[33034560]6.1平面向量的概念-2021-2022学年高一新教材配套学案（人教A版必修2 ）.docx

1、6.1 平面向量的概念学习目标核心素养1 理解向量的有关概念及向量的几何表示直观想象2.理解共线向量、相等向量的概念数学抽象3.正确区分向量平行与直线平行逻辑推理导学 课前自主学习 知识梳理知识点1向量的概念及表示概念既有大小又有方向的量叫做向量表示具有方向的线段，叫做有向线段，以A为始点，B为终点的有向线段记作 ，的长度记作|.用有向线段表示向量，读作向量 代数表示印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头【名师点睛】有向线段与向量的区别和联系区别从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素因此，这是两个不同的量在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以

2、自由平移的联系有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段知识点2与向量有关的概念名称定义记法向量的长度（或称模)若a，则的模为向量的长度|a|零向量长度为0的向量0单位向量长度等于1个单位长度的向量相等向量长度相等且方向相同的向量ab平行向量共线(或共线向量)方向相同或相反的非零向量ab规定：零向量与任意向量都平行0a【名师点睛】对向量概念的深入理解(1)共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同(2)位置向量:任给一定点O和向量a，过点O作有向线段a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量叫

3、做点A相对于点O的位置向量。自主测评1.判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)零向量没有方向( )(2)向量的长度和向量的模相等( )(3)单位向量都平行( )(4)零向量与任意向量都平行( )【解析】 (1)错误零向量的方向是任意的(2)正确(3)错误单位向量的方向不一定相同或相反，所以不一定平行(4)正确【答案】 (1) (2) (3) (4)2有下列物理量：质量；温度；角度；弹力；风速其中可以看成是向量的有( )A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B【解析】不是向量，是向量3.如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是_(填序号) (1) 与；(2) 与；(3) 与；

4、(4) 与.【答案】(1)(4)【解析】由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：=，=.探究 课堂互动研讨 考点1向量的有关概念【规律方法】1.理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向2共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同【例1】判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意

5、向量|a|b|，若a与b的方向相同，则ab；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反【思路点拨】 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素【解析】(1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系(3)正确因为|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得ab.(4)不正确依据规定：0与任意向量平行(5)不正确因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定【变式训练1】给出下列命题：若ab，bc，则ac.若单位向量的起

6、点相同，则终点相同起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上其中正确命题的序号是_【答案】【解析】错误若b0，则不成立；错误起点相同的单位向量，终点未必相同；正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可并不要求两个向量，必须在同一直线上考点2向量的表示及应用【规律方法】1.向量的两种表示方法：(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有

7、向线段的起点与终点表示向量，如，等2两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算【例2】(1)如图所示，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出_个向量(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：，使|4，点A在点O北偏东45；，使|4，点B在点A正东；，使|6，点C在点B北偏东30. 【解析】 (1)可以写出12个向量，分别是：，【答案】12(2)由于点A在点O北偏东45处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等

8、又|4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示由于点B在点A正东方向处，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示由于点C在点B北偏东30处，且|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示【变式训练2】某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点(1)作出向量，；(2)求的模【解析】(1)作出向量，如图所示：

9、(2)由题意得，BCD是直角三角形，其中BDC90，BC10米，CD10米，所以BD10米ABD是直角三角形，其中ABD90，AB5米，BD10米，所以AD5 (米)，所以|5米.考点3相等向量和共线向量【规律方法】相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量【例3】如图所示，四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和

10、终点，则与平行且长度为2的向量有哪些？(在图中标出相关字母，写出这些向量) 【思路点拨】所求向量有以下两个特征：(1)表示此向量的有向线段所在直线与AC平行或重合(2)长度是边长为2的正方形的对角线【解析】如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，共8个【互动探究】本例中，与向量同向且长度为2的向量有几个？【解析】与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个反馈 课末达标练习 1下列结论正确的个数是()(1)温度含零上和零下温度，所以温度是向量；(2)向量的模是一个正实数；(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；(4)若|a|b|，则ab.A0B1C2D3【答案】

11、B【解析】(1)错误温度是数量不是向量；(2)错误零向量的模为0.(3)正确因为零向量与任意向量共线；(4)错误向量不能比较大小2设O是正方形ABCD的中心，则向量，是()A相等的向量 B平行的向量C有相同起点的向量D模相等的向量【答案】D【解析】由正方形的性质知|.3在下列判断中，正确的是()长度为0的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；单位向量的长度都相等；单位向量都是同方向； 任意向量与零向量都共线. A BCD【答案】D【解析】由定义知正确，由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确显然正确，不正确，故选D.4在下列命题中：平行向量一定相等；不相等的向量一

12、定不平行；共线向量一定相等；相等向量一定共线；长度相等的向量是相等向量；平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量正确的命题是_【答案】【解析】由向量的相关概念可知正确5如图所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，DAB60，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中， (1)写出与平行的向量；(2)写出与模相等的向量【解析】由题图可知，(1)与平行的向量有：，；(2)与模相等的向量有：，.课时评价作业(一)【基础巩固】1. 若为任一非零向量，为模为1的向量，下列各式：|0|1，其中正确的是（）A、B、C、D、【解析】|的大小不能确定，错误；两非零向量的平行取决于方向，错误

13、；向量的模是一个非负实数，错误；所以只有正确.【答案】B2.在同一平面上，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A.一条线段B.一条直线C.圆上一群孤立的点D.一个半径为1的圆【解析】由于向量的起点确定，而向量平行于同一直线，所以随着向量模长的变化，向量的终点构成的是一条直线.【答案】B3.若，且，则四边形ABCD的形状为（）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【解析】由可得四边形ABCD为平行四边形，再由，邻边相等地，所以四边形ABCD为菱形.【答案】B4.已知A，B，C，其中为非零向量，则下列命题中错误的是（）A.CAB.ABC. CBD.

14、AB【解析】AB表示与共线且长度相等的向量，这个向量可能与反向，而不一定就是，故B错误.【答案】B5设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是_(填序号)a0b0；a0b0；|a0|b0|2；a0b0.【解析】因为a0，b0是单位向量，|a0|1，|b0|1，所以|a0|b0|2.【答案】6已知在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，则|_【解析】易知ACBD，且ABD30，设AC与BD交于点O，则AOAB1.在RtABO中，易得|，则|2|2.【答案】27如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形在图中所示的向量中，(1)分别写出与,相等的向量；(

15、2)写出与共线的向量；(3)写出与模相等的向量【解析】(1) =,=;(2) 与共线的向量有,;(3) 与模相等的向量有,. 8如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方络纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且.(1)画出所有的向量；(2)求的最大值与最小值【解析】(1)画出所有的向量，如图所示(2)由(1)所画的图知，当点C位于点C1或C2时，取得最小值=；当点C位于点C5或C6时，取得最大值，的最大值为，最小值为.【能力提升】1. 如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EFAB，则下列等式成立的是()ABCD

16、【解析】根据相等向量的定义，分析可得：A中，与方向不同，故错误；B中，与方向不同，故错误；C中，与方向相反，故错误；D中，与方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故正确【答案】D2. 如图，在菱形ABCD中，DAB120，则以下说法错误的是()A与相等的向量只有一个(不含)B与的模相等的向量有9个(不含)C的模为模的倍D与不共线【解析】A项，由相等向量的定义知，与相等的向量只有，故A正确；B项，因为ABBCCDDAAC，所以与的模相等的向量除外有9个，正确；C项，在RtADO中，DAO60，则DODA，所以BDDA，故C项正确；D项，因为四边形ABCD是菱形，所以与共线，故D项错误，选D.

17、【答案】D3有下列说法：若ab，则a一定不与b共线；若则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；在ABCD中，一定有若ab，bc，则ac；共线向量是在一条直线上的向量其中，正确的说法是_【解析】，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故不正确；，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故不正确；，在平行四边形ABCD中，|=|,与平行且方向相同，所以=，故正确；，ab，则|a|b|，且a与b方向相同；bc，则|b|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故ac，故正确；，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故不正确【

18、答案】4给出下列四个条件：ab；|a|b|；a与b方向相反；|a|0或|b|0.其中能使ab成立的条件是_(填序号)【解析】若ab，则a与b大小相等且方向相同，所以ab；若|a| b |，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有ab；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有ab；零向量与任意向量平行，所以若|a|0或| b |0，则ab.【答案】5如图，ABC和ABC是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则 (1)与向量相等的向量有_；(2)与向量共线，且模相等的向量有_；(3)与向量共线，且模相等的向量有_. 【

19、解析】向量相等向量方向相同且模相等向量共线表示有向线段所在的直线平行或重合【答案】 (1)，(2) ，(3) ，.6.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地(1)在如图所示的坐标系中画出，.(2)求B地相对于A地的位移【解析】(1)向量，如图所示(2)由题意知.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形所以，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60的方向距A地6千米”7已知飞机从A地按北偏东30方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地画图表示向量，并指出向量的模和方向. 【解析】以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量，如图所示，由已知可得，ABC为正三角形，所以AC2 000 km.又ACD45，CD1 000 km，所以ADC为等腰直角三角形，所以AD1 000 km，CAD45.故向量的模为1 000 km，方向为东南方向