[32452829]5、微专题：三角函数线的妙用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册.docx

1、【学生版】微专题：三角函数线的妙用一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足的点组成的集合称为单位圆；三角函数线可以看作是三角比的几何表示：正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)；如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线； 如果，能在理解与掌握三角函数线的作法基础上，充分发挥三角函数线是三角比的几何意义与直观表示，这不仅能数形结合地理解任意角的三角比，同时，在直观、简单地比较任意角的三角比大小，已知三角比求角，证明含多种三角比的等式与不等式，推导诱导公式，作三角函数图像与研究三角函数性质等方面都有重要的妙用。【典例】妙用1、利用三角函数线求三

2、角比的值例1、作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切值。【提示】【解析】【说明】妙用2、利用三角函数线解不等式例2、不等式组的解集为_【提示】【答案】【解析】 【说明】妙用3、利用三角函数线证明三角不等式例3、利用三角函数线证明。妙用4、利用三角函数线确定三角函数值的范围例4、（1）若，确定的范围；（2）若或，确定的范围；妙用5、三角函数与其他知识的交汇例5、若、是关于x的二次方程x22(cos1)xcos20的两根，且()28；求：的范围。【归纳】新教材借助单位圆，得交点坐标为P（cos ，sin ），结合坐标的几何意义，很容易得到余弦、正弦三角比的几何意

3、义，也就是三角函数线；三角函数线的应用相对老教材而言，重点体现在三角函数概念的理解，诱导公式的推导，以及正余弦函数的图像的得到以及三角函数的性质等；体现这个知识点的基础性和解决问题的本质的根源所在；1、正弦线与余弦线（1）一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2y21的点组成的集合称为单位圆；（2）过角终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，当的方向与x轴的正方向相同时，表示cos是正数，且cos ，当的方向与x轴的正方向相反时，表示cos是负数，且cos ，称为角的余弦线；类似地，可以直观的表示sin ，称为角的正弦线，【说明】利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看成角地正弦和余弦地信息，

4、例如上图中，角的余弦线是，正弦线是，由此可看成，而且还可以看出：，；2、正切线设角的终边与直线x1交于点T，则可以直观地表示tan ，因此称为角的正切线当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x1没有交点，但终边的反向延长线与x1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值；【说明】利用如图所示，角的正切线为，而且从图中可以看出：，这就是说，角的正切等于角的终边或其反向延长线与直线的交点的纵坐标；【即时练习】1、对三角函数线，下列说法正确的是()A对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D

5、任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在2、已知点P(sincos，tan)在第一象限，则在0，2)内的角的取值范围是()A. B. C. D. 3、设MP，OM和AT分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则MP，OM和AT的大小关系是 4、已知： ，则的取值范围是 5、设0cos ，则角的取值范围是 6、已知，且，则的取值范围是 7、在内，使成立的的取值范围是_8、已知是的一个内角，且，则的取值范围是 9、已知集合求：。10、已知为锐角，求证：(1)1sincos；(2)sin3cos3，tan在第二象限取负值，由90120的过程中，正切线越来越短，到OB时，tanMN，tancos

6、，用正弦线、余弦线得出图中的阴影部分满足故的取值范围是：，故选B.3、设MP，OM和AT分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则MP，OM和AT的大小关系是 【答案】【解析】分别作角的正弦线、余弦线和正切线，如图，4、已知： ，则的取值范围是 【提示】注意：结合单位圆与三角函数线直观解之；【答案】；【解析】由，得由三角函数线画出满足条件的终边的范围（如图阴影所示）所以，故答案为【说明】本题的解题思路与方法，就是今后解三解不等式与求三角函数的定义域的基本题型；5、设0cos ，则角的取值范围是 【答案】 ；【解析】因为sin cos ，且00时，可得tan ，在单位圆中画出满足tan 的三角函数线，

7、可知此时，图中的浅色阴影区域为角的范围；当cos 0，可得tan ，此时借助单位圆中的三角函数线，可知此时cos ，此时.综上可得，；【说明】本题的cos 可为正、也可为负、还可为零，因此，不等式的两边同除以cos ，要分情况讨论本题利用了三角函数线求角的取值范围，利用三角函数线求角的取值范围的方法是：先画出单位圆，再根据三角函数线的定义找出“临界”函数线，接着确定满足不等式的角的终边所在的范围.6、已知，且，则的取值范围是 【答案】；【解析】画出单位圆以及，且，从图中可知的取值范围是7、在内，使成立的的取值范围是_【答案】【解析】根据三角函数线，角度终边落在直线右下方时，满足，又当在时，成立

8、的的取值范围是，如下图所示，当角度终边落在阴影部分时（不含边界），满足，又当在时，成立的的取值范围是综上所述，所求范围为；故答案为：.8、已知是的一个内角，且，则的取值范围是 【答案】【解析】由，则，又，由，得作出的正切线，如图所示 由图可得，当时，此时，故的取值范围是9、已知集合求：。【提示】分别化简集合A，B，然后再求交集.【答案】；【解析】因为，所以，所以 ，又因为，所以，所以，所以，故答案为：.【说明】本题主要考查了三角不等式的解法及集合的运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力；10、已知为锐角，求证：(1)1sincos；(2)sin3cos3OP.sincos1.SPOAOAPQysin，SPOBOBPRxcos，S扇形OAB12，又四边形OAPB被扇形OAB所覆盖，SOAPSOPBS扇形OAB.sincos，即sincos，从而1sincos.(2)0x1,0y1，0cos1,0sin1.cos3cos2，sin3sin2，从而有cos3sin3cos2sin21，即cos3sin31.