人教版九年级数学上册（第二十二章 二次函数）22.1 二次函数的图象和性质（学习、上课课件）.pptx

1、22.1 二次函数的图象和性质第二十二章二次函数第1课时二次函数逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2u二次函数的定义u建立二次函数模型表示变量间的关系知1讲感悟新知知识点二次函数的定义11.定义一般地，形如 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a 0)的函数，叫做二次函数.其中，x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项感悟新知知1讲详解二次函数的特殊形式：1.只含二次项，即：y=ax2(b=0，c=0)；2.不含一次项，即：y=ax2+c(b=0，c0)；3.不含常数项，即：y=ax2+bx(b 0，c=0).知1讲感悟新知2.确定二次

2、函数的“三要素”(1)含有自变量的代数式必须是整式；(2)化简后自变量的最高次数是 2；(3)二次项系数不等于0.知1练感悟新知例1知1练感悟新知解题秘方：本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c(a 0)是二次函数，注意二次函数等号左右两边都是整式.知1练感悟新知答案：Ca是否为0未知.不是整式.知1练感悟新知1-1.已知二次函数y=13x+5x2，则其二次项系数 a，一次项系数b，常数项 c 是()A.a=1，b=3，c=5B.a=1，b=3，c=5C.a=5，b=3，c=1D.a=5，b=3，c=1D感悟新知知2讲知识点建立二次函数模型表示变量间的关系2建立二次函数模型的一般步骤1

3、.审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言；2.找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式；知2讲感悟新知特别提醒：建立二次函数模型与建立一元二次方程模型类似，不同的是需将它转化为用含一个未知数(自变量)的代数式表示另一个未知数(函数)的形式.感悟新知知2讲3.列二次函数解析式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示并把它整理成二次函数的一般形式.感悟新知知2练某网店销售某款童装，每件售价 60 元，每星期可卖300 件.为了促销，该网店决定降价销售.市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件的成本价为40元

4、，设该款童装每件的售价为 x 元，每星期的销售量为 y 件.例2知2练感悟新知解题秘方：紧扣销售量和销售利润的基本关系式解答.感悟新知知2练(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；解：y=300+30(60 x)=30 x+2100(40 x 60).自变量x的实际意义：售价大于或等于成本价；式子中(60 x)大于或等于0.感悟新知知2练(2)设每星期的销售利润为 W 元，求 W 与 x 之间的函数解析式；解：W=(x40)(30 x+2100)=30 x2+3300 x84000.感悟新知知2练(3)若每星期的销售利润为 6480 元，则该款童装每件的售价为多少元？解：根据题

5、意，得 30 x2+3300 x84000=6480.解这个方程，得 x1=58，x2=52.答：该款童装每件的售价为 58 元或 52 元.知2练感悟新知方法点拨：在实际问题中建立二次函数模型时，关键要找出两个变量之间的数量关系，用类似建立一元二次方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的解析式.知2练感悟新知2-1.如图，有长为 24m的 篱 笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花圃的边 AB 为 xm，面积为 S m2，则 S 与 x的函数解析式为_(写出x 的取值范围).课堂小结二次函数二次函数定义解析式三要素自变量的取值范围y=ax2y=ax

6、2+cy=ax2+bxy=ax2+bx+c22.1 二次函数的图象和性质第二十二章二次函数第2课时二次函数 y=ax2的图象和性质逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2u二次函数 y=ax2 的图象的画法u二次函数 y=ax2 的图象和性质知1讲感悟新知知识点二次函数 y=ax2 的图象的画法11.抛物线二次函数 y=ax2+bx+c 的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线 y=ax2+bx+c.抛物线的顶点：抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.感悟新知知1讲特别提醒用描点法可以画出任意一个二次函数的图象.用描点法画出的图象只

7、是二次函数图象的一部分，并且是近似的.在画二次函数图象时，画的线必须光滑，顶端不能画成尖的，一般来说，选点越多，图象越精确，但也要具体问题具体分析.感悟新知2.用描点法画函数 y=ax2(a 0)的图象的一般步骤(1)列表：自变量 x 的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图象情况.(2)描点：点取得越多、越密集，画出的图象就越准确.知1讲感悟新知(3)连线：按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，依次用光滑的曲线连接各点.知1讲知1练感悟新知例1解题秘方：用描点法，按列表描点连线的顺序作图.解：列表：x-4-3-2-1 0 1 2 3 4 8 4.5

8、 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8-8-4.5-2-0.5 0-0.5-2-4.5-8 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 知1练感悟新知知1练感悟新知描点、连线，即得三个函数的图象，如图 22.1-3 所示.光滑曲线顺次连接.抛物线是向两方无限延伸的，画图时要画“出头”，左右两侧必须关于对称轴对称.知1练感悟新知1-1.若二次函数 y=ax2的图象经过点 P(4，3)，则该图象必过点()A.(4，3)B.(3，4)C.(4，3)D.(3，4)C知1练感悟新知1-2.如图，函数 y=2x2的图象是()A.B.C.D.C感悟新知知2讲知识点二次函数 y=ax2 的图

9、象和性质2二次函数 y=ax2(a 0)的图象和性质y=ax2a 0 a 0图象开口方向向上向下顶点坐标(0，0)感悟新知知2讲对称轴y 轴(或直线 x=0)增减性在对称轴的左侧，即x0时，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即 x 0 时，y 随 x的增大而增大在对称轴的左侧，即x0时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即 x 0 时，y 随x 的增大而减小最值当 x=0 时，y 最小值=0 当 x=0 时，y 最大值=0知2讲感悟新知要点解读1.判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是 y 随 x 的增大而增大，“下坡路”就是y随x的增大而

10、减小.2.在二次函数y=ax2(a 0)中，a 的正负性决定抛物线的开口方向，|a|决定开口的大小3.二次函数 y=ax2(a0)与y=ax2(a0)的图象关于 x 轴对称.感悟新知知2练例2如图 22.1-4，四个二次函数的图象分别对应 y=ax2；y=bx2；y=cx2；y=dx2，且与、与分别关于 x 轴对称.解题秘方：紧扣“a 的符号”及“|a|的大小”，采用数形结合思想进行解答.感悟新知知2讲(1)比较 a，b，c，d 的大小；解：由抛物线的开口方向，知 a0，b0，c0，d|b|，|c|d|，ab，cbdc.开口越大，二次项系数的绝对值越小.感悟新知知2讲(2)说明 a 与 c，b

11、 与 d 的数量关系.解：与，与分别关于 x 轴对称，与，与的开口大小相同，方向相反.a+c=0，b+d=0.知2练感悟新知2-1.若二次函数y=axa2 的图象开口向下，则 a 的值为()A.2 B.2C.4 D.4B知2练感悟新知A感悟新知知2讲例 3易错题已知函数 y=(m+2)xm+m-4 是关于 x 的二次函数.解题秘方：按对称轴的左、右两侧，分 x 0 和 x 0两种情况讨论函数的增减性.感悟新知知2讲(1)求满足条件的 m 的值.解：由题意得 m2+m-4=2，m+2 0，解得 m=2 或 m=3.当 m=2 或 m=3 时，函数为二次函数.感悟新知知2讲(2)当 m 为何值时，

12、其图象有最低点？求出这个最低点，这时当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大？解：若图象有最低点，则图象的开口向上，m+20，即 m 2.m=2.这个最低点为图象的顶点，最低点的坐标为(0，0).当 x0 时，y 随 x 的增大而增大.感悟新知知2讲(3)当 m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？解：若函数有最大值，则图象的开口向下，m+20，即 m0 时，y 随 x 的增大而减小.知2练感悟新知3-1.易错题 已知二次函数 y=(2 a)xa 14，在其图象对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，则a 的值为()A.4 B.4 C.4 D

13、.0C知2练感悟新知3-2.中考常州 已 知二次函数y=(a 1)x2，当x 0 时，y 随 x 的增大而增大，则实数 a的取值范围是()A.a 0 B.a 1C.a 1 D.a 1B知2练感悟新知3-3.易错题 关于二次函数 y=ax2(a 0)的说法：x0 时，y 随 x 的 增大而增大；a越大，图象开口越小；图象的对称轴是 y 轴；当a0 时，A(x1，y1)，B(x2，y2)是图象上的两点，且满足 x1x2y20其中正确的是_(填序号).课堂小结二次函数 y=ax 2的图象和性质最大(小)值y随x的增减性图象开口方向最高(低)点y=ax2性质22.1 二次函数的图象和性质第二十二章二次

14、函数第3课时二次函数y=a(xh)2+k 的图象和性质学习目标课时讲解1u二次函数 y=ax2+k 的图象u二次函数 y=a(xh)2的图象u二次函数 y=a(xh)2+k的图象和性质u二次函数 y=ax2，y=ax2+k，y=a(xh)2，y=a(xh)2+k之间的关系逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时流程2知识点二次函数 y=ax2+k 的图象知1讲感悟新知11.二次函数 y=ax2+k 的图象与二次函数 y=ax2 的图象的关系它们的开口大小、方向相同，只是上、下位置不同，二次函数 y=ax2+k 的图象可由二次函数 y=ax2的图象上下平移|k|个单位得到.知1讲感悟新知特别解读平

15、移规律：上加下减，纵变横不变.1.“上加下减”表示抛物线的位置上下平移规 律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线y=ax2 上下平移k个单位长度得到的，“上加”表示当 k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，向下平移.2.“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.知1讲感悟新知2.二次函数 y=ax2+k 的图象与性质a，k的符号y=ax2+k(a0)y=ax2+k(a0 k0 k0)或向下(k0)平移|k|个单位长度，即可得二次函数y=ax2+k 的图象.知1练感悟新知例 1画出函数 y=x2 1 与 y=x2 1 的图象，并根据图象回答

16、下列问题.解题秘方：紧扣抛物线 y=ax2+k 与抛物线 y=ax2间的关系及图象的平移规律解答.知1练感悟新知(1)抛物线 yx21 经过怎样的平移才能得到抛物线y=x21？解：列表如下：描点、连线，即得到这两个函数的图象，如图 22.1-8 所示.知1练x-3-2-1 0 1 2 3 y=x2+1 -8-3 0 1 0-3-8 y=x2-1 -10-5-2-1-2-5-10 感悟新知由图象可以看出，抛物线 y=x21 向下平移 2 个单位得到抛物线 y=x21.知1练感悟新知知1练感悟新知(2)对于函数 y x21，其图象与 x 轴的交点坐标是_；对称轴是_；顶点坐标是 _.(1，0)，(

17、1，0)y 轴(0，1)知1练感悟新知1-1.把抛物线 y=ax2+c向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y=2x2，则 a，c 的值分别为()A.2，4 B.2，4C.2，4 D.2，4B知1练感悟新知1-2.二次函数 y=x22的图象大致是()D知1练感悟新知1-3.二次函数y=(a2)x23，当 x2 B.a2C.a2 D.a0)y=a(xh)2+k(a0，k0 时，顶点在第一象限；当 h0 时，顶点在第二象限；当 h0，k0，k1 时，y 随 x 的增大而减小.其中正确结论的序号有_.例3知3练感悟新知答案：解题秘方：紧扣二次函数 y=a(x h)2+k 的图象和性质逐一判断

18、.解：a=11 时，y 随 x 的增大而减小，故正确.知3练感悟新知3-1.对于抛物线 y=(x+2)2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线 x=2；顶点坐标为(2，3)；当 x2 时，y 随 x的增大而减小；函数的最小值为 3.其中正确结论有_(填序号).知3练感悟新知3-2.若二次函数 y=(x m)2 1，当x 3 时，y随 x 的增大而减小，则m 的取值范围是_.m3感悟新知知4讲知识点二次函数 y=ax2，y=ax2+k，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k之间的关系41.位置关系感悟新知知4讲2.图象和性质关系函数y=a(xh)2+ky=a(xh)2y=ax2+ky

19、=ax2相同点形状图象都是抛物线，形状相同，开口方向相同对称性图象都是轴对称图形感悟新知知4讲相同点增减性当 a0 时，开口向上，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当 a0 时，开口向下，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小不同点顶点坐标(h，k)(h，0)(0，k)(0，0)对称轴直线 x=h y 轴知4讲感悟新知特别解读1.抛物线 y=ax2，y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k 中a 的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全一样，故它们之间可通过互相平移得到.2.抛物线的

20、平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的是，左右平移时，只针对常数 h进行变化，而上下平移时，只针对常数 k 进行变化，可简记为左加右减自变量，上加下减常数项.感悟新知知4练例4感悟新知知4练(1)求出 a，h，k 的值.感悟新知知4练感悟新知知4练(3)观察二次函数 y=a(xh)2+k的图象，当 x_ 时，y随 x 的增大而增大；当 x_时，函数有最_值，最_值是_.(4)观察二次函数 y=a(xh)2+k的图象，你能说出对于一切 x 的值，y 的取值范围吗？0a0图象开口方向向上向下感悟新知知2讲对称轴顶点坐标增减性感悟新知知2讲最值知2讲感悟新知活学巧记曲线名叫抛物线，线轴交点是顶点，

21、顶点纵标是最值.如果要画抛物线，描点平移两条路；提取配方定顶点，描点平移皆成图.列表描点后连线，五点大致定全图；若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小都不变.感悟新知知2练已知抛物线 y=2x24x6.例2解题秘方：紧扣二次函数的图象与性质和系数之间的关系，关键是将一般式化为顶点式解决问题.知2练感悟新知(1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；解：y=2x24x6=2(x 1)2 8，开口向上，对称轴为直线 x=1，顶点坐标为(1，8).知2练感悟新知(2)求抛物线与 x 轴、y 轴的交点坐标；解：令 y=0，得 2x24x6=0，解得 x1=1，x2=3.抛物线与

22、 x 轴的交点坐标为(1，0)，(3，0).令 x=0，得 y=6，抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，6).知2练感悟新知(3)当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？解：当 x1 时，y 随 x 的增大而增大.知2练感悟新知2-1.已知二次函数y=x2 4x+m 的 最小值是 2，则 m 的值为_ 2知2练感悟新知2-2.中考 兰州 已知二次函数 y=2x24x+5，当函数值 y 随 x值的增大而增大时，x的取值范围是()A x 1 B x 1C x 2 D x 2B感悟新知知3讲知识点 31.常见的二次函数解析式的适用条件(1)一般式 y=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a 0)

23、：当已知抛物线上三点的坐标时，可设一般式；(2)顶点式 y=a(x h)2+k(a，h，k 为常数，a 0)，当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值时，可设顶点式；用待定系数法求二次函数的解析式感悟新知知3讲(3)交点式 y=a(x x1)(x x2)(a，x1，x2 为常数，a 0)，当已知抛物线与 x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设交点式.感悟新知知3讲2.用待定系数法求二次函数解析式的步骤(1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的解析式；(2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程或方程组；(3)解：解此方程或方程组，求出

24、待定系数的值；(4)还原：将求出的待定系数还原到解析式中，求得解析式.感悟新知知3讲技巧提醒特殊位置抛物线的解析式的设法技巧：1.顶点在原点，可设为 y=ax2；2.对称轴是y 轴(或顶点在 y 轴上)，可设为 y=ax2+k；3.顶点在 x 轴上，可设为 y=a（x h）2；4.抛物线过原点，可设为 y=ax2+bx.知3练感悟新知已知二次函数图象的顶点坐标为(1，3)，且过点 P(2，0)，求这个二次函数的解析式.解题秘方：设出顶点式，再将点 P 的坐标代入求解.例3知3练感悟新知解：设所求二次函数的解析式为 y=a(xh)2+k(a 0).抛物线的顶点坐标为(1，3)，h=1，k=3.这个二次函数的解析式为 y=a(x 1)2 3.又函数图象过点 P(2，0)，(21)2a 3=0，解得 a=3.这个二次函数的解析式为 y=3(x1)2 3，即 y=3x2 6x.知3练感悟新知3-1.一个二次函数的图象经过 A(0，0)，B(1，11)，C(1，9)三点，则这个二次函数的解析式是()A.y=10 x2+xB.y=10 x2+19xC.y=10 x2+x D.y=x2+10 xD课堂小结二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象和性质互化一般式顶点对称轴待定系数法顶点式性质图象