[33034563]6.2.3向量的数乘运算-2021-2022学年高一新教材配套学案（人教A版必修2 ）.docx

1、6.2.3向量的数乘运算学习目标核心素养1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义 直观想象2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算 数学运算3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题 逻辑推理导学 课前自主学习 知识梳理知识点1向量的数乘定义实数与向量a的积是一个向量记法a长度|a|a|方向0方向与a的方向相同0方向与a的方向相反【名师点睛】1.向量数乘的定义中要注意的问题 (1) 向量数乘仍是一个向量.中的实数叫做向量的系数；(2)不要忽略特殊情况：当0时，.当0时，若，也有；(3) 实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算.2.数

2、乘的几何意义向量的数乘的几何意义就是把向量沿着的方向或的反方向扩大或缩小.当0时，沿着的方向扩大（1）或缩小倍；当0时，沿着的反方向扩大（1）或缩小倍.知识点2向量的数乘运算的运算律设，为任意实数(a)()a；()aaa；(ab)ab.【名师点睛】对向量数乘运算律的理解 1.向量数乘运算律与实数乘法运算律很相似，只是向量数乘分配律由于因子的不同，可分为（）和（）. 2. 向量数乘运算律的理论依据是两个向量相等的定义.所以证明此运算律的关键，是证明等式两边向量的模相等且方向相同.并对各种可能的情况，做全面的讨论.知识点3 向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a、b

3、，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b)1a2b 【名师点睛】对向量线性运算的理解 向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用.知识点4共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数，使ba.【名师点睛】对共线向量定理的理解1.由中，若0，则，零向量与任一向量都平行.若0，则与同向；若0，则与反向. 2.由中，由的唯一性，得.3. 该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则

4、可以判定两向量平行；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一非零向量线性表示，可以用来求参数，它是轴上向量坐标化的依据.【思考交流】 (1)何时有a0?(2)从几何角度考虑，向量2a和a与向量a分别有什么关系？【提示】(1)若0或a0则a0.(2)2a与a方向相同，2a的长度是a的长度的2倍，a与a方向相反，a的长度是a的长度的.自主测评1.判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于任意的向量a，总有0a0.()(2)当0时，|a|a.()(3)若a0，0，则a与a的方向相反()【解析】(1)错误.0a0；(2)错误|a|a|(0)(3)错误当0时，0，a与a的方向相同【答案】(1)(2)

5、(3)2点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是()A.3B. 2C. D. 2【解析】由题意可知：3；22.故只有D正确【答案】D3如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.【解析】由向量加法的平行四边形法则知,又O是AC的中点，AC2AO，2，2，2. 【答案】2探究 课堂互动研讨 考点1向量的线性运算【方法总结】向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量

6、当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.【例1】化简下列各式：3(6a+b)-9(a+b)；(3a+2b)-(a+b)-2(a+b);2(5a4bc)3(a3bc)7a.【思路点拨】根据向量的运算律求解即可。【解析】原式18a3b9a3b9a.原式(2a+b)-a-b=a+b-a-b=0.原式10a8b2c3a9b3c7abc.【变式训练1】已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x2ya，4x3yb，求向量x，y.【解析】3x2ya, 4x3yb, 由32得，x3a2b，代入得3(3a2b)2ya，所以x3a2b

7、，y4a3b.考点2 用已知向量表示未知向量【规律方法】用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程【例2】(1)如图所示，ABCD中，E是BC的中点，若a，b，则()AabBabCabDab(2)如图所示，D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知a，b，试用a，b分别表示，. 【思路点拨】先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示【解析】 (1) (-)ab.(2)由三角形中位线定理

8、，知DEBC，故，即a.abaab.abaab.【互动探究】本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，如何用a，b表示？【解析】因为DGAB，所以DFGBFA，又因为DFODBDBD，所以，所以ab.考点3向量共线问题【规律方法】1.证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得(或等)即可(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使xy且xy1.2利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数，使得ab(b0)而已知向量共线求，常根据向量共

9、线的条件转化为相应向量系数相等求解若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得的值【例3】(1)已知非零向量e1，e2不共线，如果e12e2，5e16e2，7e12e2，则共线的三个点是_(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，求xy的值【思路点拨】(1)将三点共线问题转化为向量共线问题，例如可推出A，B，D三点共线(2)先用共线向量定理引入参数得，再用向量减法的几何意义向xy变形，最后对比求xy.【解析】 (1)e12e2，5e16e27e12e22(e12e2)2.，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线(2)由于A，B，P三点共线，则，在同

10、一直线上，由共线向量定理可知，必存在实数使得，即()，(1) .x1，y，则xy1.【变式训练2】素养提升判断（或证明）图形形状【典例】在四边形ABCD中，=2，4，53.求证：四边形ABCD是梯形.【规范解答】=2，4，53，245382，2ADBC且AD2BC四边形ABCD是梯形.【名师点评】要证明四边形为梯形，即证明一组对边平行但不相等.转化为向量问题就是证明一组对边向量共线而不相等.用向量法证明几何问题，首先要用向量表示几何元素，然后进行向量线性运算，最后用线性运算结果的几何解释即可.反馈 课末达标练习 1设a，b是两个不共线的向量若向量ka2b与8akb的方向相反，则k()A4 B8

11、 C4 D8【解析】因为向量ka2b与8akb的方向相反，所以ka2b(8akb) k4(因为方向相反，所以0k0)【答案】A2在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B. C. + D. +【解析】由题可得 ().【答案】A3对于向量a，b有下列表示：a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.其中，向量a，b一定共线的有()A BCD【解析】对于，ba，有ab；对于，b2a，有ab；对于，a4b，有ab；对于，a与b不共线【答案】A4若|a|5，b与a方向相反，且|b|7，则a_b. 【解析】由题意知ab.【答案】

12、5如图所示，已知，用，表示.【解析】 ().课时评价作业(一)【基础巩固】1下面四种说法：对于实数和向量，恒有；对于实数，和向量，恒有；对于实数和向量，若，则；对于实数，n和向量，若，则其中正确说法的个数是()A B3 C2 D1【解析】由向量的数乘运算律，得均正确对于，若，由，未必一定有，错误对于，若，由，未必一定有，错误【答案】C2已知向量a与b反向，且|a|r，|b|R，ba，则的值等于()A. B C D.【解析】ba，|b|a|.又a与b反向，.【答案】D3在中，是的中点，则等于（ ）A. B. C. D.【解析】，故选D.【答案】D4已知a5b，2a8b，3(ab)，则()AA，B

13、，D三点共线 BA，B，C三点共线CB，C，D三点共线 DA，C，D三点共线【解析】2a8b3(ab)a5b，A，B，D三点共线【答案】A5已知正方形ABCD的边长为1，则为.【解析】22.【答案】26如图所示，已知，用，表示.【解析】 ().8已知M、A、B三点不共线，且存在实数使得，若A、B、C三点共线，求证：.【证明】若A、B、C三点共线，则存在实数，使得，而.又，所以.则有即.【能力提升】1如图，在OAB中，延长BA到C，使ACBA，在OB上取点D，使DBOB，DC与OA交点为E，设a，b，用a，b表示向量，. 【解析】ACBA，A是BC的中点， ()，22ab.2abb2ab.2设两

14、个非零向量e1，e2不共线，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由【解析】设存在kR，使得A，B，D三点共线，(e13e2)(2e1e2)e14e2，2e1ke2.又A，B，D三点共线，2e1ke2(e14e2)，k8，存在k8，使得A，B，D三点共线3设a，b都是非零向量下列四个条件中，使=成立的条件是()Aab BabCa2bDab且|a|b|【解析】，分别表示a，b的单位向量对于A，当ab时，；对于B，当ab时，可能有ab，此时；对于C，当a2b时，；对于D，当ab且|a|b|时，可能有ab，此时.综上所述，使成立的条件是a2b，选C.【答案】C4已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P ，且，则() AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边上或其延长线上DP在AC边上【解析】因为，所以，所以23，所以()()3，即3，所以点P在AC边上，且为AC的三等分点【答案】D5如图，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AEAD，a，b. (1)用a，b分别表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线. 【解析】(1) () (ab)， (ab)，b，ab.(2)由(1)知ab，ab(- a + b )，.与共线又BE，BF有公共点B，B，E，F三点共线