A,B为切点分别作C的两条切线,且两切线交于点M,则下列结论正确的是()A.C的方程为x2=2yB.AMB=90C.M恒在l上D.|MF|2=|AF|BF|答案BCD由题意得-p2=-1,所以p=2,因此C的方程为x2=4y,A项错误;由题意可知直线AB的斜率存在,F(0,1),设AB的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,

14、y2),由y=kx+1,x2=4y得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由y=14x2得y=12x,所以AM的斜率为kAM=12x1,所以AM的方程为y-y1=12x1(x-x1),即y-14x12=12x1(x-x1),同理BM的斜率为kBM=12x2,所以BM的方程为y-14x22=12x2(x-x2),所以kAMkBM=14x1x2=-1,即AMBM,所以AMB=90,B项正确;由得(x2-x1)y=14x1x2(x2-x1),因为x1x2,所以y=-1,将y=-1代入得x=x2+x12=2k,所以点M的坐标为(2k,-1),又C的准线l的方程为y=-1,所以M恒

15、在l上,C项正确;当AB的斜率k不为零时,kMF=112k=1k,所以kABkMF=-1,所以ABMF,当AB的斜率k=0时,点M的坐标为(0,-1),显然ABMF,由AMFMBF得|MF|AF|=|BF|MF|,所以|MF|2=|AF|BF|,D项正确,故选BCD.三、填空题13.(2022全国乙,14,5分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.答案(x-2)2+(y-1)2=5或x2+y2-4x-6y=0或x2+y2-83x143y=0或x2+y2-165x2y165=0解析选取(0,0),(4,0),(4,2)时,不妨设这三点分别为O,A,B,

16、则线段OA的垂直平分线的方程为x=2,线段AB的垂直平分线的方程为y=1,所以经过这三点的圆的圆心坐标为(2,1),记为C,圆的半径r=|CO|=22+12=5,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.选取(0,0),(4,0),(-1,1)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则F=0,16+4D+F=0,1+1D+E+F=0,解得D=4,E=6,F=0.所以所求圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.选取(0,0),(-1,1),(4,2)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则F=0,1+1D+E+F=0,1

17、6+4+4D+2E+F=0,解得D=83,E=143,F=0.所以所求圆的方程为x2+y2-83x143y=0.选取(4,0),(-1,1),(4,2)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则16+4D+F=0,1+1D+E+F=0,16+4+4D+2E+F=0,解得D=165,E=2,F=165.所以所求圆的方程为x2+y2-165x2y165=0.14.(2022贵阳五校联考,15)设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.答案15解析如图所示.在椭圆x225+y

18、216=1中,a=5,b=4,c=3,所以焦点坐标分别为F1(-3,0),F2(3,0).|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).|PM|-|PF2|MF2|,当且仅当P在MF2的延长线上(P与P0重合)时取等号,(|PM|-|PF2|)max=|MF2|=(63)2+(40)2=5,故|PM|+|PF1|的最大值为10+5=15.解后反思:解题关键是转化为一动点到两定点距离之和或距离之差的最值问题,可以结合图形利用三角形三边的关系解决.15.(2021新高考,14,5分)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,P为C上一点,P

19、F与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQOP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.答案x=-32解析点P在抛物线上且PFx轴,不妨设点P位于x轴上方,Pp2,p,OPPQ,由平面几何知识可得|PF|2=|OF|FQ|,又|FQ|=6,p2=p26,p=3或p=0(舍),C的准线方程为x=-32.16.(2019课标,16,5分)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1BF2B=0,则C的离心率为.答案2解析解法一:如图,由F1A=AB知A为线段F1B的中点,O为线段F1F2的中点,OAF2B,F

20、1BF2B=0,F1BF2B,OAF1A且F1OA=OF2B,BOF2=AOF1,BOF2=OF2B,又易知|OB|=|OF2|=c,OBF2为正三角形,可知ba=tan 60=3,e=ca=1+b2a2=2.解法二:如图,设AOy=,则BOy=,F1A=AB,A为线段F1B的中点,又O为线段F1F2的中点,OABF2,OBF2=2.过B作BHOF2,垂足为H,则BHy轴,则有OBH=,HBF2=,易得OBHF2BH,|OB|=|BF2|,F2BF1B=0,BF1BF2,又O为F1F2的中点,|OB|=|OF2|=c,OBF2为正三角形.BOF2=60,则ba=tan 60=3,e=ca=1+

21、b2a2=2.四、解答题17.(2021全国甲,20,12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OPOQ.已知点M(2,0),且M与l相切.(1)求C,M的方程;(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与M相切.判断直线A2A3与M的位置关系,并说明理由.解析(1)由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p0),则P,Q的坐标为(1,2p),OPOQ,OPOQ=1-2p=0,p=12,抛物线C的方程为y2=x.M的圆心为(2,0),M与直线x=1相切,M的半径为1,M的方程为(x-2)2+y2=1.(2)直线A2A3与M相切.理

22、由如下:设A1(y02,y0),A2(y12,y1),A3(y22,y2),直线A1A2,A1A3均与M相切,y01,y11,y21,由A1,A2的坐标可得直线A1A2的方程为y-y0=y0y1y02y12(x-y02),整理,得x-(y0+y1)y+y0y1=0,由于直线A1A2与M相切,M到直线A1A2的距离d=|2+y0y1|1+(y0+y1)2=1,整理得(y02-1)y12+2y0y1+3y02=0,同理可得,(y02-1)y22+2y0y2+3y02=0,观察,得y1,y2是关于x的一元二次方程(y02-1)x2+2y0x+3-y02=0的两根,y1+y2=2y0y021,y1y2

23、=3y02y021.(*)同理,得直线A2A3的方程为x-(y1+y2)y+y1y2=0,则点M(2,0)到直线A2A3的距离d=|2+y1y2|1+(y1+y2)2,把(*)代入,得d=2+3y02y0211+2y0y0212=|2(y021)+3y02|(y021)2+(2y0)2=|y02+1|y04+2y02+1=|y02+1|y02+1|=1.直线A2A3与M相切.18.(2020课标,19,12分)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43

24、|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.解析(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2b2.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3ca=22ca2.解得ca=-2(舍去)或ca=12.所以C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x

25、03c=1.由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入得(5c)24c2+4(5c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.19.(2023届豫北调研,20)已知椭圆M1:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2,面积为487的正方形ABCD的顶点都在M1上.(1)求M1的方程;(2)已知P为椭圆M2:x22a2+y22b2=1上一点,过点P作M1的两条切线l1和l2,若l1,l2的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2

26、为定值.解析(1)由椭圆及正方形的对称性,不妨设正方形的一个顶点为A(x,x),由x2a2+x2b2=1,得x2=a2b2a2+b2.2x2x=487,x2=127,127=a2b2a2+b2.a2-b2=c2=1,由解得a2=4,b2=3.故所求椭圆方程为x24+y23=1.(2)证明:由(1)得a2=4,b2=3,则M2的方程为x28+y26=1,设P(x0,y0),则x028+y026=1,y02=634x02.设过点P与椭圆M1相切的直线l的方程为y=kx+t,将直线方程与x24+y23=1联立,消去y整理得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0,=(8kt)2-4(3+4k2

27、)(4t2-12)=0,可得t2=3+4k2,点P在直线l上,y0=kx0+t,t=y0-kx0.将t=y0-kx0代入得(y0-kx0)2=3+4k2,整理得(x02-4)k2-2kx0y0+y02-3=0.依题意可知k1,k2为方程的两根,k1k2=y023x024=31x024x024=34,即k1k2为定值-34.20.(2022河南安阳联考,21)已知抛物线C:y2=2px(p0),过点R(2,0)作x轴的垂线交抛物线C于G,H两点,且OGOH(O为坐标原点).(1)求p;(2)过点Q(2,1)任意作一条不与x轴垂直的直线交抛物线C于A,B两点,直线AR交抛物线C于不同于点A的另一点

28、M,直线BR交抛物线C于不同于点B的另一点N.求证:直线MN过定点.解析(1)由题意知,|RG|=|OR|=2,不妨设G(2,2),代入抛物线C的方程可得p=1.(2)证明:由(1)知,抛物线C的方程为y2=2x.设Ay122,y1,By222,y2,My322,y3,Ny422,y4,则kAB=y1y2y122y222=2y1+y2.所以直线AB的方程为y=2y1+y2xy122+y1,即2x-(y1+y2)y+y1y2=0.同理直线AM,BN的方程分别为2x-(y1+y3)y+y1y3=0,2x-(y2+y4)y+y2y4=0.由直线AB过Q(2,1)及直线AM,BN过R(2,0)可得4-

29、(y1+y2)+y1y2=0,y1y3=y2y4=-4.又直线MN的方程为2x-(y3+y4)y+y3y4=0,即2x+4y1+4y2y+16y1y2=0,所以直线MN的方程为y1y2x+2(y1+y2)y+8=0.把4-(y1+y2)+y1y2=0代入y1y2x+2(y1+y2)y+8=0,得y1y2x+2(y1y2+4)y+8=0,即y1y2(x+2y)+8y+8=0.由x+2y=0,8y+8=0可得x=2,y=-1.所以直线MN过定点(2,-1).21.(2021北京,20,15分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为45.(1)求

30、椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l的斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB交y=-3于点M,直线AC交y=-3于点N,若|PM|+|PN|15,求k的取值范围.解析(1)将A(0,-2)代入椭圆方程得b=2,由椭圆四个顶点围成的四边形面积为2ab=45,解得a=5,所以椭圆E的标准方程为x25+y24=1.(2)由题意得直线l的方程为y+3=k(x-0),即y=kx-3,将y=kx-3代入椭圆方程并化简得(4+5k2)x2-30kx+25=0,由=(-30k)2-425(4+5k2)0,解得k1,设B(x1,y1),C(x2,y2),不妨设点B位于第一象限,点C位于第四

31、象限,如图所示.则x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2,直线AB的方程为y+2y1+2=x0x10,令y=-3,解得x=-x1y1+2,得Mx1y1+2,3,同理可得Nx2y2+2,3,|PM|+|PN|=x1y1+2+x2y2+2=x1(y2+2)+x2(y1+2)(y1+2)(y2+2)=x1(kx21)+x2(kx11)(kx13)+2(kx23)+2=2kx1x2(x1+x2)(kx11)(kx21)=2kx1x2(x1+x2)k2x1x2k(x1+x2)+1=2k254+5k230k4+5k2k2254+5k2k30k4+5k2+1=50k30k25k230k2+4

32、+5k2=5k15,解得k3,又k1,所以1k3.由椭圆的对称性知,当点B位于第二象限,点C位于第三象限时,-3k0,b0)的离心率为2,实轴长为4.(1)求C的方程;(2)如图,点A为双曲线的下顶点,直线l过点P(0,t)且垂直于y轴(P位于原点与上顶点之间),过P的直线交C于G,H两点,直线AG,AH分别与l交于M,N两点,若O,A,N,M四点共圆,求点P的坐标.解析(1)因为实轴长为4,所以2a=4,a=2,又ca=2,所以c=22,则b2=c2-a2=4,故C的方程为y24x24=1.(2)由O,A,N,M四点共圆可知,ANM+AOM=,又MOP+AOM=,所以ANM=MOP,故tan

33、ANM=tanMOP=1tanOMP,即-kAN=1kOM,所以kANkOM=1.设G(x1,y1),H(x2,y2),M(xM,yM).由题意可知A(0,-2),则直线AG:y=y1+2x1x-2,直线AH:y=y2+2x2x-2.因为M在直线l上,所以yM=t,代入直线AG的方程,可知xM=(t+2)x1y1+2,故点M的坐标为(t+2)x1y1+2,t,所以kOM=t(y1+2)(t+2)x1,又kAN=kAH=y2+2x2,kANkOM=1,则y2+2x2t(y1+2)(t+2)x1=1,整理可得t+2t=(y1+2)(y2+2)x1x2,当直线GH的斜率不存在时,显然不符合题意,故直线GH的斜率存在,设直线GH:y=kx+t,代入双曲线方程y24x24=1,可得(k2-1)x2+2ktx+t2-4=0,所以x1+x2=2ktk21,x1x2=t24k21,又(y1+2)(y2+2)=(kx1+t+2)(kx2+t+2)=k2x1x2+k(t+2)(x1+x2)+(t+2)2=k2t24k21+k(t+2)2ktk21+(t+2)2=(t+2)2k21,所以t+2t=(y1+2)(y2+2)x1x2=(t+2)2k21t24k21=(t+2)2t24=(t+2)t2(t+20),故t=2-t,即t=1,所以点P的坐标为(0,1).