【九省联考模式】2024届吉林长春五校高三上学期联合模拟考试数学试题.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司V02024 届高三联合模拟考试数学试题东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的考生号姓名考场号填写在答题卡上，2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()22log2,2xAx yxBy y=，则 AB=（）A.()0,2 B.0,2 C.()0,+D.(

2、,2 2.已知复数iz1 i=，则 z 的虚部为（）A.12 B.1 i2 C.12 D.1 i2 3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 6 次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x，则这 6 个点数的中位数为 4 的概率为（）A.16 B.13 C.12 D.23 4.刍薨是九章算术中出现的一种几何体，如图所示，其底面 ABCD 为矩形，顶棱 PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()1 26VABPQ BC h=+（其中 h 是刍薨的高，即顶棱 PQ 到底面 ABCD 的距离），已知28,ABBCPAD=和 QBC均为等边

3、三角形，若二面角 PADB和QBCA的大小均为120，则该刍薨的体积为（）学科网（北京）股份有限公司 A.30 3 B.20 3 C.9932 D.484 3+5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁 4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排 2 人，问天实验舱与梦天实验舱各安排 1 人.若甲乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）种 A.8 B.10 C.16 D.20 6.已知3cossin64+=，则5sin6的值是（）A.34 B.14 C.14 D.34 7.已知点 F 为地物线2:4C yx=的焦点，过 F 的直

4、线l 与C 交于,A B 两点，则2AFBF+的最小值为（）A.2 2 B.4 C.32 2+D.6 8.已的1113sin,cos,ln3332abc=，则（）A.cab B.cba C.bca D.bac，不等式()()2lnexg axg xx+恒成立，则实数a 的最大值为-1 D.若()()12(0)f xg xt t=，则()21ln21txx+的最大值为 1e三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.622xx展开式的常数项为_.13.已知向量a，b为单位向量，且12a b=，向量c 与3ab+共线，则|bc+的最小值为_.14.已知双曲线2222:1(0,0

5、)xyCabab=的左，右焦点分别为12,F F P 为C 右支上一点，21122,3PF FPF F=的内切圆圆心为 M，直线 PM 交 x 轴于点,3N PMMN=，则双曲线的离心率为_.四解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.学科网（北京）股份有限公司15.（本小题 13 分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰滑雪冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为 13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为 34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为 25.（

6、1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量 X，求 X 的分布列及期望，16.（本小题 15 分）在 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，已知1,coscos2 cos0aCcAbB=+=.（1）求 B；（2）若2ACCD=，且3BD=，求c.17.（本小题 15 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面是边长为 2 的正方形，且6PBBC=，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且 DQ 平面 PBC.（1）证明：OQ 平面 PAD；（2）求二面角 PAD

7、Q的大小.18.（本小题 17 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两焦点()()121,0,1,0FF，且椭圆C 过33,2P.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左右顶点分别为,A B，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM 的斜率为1k，直线 BN 的斜率为2k，且1220kk=，设 AMN，BMN的面积分别为12,S S，求学科网（北京）股份有限公司12SS的取值范围 18.（本小题 17 分）已知()2e2 exxf xax=（其中e2.71828=为自然对数的底数）.（1）当0a=时，求曲线()yf x=在点()()

8、1,1f处的切线方程，（2）当12a=时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由；（3）()1R,0 xf xa+，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一单选题 1-8ACADB BCD 二多选题 9.ABD 10.BC 11.AC 三填空题 12.60 13.2114 14.75四解答题 15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件 A，则()3234510P A=.（2）随机变量 X 的可能取值为 1，2.学科网（北京）股份有限公司()()323113221171,2.534320534320P XP X=+=+=所以 X 的分布列为：X 1 2 P132072

9、0()137272.202020E X=+=16.解：（1）1,coscos2 coscoscos2 cos0aCcAbBaCcAbB=+=+=.()sin cossin cos2sin cossin2sin cos0.ACCABBACBB+=+=又()1,sinsin0,cos23ABCACBBB+=+=.（2）2ACCD=，设CDx=，则2ACx=，在 ABC中22221 41cos,1 422cxBcxcc+=+=.在 ABC与 BCD中，22222142cos,cos,63042xcxBCABCDxcxx+=.2321321330,.022ccccc+=.17.解：（1）取 PA 中点

10、G，连接,GQ GD点Q 为 PB 中点，GQ1,2AB GQAB=.底面是边长为 2 的正方形，O 为CD 中点，DO1,2AB DOAB=.GQ,OD GQOD=四边形GQOD 是平行四边形.OQ DG.OQ 平面,PAD GD 平面,PADOQ平面 PAD.（2）DQ 平面,PBC BC 平面 PBCDQBC.又底面是边长为 2 的正方形，,DCBCDQDCDBC=平面 DCQ.学科网（北京）股份有限公司OQ 平面,DCQBCOQ.又CQ 平面,DCQBCCQ.2 6,6,2,2PBQBBCQC=.底面是边长为 2 的正方形，2 2,2DBDQDQCQ=，O为CD 中点，OQDC.又,B

11、COQ DCBCCOQ=平面 ABCD.取 AB 中点 E，以,OE OC OQ 所在直线分别为,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2OQABDP 所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1APADAQ=，设平面 PAD 法向量为(),mx y z=，则()4200,1,020m APxzmm ADx=+=设平面QAD 法向量为(),nx y z=，则()200,1,120n AQxyznn ADx=+=2cos,2m nm nm n=又二面角 PADQ范围为()0,，所以二

12、面角 PADQ的大小为 4.学科网（北京）股份有限公司18.解：（1）由题意可得：2222213314cabcab=+=，解得2,31abc=，所以椭圆的方程为：22143xy+=；（2）依题意，()()2,0,2,0AB，设()()1122,M x yN xy，直线 BM 斜率为BMk.若直线 MN 的斜率为 0，则点,M N 关于 y 轴对称，必有120kk+=，不合题意.所以直线 MN 的斜率必不为0，设其方程为()2xtym m=+，与椭圆C 的方程联立223412,xyxtym+=+得()2223463120tytmym+=，所以()2248 340tm=+，且12221226,34

13、312.34tmyytmy yt+=+=+因为()11,M x y是椭圆上一点，满足 2211143xy+=，所以21211112211113 14322444BMxyyykkxxxx=+，则12324BMkkk=，即238BMkk=.因为()()1221222BMy ykkxx=()()()()121222121212222(2)y yy ytymtymt y yt myym=+()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434mmmtmmtmt m mmtt+=+所以23m=，此时2243248 3448 3099tt=+=+，故直线 MN

14、 恒过 x 轴上一定点2,03D.学科网（北京）股份有限公司因此()12222122264,343431232.343 34tmtyyttmy ytt+=+=+，所以12SS=12121212222323yyyy .()()()2221212122228 3324334228 339943334334ttyyyyy ytt+=+=+()2228 3143349 34tt=+令2122118 340,34439xSSxxt=+当211344t=+即0t=时，12SS取得最大值 8 69.2128 348 60,399SSxx=+19.解：（1）当0a=时，()()()2,21xxf xxefxx

15、e=+.()14.fe=曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线方程为()41242.ye xeexe=+（2）当12a=时，()2122xxf xexe=，定义域为(),+()()()22122,xxxxfxexeeex=+=令()e22xF xx=，则()2xFxe=，当()(),ln2,0 xFx；所以()F x 在(),ln2递减，在()ln2,+上递增，()min()ln222ln222ln20F xF=学科网（北京）股份有限公司存在()11,ln2x 使得()10F x=，存在()2ln2,2x 使得()20F x=，()1,xx 时，()()()0,0,F xfxf x单调

16、递增；()12,xx x时，()()()0,0,F xfxf x单调递增；所以12a=时，()f x 有一个极大值，一个极小值.（3）()()()222121xxxxfxaexeeaex=+=，由()()21111,0,00axf xfaaaaa+=+=R，得0a，令()e1xg xax=，则()g x 在 R 上递减，0 x ，则()()1110g aaa=又()110gae=即()0fx；当()00,xx+时，()0g x 即()0fx，()f x在()0,x递增，在()0,x+递减，()002max00()2xxf xf xaex e=，由()000001e10,exxxg xaxa+=，由max1()0f xa+得()000000e1 e201xxxxx ex+即()()00011101xxx+，由010 x+得2001 1,21xx ，001,exxa+=设()1(21)exxh xx+=，可知()h x 在)2,1上递增，()()()()()2212212,10h xheh xhe=学科网（北京）股份有限公司实数a 的取值范围是()212,0e.