广东省广州市天河区2022届高考数学三模试题（PDF版带解析）.pdf

1、第 1 页 试卷共 5 页2022 届高三综合测试 数学 本试卷共 5 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不

2、按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数11izi+=，则 z 在复平面内对应的点是（）A(0,1)B(0,1)C(1,1)D(1,1)2已知集合ln(2)Mx yx=，xNy ye=，则 MN=（）A(0,)+B(2,)+C(0,2)D2,)+3函数()sin(2)6f xx=+为偶函数的一个充分条件是（）A6=B6=C3=D3=4已知一个圆柱的高是底面半径的 2 倍，且其上下底面的圆周均在球面上，若球的体积为 323，则圆柱的体积

3、为（）A16 B8 C2 2 D4 2 52ln()xf xxx=，则函数()yf x=的大致图象为（）A B 第 2 页 试卷共 5 页C D 6已知点 AB、在单位圆上，4AOB=，若()OCOAxOB xR=+，则 OC 的取值范围是（）A0,)+B 1,)2+C2,)2+D1,)+7.已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左焦点，,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上一点，且 PFx轴.过点 A 的直线l 与线段 PF 交于点M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A 13 B 12 C 23 D

4、34 8已知数列 na满足2(1)3nnnaa+=，11a=，22a=，数列 na的前n 项和为nS，则30S=（）A351 B353 C531 D533 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9如果0,0abcd，那么下面一定成立的是（）Aadbc+Bacbd C22acbc D dcaa 10已知(2)nab+的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则n 的值可以为（）A7 B8 C9 D10 11圆22:2430M xyxy+=关于直线260axby+=对称，设点

5、(,)P a b，下列结论正确的是（）第 3 页 试卷共 5 页A点 P 的轨迹方程为30 xy=B以 PM 为直径的圆过定点(2,1)Q C PM 的最小值为 6 D若直线 PA 与圆 M 切于点 A，则4PA 12已知圆锥的顶点为 P，母线长为 2，底面圆直径为 2 3，,A B C 为底面圆周上的三个不同的动点，M 为母线 PC 上一点，则下列说法正确的是（）A.当,A B 为底面圆直径的两个端点时，120APB=B.PAB 面积的最大值为 3 C.当 PAB 面积最大值时，三棱锥CPAB的体积最大值为623+D.当 AB 为直径且C 为 AB 的中点时，MAMB+的最小值为 15 三、

6、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13当 xa时，10 xx 成立,则实数a 的取值范围是_.14.为了做好疫情防控期间的校园消毒工作，某学校对教室进行消毒，室内每立方米空气中的含药量 y（单位：毫克）随时间 x（单位：小时）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y 与 x 成正比；药物释放完毕后，y 与 x 的函数关系式为1()32x ay=（a 为常数），根据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 14毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过_小时后，学生才能回到教室.15已知随机变量2(1,)N，且(1)P(3)Pa=，则 19(0)xaxa

7、x+的最小值为_.16设函数23()22f xxax=（0a）与2()lng xaxb=+有公共点，且在公共点的切线方程相同，则实数b 的最大值为_.第 4 页 试卷共 5 页四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10 分)“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600 名学生，得到的数据统计如下表所示：周末体育锻炼时间()mint)30,40 )40,50 )50,60 )60,70 )70,80 )80,90 频率 0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1（1）估计这 600 名学生周末体

8、育锻炼时间的平均数t；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）在这 600 人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在40,60)内的学生中抽取15 人，再从这 15 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中周末体育锻炼时间在50,60)内的人数为X，求 X 的分布列以及数学期望()E X 18.(12 分)已知等差数列 na中，363,6aa=，且1,2,nnnaanbn+=为奇数，为偶数.(1)求数列 nb的前2n 项和2nR；(2)若212nnncbb=，记数列 nc的前n 项和为nS，求nS 19.(12 分)在 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，且23SBA

9、BC=，作 ABAD，使得四边形 ABCD 满足3ACD=，3AD=，（1）求B；（2）设BAC=，()BCf=，求函数()f 的值域 第 5 页 试卷共 5 页20.(12 分)如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，222ADAFAB=，,M N 分别是对角线,BD AE 上异于端点的动点，且 BMAN=.（1）求证：直线 MN/平面CDE；（2）当 MN 的长最小时，求二面角 AMND的正弦值 21.(12 分)已知在 ABC中，(2,0)B，(2,0)C，动点 A 满足2 3AB=，90BAC，AC 的垂直平分线交直线 AB 于点 P.（1）求点 P 的轨迹

10、 E 的方程；（2）直线(3)xm m=交 x 轴于 D，与曲线 E 在第一象限的交点为Q，过点 D 的直线l 与曲线 E 交于,M N 两点，与直线3xm=交于点 K，记,QM QN QK 的斜率分别为123,k k k，求证：123kkk+是定值.若直线l 的斜率为 1，问是否存在m 的值，使1236kkk+=？若存在，求出所有满足条件的m 的值，若不存在，请说明理由 22.(12 分)已知函数2()ln22aaf xxxx=+存在两个极值点1212,()x xxx.（1）求实数a 的取值范围；（2）判断12()2xxf的符号，并说明理由 1 2022 届高三综合测试 数学参考答案 一选择

11、题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.8.解：依题意，2(1)3nnnaa+=，显然，当n 为奇数时有23nnaa+=，即有313aa=，533aa=，21213nnaa+=，令21nnba=，故13nnbb+=，所以数列 nb是首项为 1，公差为 3 的等差数列，故32nbn=；当 n 为偶数时有23nnaa+=，即423aa+=，643aa+=，2223nnaa+=，于是，3013292430()()Saaaaaa=+12152462830()()()bbbaaaaa=+143 1527 3330233532+=+=+=，故选 B 二选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，

12、共 20 分.9.BD 10.ABC 11.ABD 12.ACD 12 解答：对于 A，记圆锥底面圆心为O，3sin2AOAPOAP=，所以60APO=，所以120APB=，故 A 正确；对 于B，设APB=（0120），则 截 面 三 角 形 的 面 积题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C D A C A B 21sin2sin2SPA PB=2，故 B 不正确；对于 C，由（B）中推理可知，此时2 2AB=，结合图形可知点C 到 AB 的距离的最大 值 为31+，从 而 可 知 三 棱 锥 CPAB的 体 积 最 大 值 为1162(31)2 21323+=，故 C 选项

13、正确；对于 D，易知 PAC 和 PBC 全等，在 PAC 中，2PAPC=，6AC=，所以4461cos2 2 24APC+=，进而15sin4APC=，记 AC 边上的高为h（垂足为Q），则1515sin242hPAAPC=，所以215MAMBh+=，当 M 与Q 重合时取等号，故 D 选项正确；综上可知，选 ACD 三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.1a 14.0.6 15.4 16.212e 16.解：设公共点为00(,)xy，又()32fxxa=，2()ag xx=；依题意有00()()fxg x=，得200032axaxax=；又000()()yf x

14、g x=，由此可得2200032ln2bxaxax=，即有221ln2baaa=，令221()ln2h xxxx=，求导得()2(1 ln)h xxx=+，显然，当10,xe时()0h x，当1,xe+时()0h x，所以max211()2h xh ee=.3四解答题：本题共 6 小题，共 20 分.17.（10 分）解：（1）估计这 600 名学生周末体育锻炼时间的平均数 35 0.145 0.255 0.365 0.1575 0.1585 0.158.5t=+=.(2)依题意，15 人中周末体育锻炼时间在)40,50 内的学生有 6 人，在)50,60 内的学生有 9人。X 的可能取值为0

15、,1,2,3 则()363154091CP XC=，()216931527191C CP XC=，()12693152162455C CP XC=，()3931512365CP XC=，故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 491 2791 216455 1265 则()42721612901239191455655E X=+=.18.（12 分）(1)设等差数列 na的公差为 d，则63163aad=，所以3(3)naandn，从而1,2,nnnnbn+=为奇数为偶数.()()2422123212242222 nnnnRbbbbbn=+=+()()241 4224+(41)21 43n

16、nnnnn+=+=+(2)22122224nnnnncbbnn=，1232 44 46 424nnSn=+，()234142 44 46 421 424nnnSnn+=+，4相减得，123132 42 42 42 424nnnSn+=+，所以()118 1 428324241 433nnnnSnn+=，即12284399nnSn+=+.19.（12 分）解：（1）由23SBA BC=，可得12sin3cos2 acBacB=，即sin3 cos=BB，可得 tan3B=，因为(0,)B，所以23B=，（2）BAC=，则,26CADCDA=+，在ACD中，由正弦定理得 sinsinACADADC

17、ACD=，可得3 sin()sin62sin()sin6sin 3ADADCACACD+=+，在 ABC中，由正弦定理得 sinsinACBCB=，可得2sin()sinsin46()sin()sin2sin63sin 3ACBCfB+=+2431431(sincos)sin(sinsincos)222233=+=+2111 cos2(2 3sin2sincos)(2 3sin 2)233=+=+12 3(sin 23cos2)1sin(2)1333=+=+，因为03，可得2333，当 233=时，即3=，可得 2 3 sin1233+=，5当 233=时，即0=，可得 2 3 sin()10

18、33+=，所以()f 的值域为(0,2).20.（12 分）解：(1)过 N 作/NNAD与 ED 交于 N点，过 M 作/MMAD与CD 交于 M 点，连接M N.由已知条件222ADAFAB=,可知矩形 ABCD 与矩形 ADEF 全等。BMAN=,AEBD=,/NNADMM NNAEANBDBMMMMMADANBDBCAD=NNMM=又/NNADMM，则四边形 MNN M为平行四边形，所以/MNN M.MN 平面CDE，M N 平面CDE，/MN平面CDE.(2)由平面 ABCD 平面 ADEF，平面 ABCD平面 ADEFAD=，又 AF 平面 ADEF，AFAD，AF 平面 ABCD

19、.以 A 为原点，分别以,AB AD AF 为,x y z 轴建立空间直角坐标系，过 M 点作 MGAD，垂足为 G，连接 NG，易知 NGAD，设 AGa=(02a)可得2,02aMa，20,a aN，2222(1)1222aaaMN+=+=，可知当1a=时，MN 长最小值为22.此时1,1,02M ，10,1,2N ，又()0,0,0A，()0,2,0D，1,1,02AM=，11,0,22MN=，1,1,02DM=设平面 AMN 的法向量为()111,mx y z=，6由00m AMm MN=可得111110211022xyxz+=+=，令12x=，可得()2,1,2m=设平面 MND 的

20、法向量为()222,nx y z=，由00n DMn MN=可得222210211022xyxz=+=，令22x=，可得()2,1,2n=7cos,9m nm nmn=，274 2sin,199m n=则二面角 AMND的正弦值为 4 29.21.（12 分）解：（1）90BAC，AC的垂直平分线交 BA 的延长线于点 P.连接 PC,则 PCPA=，2 3PBPCPBPAABBC=，由双曲线的定义知，点 P 的轨迹 E 是以(2,0)B，(2,0)C为焦点，实轴长为2 3 的双曲线的右支（右顶点除外），222,3,1cabca=则，E的方程是221(3)3xyx=.（2）证明：由已知得(,0

21、)D m，2200(,),13mQ m yy=满足，设直线l 方程为1122,(,),(,)xtymM x yN xy=+，7联立2213xtymxy=+=，得222(3)230tymtym+=，212122223,33mtmyyy ytt+=1010011111yyyyykxmtytty=，同理0221yktty=，000012122212122112221()2()33yyymyyymtkkttyytty yttmtm+=+=+对,xtym=+令3xm=，得23,kmyt m=23 3(,)mK mt m，200323133mymyt mkmtmm+=+，1232kkk+=，1232kkk

22、+=是定值.假设存在m 的值，使1236kkk+=由知，1232kkk+=，则1233336,2kkkkk+=直线QK 的方程为02()yyxm=，令3xm=，得032()Kymym=+；直线l 的斜率为 1，直线l 的方程为,xym=+令3xm=，得3Kymm=；003332(),mymymmmm+=，22013my=代入，得223()13mmm=，整理得，42215270mm+=，8解得292m=，或23m=（3m，舍去）3 22m=，存在m 的值为 3 22，使1236kkk+=.22.（12 分）解：（1）2()ln(0)22aaf xxxxx=+有两个极值点，()1 ln,0fxxa

23、x x有两个变号的零点.1 ln0 xax+=，1 ln xax+=，令1 ln()(0)xh xxx+=，2ln()xh xx=，当(0,1),()0,();xh xh x单调递增 当(1,),()0,();xh xh x+单调递减 所以max()(1)1h xh=.当0,(),xh x+当,()0 xh x+.ya=与()h x 有两个交点，01a .当01a 时，当120 xxxx或时，1 ln,()0 xafxx+；当12xxx时，1 ln,()0 xafxx+.所以()f x 在区间12(0,),(,)xx+单调递减，在区间12(,)x x内单调递增.所以()f x 的极小值点为1x

24、，极大值点为2x.所以a 的取值范围为(1,0)（2）12()2xxf+符号为正.理由如下：由（1）可知，1201xx.9又因为11221 ln01 ln0 xaxxax，2121lnln()xxa xx 2112211lnln2xxxxaxx.现证明上式：上式可变形为221121212()ln,0 xxxxxxxx+令21xtx=，则只需证2(1)ln(1)1tttt+设2(1)()ln(1)1ttttt=+，22(1)()0(1)ttt t=+，所以()t在(1+)，上单调递增，从而()(1)0t=，即2(1)ln(1)1tttt+，1212xxa+.又因为01a ，所以11a 综上可得：1212112xxxxa+.()f x 在区间12(,)x x内单调递增，且(1)0f=，所以12()(1)02xxff+=.故12()2xxf+符号为正.