【九省联考】河南部分重点高中2024届高三上学期期末联考数学试卷.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司2024 届普通高等学校招生全国统一考试数学全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合2,1,0,1,2A=，0Bx x=，过点,02p且斜率为 1 的直线 l

2、 交 C 于 M，N 两点，且32MN=，则 C 的准线方程为（）A1x=B2x=C3x=D4x=学科网（北京）股份有限公司7已知数列 na是单调递增数列，()221nnamn=，*nN，则实数 m 的取值范围为（）A()2,+B()1,2 C 3,2+D()2,3 8已知离散型随机变量 X 的分布列如下，则()D X 的最大值为（）X 0 1 2 P a ab+abA 13 B 23 C 89 D1 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9某高中从本校的三个年级中随机

3、调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：84，72，68，76，80，则（）A这五名同学成绩的平均数为 78 B这五名同学成绩的中位数为 74 C这五名同学成绩的上四分位数为 80 D这五名同学成绩的方差为 32 10已知正实数 a，b 满足22ab+=，则21bab+的可能取值为（）A2 B12+C21 D4 11在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,0A，()1,0B，12AM，点 M 的轨迹为，则（）A 为中心对称图形 BM 到直线()20 xaya+=R 距离的最大值为 5 C若线段OM 上的所有点均在 中，则 OM 最大为 3 D使4MBO=成立的 M

4、 点有 4 个 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12182(2)x的展开式中含21x的项的系数为_ 13已知2tan2=，则 tan3=_ 14三个相似的圆锥的体积分别为1V，2V，3V，侧面积分别为1S，2S，3S，且123VVV=+，123aSSS=+，则实数 a 的最大值为_ 学科网（北京）股份有限公司四、解答题：共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）已知函数()ln(1)sinf xaxxx=+（1）若0a=，求曲线()yf x=在点,22f处的切线方程；（2）若1a=，研究函数()f x 在(1,0 x 上的单调性和零点个数

5、16（15 分）2024 年由教育部及各省教育厅组织的九省联考于 1 月 19 日开考，全程模拟高考及考后的志愿填报等某高中分别随机调研了 50 名男同学和 50 名女同学对计算机专业感兴趣的情况，得到如下 22 列联表 对计算机专业感兴趣 对计算机专业不感兴趣 合计 男同学 40 女同学 20 合计 （1）完善以上的 22 列联表，并判断根据小概率值0.01=的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关；（2）将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取 30 名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差 附：()()()()()22n adbcabcdacbd

6、=+，其中nabcd=+0.1 0.05 0.01 x 2.706 3.841 6.635 17（15 分）如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PCD 平面 ABCD，四边形 ABCD 为等腰梯形，且112ABCD=，PCD为等边三角形，平面 PAB 平面 PCD=直线 l （1）证明：l平面 ABCD；（2）若 l 与平面 PAD 的夹角为 6，求四棱锥 PABCD的体积 学科网（北京）股份有限公司18（17 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右顶点分别为 A、B，且4AB=，点31,2在椭圆 C 上（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若 E，F 为椭圆 C 上异于 A，

7、B 的两个不同动点，且直线 AE 与 BF 的斜率满足3BFAEkk=，证明：直线EF 恒过定点 19（17 分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：1231231 2 32 3 13 1 23 2 12 1 31 3 2123aaabbba b ca b ca b ca b ca b ca b cccc=+若111222abxzijyxyzk=，则称ab为空间向量a 与b的叉乘，其中111ax iy jz k=+（111,x y z R），222bx iy jz k=+（222,xyz R），,i j k 为单位正交基底以 O 为坐标原点、分别以,i j k 的方向为 x 轴

8、、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知 A，B 是空间直角坐标系中异于 O 的不同两点（1）若()1,2,1A，()0,1,1B，求OA OB；证明：0OA OBOB OA+=（2）记AOB的面积为AOBS，证明：12AOBSOA OB=（3）证明：()2OA OB的几何意义表示以AOB为底面、OA OB为高的三棱锥体积的 6 倍 学科网（北京）股份有限公司数学参考答案 1B【解析】由题意可得2,1AB=，故 AB的真子集的个数为2213=故选 B 2A【解析】因为 ii1zz=+，则()1 i1 iz=+，所以21 i(1 i)i1 i(1 i)(1 i)z+=+，故2211 i1

9、(1)2z+=+=故选 A 3B【解析】由题意得2225625603661 60 1 1 cos913abaa bb+=+=+=故5691ab+=，故选 B 4C【解析】由题意得 1210b=，则120b=，令10112220t=，即10210t=，解得1033lg 2t=故选 C 5D【解析】设上、下底面圆的半径分别为 r，R，圆台的高为 h，则由题意可得221,42()6,rRrR=+=解得1,2,rR=，则221 (11 22)213Vh=+=，解得9h=故选 D 6D【解析】设()11,M x y，()22,N xy，直线:2pl yx=，联立2,22,pyxypx=得22304pxp

10、x+=，则0，123xxp+=，又 l 经过 C 的焦点,02p，则12332MNxxppp=+=+=，解得8p=，故 C 的准线方程为4x=故选 D 7C【解析】由题意可得2(21)nnamn=，由于数列 na为单调递增数列，即*n N，1221(21)(1)(21)2210nnnnnaamnmnmn+=+=，整理得212nnm+，令212nnnb+=，则11123211 20222nnnnnnnnbb+=，*nN，易得数列 nb单调递减，故132b=是数列 nb的最大项，则 m 的取值范围为 3,2+，故选 C 学科网（北京）股份有限公司8C【解析】()()()01231P XP XP X

11、a=+=+=，故13a=，易得12033b+，12033b，则1133b，故()221E Xababb=+=，()22221112(1)(1)3333D Xbb bbbbb=+=，又因为1 1,3 3b，所以2 8(),9 9D X故选 C 9CD【解析】A 选项，这五名同学成绩的平均数为 6872768084765+=，A 错误；B 选项，将五名同学的成绩按从小到大排列：68，72，76，80，84，则这五名同学成绩的中位数为 76，B 错误；C 选项，5 75%3.75=，故成绩从小到大排列后，第 4 个数即为上四分位数，即 80，C 正确；D 选项，五名同学成绩的方差为222221(68

12、76)(7276)(7676)(8076)(8476)325+=，D正确故选 CD 10BD【解析】由题意可得22222111111(22)2()2bbbbabb bbbbb+=，令1bt+=，则12t，解得()0,1x；令()0fx+，sin0 x，cos0 xx，则()0fx，故()f x 在(1,0 x 上单调递增 又因为()00f=，所以()f x 在(1,0 x 上的零点个数为 1 16解：（1）完善 22 列联表如下：学科网（北京）股份有限公司 对计算机专业感兴趣 对计算机专业不感兴趣 合计 男同学 40 10 50 女同学 30 20 50 合计 70 30 100 则22100

13、(40 20 10 30)1004.7626.63550 50 30 7021=，则()0,0,0D，1,02A a，3,02B a，()0,2,0C，()0,1,3P，设(),nx y z=为平面 PAD 的法向量，则0,0,n DAn DP=即10,230,axyyz+=+=令1y=得13,1,23na=为平面 PAD 的一个法向量 学科网（北京）股份有限公司又lAB，则可得直线 l 的一个平行向量()0,1,0m=，设 为 l 与平面 PAD 的夹角，由11sincos,12n mn=，解得68a=1163 23(12)32816P ABCDV=+=18解：（1）由题意可得42ABa=，

14、则2a=，又点31,2在 C 上，所以213144b+=，解得1b=，故椭圆 C 的标准方程为2214xy+=（2）证明：由（1）可得，()2,0A，()2,0B，易知直线 AE 与直线 BF 的斜率一定存在且不为 0，设直线 AE 的方程为()2(0yt xt=+，直线 BF 的方程为()32yt x=由()222,1,4yt xxy=+=得()222241161640txt xt+=，所以2216441AEtx xt=+，故228241Etxt+=+，则2441Etyt=+，故222824,4141ttEtt+由()2232,1,4yt xxy=+=得()222236114414440tx

15、t xt+=，所以221444361BFtx xt=+，故22722361Ftxt=+，则212361Ftyt=+，故22272212,361 361ttFtt+若直线 EF 过定点，则根据椭圆的对称性可知直线 EF 所过定点必在 x 轴上，设定点为()0,0P x 则22220022412413612872241361PEPFttttkkttxxtt+=+，即()()2222004122841722361tttxttxt=+，学科网（北京）股份有限公司所以()()222200624341722361txttxt+=+，化简可得()()204 1210 xt=，故04x=，即直线 EF 过定点

16、()4,0 19解：（1）因为()1,2,1A，()0,1,1B，则()()()1212010133,1,1011ijkOA OBikjiijk=+=证明：设()111,A x y z，()222,B xyz，则1 2121221212 11 22 112211221(,)OA OBy z iz x jx y kx y kx jy z iyyzz z xz x xx yzy=+=，将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换，可得2 11 221122112,()OB OAy zy zz xz x x yx y=，故()0,0,00OA OBOB OA+=（2）证明：因为222

17、2222()()sin1 cos1OAOBOA OBOA OBAOBAOBOA OBOAOB=，故22211sin()22AOBSOA OBAOBOAOBOA OB=，故要证12AOBSOA OB=，只需证222()OA OBOAOBOA OB=，即证2222()OA OBOAOBOA OB=由（1）111(,)OAx y z=，()222,OBxyz=，()1 22 112211221,OA OBy zy z z xz x x yx y=，故()22221 22 112211221()()OA OBy zy zz xz xx yx y=+，又2221121OAxyz=+，2222222OBxyz=+，()()2212121 2OA OBx xy yz z=+，则2222()OA OBOAOBOA OB=成立，故12AOBSOA OB=（3）证明：由（2）12AOBSOA OB=，学科网（北京）股份有限公司得221()222AOBOA OBOA OBOA OBOA OBSOA OB=，故261()3AOBOA OBSOA OB=，故2()OA OB的几何意义表示以AOB为底面、OA OB为高的三棱锥体积的 6 倍