《新教材》2021-2022学年高中数学人教A版选择性必修第一册测评：1-4-2　第1课时　距离问题 WORD版含解析.docx

1、1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题第 1 课时 距离问题 课后篇巩固提升必备知识基础练1.若 O 为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为()A.B.2 C.D.解析 )=(4,3,6)=(),=(0,1,0),(-),|=.答案 D2.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为 A1D1的中点,则点 C1到直线 CE 的距离为()A.B.C.D.解析建立空间直角坐标系,如图,则 C(1,1,0),C1(1,1,1),E 0,1,所以 =1,-1,=(0,0,1),所以点 C1到直线 EC 的距离

2、d=-.故选 C.答案 C3.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M 是 AA1的中点,则点 A1到平面 MBD 的距离是()A.B.C.D.解析建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0),M(),B(a,a,0),A1(a,0,a),()=(a,a,0),=(a,0,a).设平面 MBD 的法向量为 n=(x,y,z),则 即 令 x=1,则 y=-1,z=-2,可得 n=(1,-1,-2).点 A1到平面 MBD 的距离 d=-a.答案 A4.如图,P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA平面 ABCD.若已知 AB=3,AD=4,PA=1,则点 P 到直线BD

3、 的距离为 .解析如图,分别以 AB,AD,AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),=(3,0,-1),=(-3,4,0),点 P 到直线 BD 的距离d=-|-(-).答案 5.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱 AA1=,在ABC 中,ACB=90,AC=BC=1,则点 B1到平面A1BC 的距离为 .解析如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,),B1(0,1,),C1(0,0,),=(-1,1,-),=(-1,0,-),=(-1,1,0).设

4、平面 A1BC 的法向量为 n=(x,y,z),则 即-令 z=1 得 x=-,y=0,n=(-,0,1).点 B1到平面 A1BC 的距离 d=.答案 6.已知正方形 ABCD 的边长为 1,PD平面 ABCD,且 PD=1,E,F 分别为 AB,BC 的中点.(1)求点 D 到平面 PEF 的距离;(2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离.解(1)建立以 D 为坐标原点,分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.则 P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(),F(),所以 (-),(-)(),设平面 PEF 的法向量 n=(x,y,z),则 即-令

5、 x=2,则 y=2,z=3,所以 n=(2,2,3),所以点 D 到平面 PEF 的距离 d=,因此点 D 到平面 PEF 的距离为 .(2)因为 E,F 分别为 AB,BC 的中点,所以 EFAC.又因为 AC平面 PEF,EF平面 PEF,所以 AC平面 PEF.因为 (),所以点 A 到平面 PEF 的距离 d=.所以直线 AC 到平面 PEF 的距离为 .关键能力提升练7.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E,F 分别是 AB,AD 的中点,GC平面 ABCD,且 GC=2,则点 B 到平面 EFG 的距离为()A.B.C.D.1解析以 C 为坐标原点,所在直线为 x 轴,所

6、在直线为 y 轴,所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,则 F(4,2,0),E(2,4,0),G(0,0,2),B(0,4,0),=(2,0,0),=(-2,2,0),=(-2,-4,2).设平面 EFG 的法向量为 m=(x,y,z),则 即-令 x=1,则 y=1,z=3,则 m=(1,1,3),点 B 到平面 EFG 的距离 d=.答案 B8.在空间直角坐标系中,定义:平面 的一般方程为 Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,DR,且 A,B,C 不同时为零),点 P(x0,y0,z0)到平面 的距离 d=,则在底面边长与高都为 2 的正四棱锥 P-ABCD中,底面中心 O 到侧面

7、PAB 的距离 d 等于()A.B.C.2D.5解析以底面中心 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 Oxyz,如图,则 O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).设平面 PAB 的方程为 Ax+By+Cz+D=0,将 A,B,P 三点的坐标代入计算得 A=0,B=-D,C=-D,所以方程可化为-Dy-Dz+D=0,即 2y+z-2=0,所以 d=-.答案 B9.(2020 山东威海高二期中)如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,P 为 A1D1的中点,Q 为 A1B1上任意一点,E,F 为 CD 上两个动点,且 EF 的长为定值,则点 Q

8、到平面 PEF 的距离()A.等于 aB.和 EF 的长度有关C.等于 aD.和点 Q 的位置有关解析取 B1C1的中点 G,连接 PG,CG,DP,则 PGCD,点 Q 到平面 PEF 的距离即点 Q 到平面 PGCD的距离,与 EF 的长度无关,故 B 错误.又 A1B1平面 PGCD,点 A1到平面 PGCD 的距离即点 Q 到平面 PGCD 的距离,即点 Q 到平面 PEF 的距离,与点 Q 的位置无关,故 D 错误.如图,以点 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,则 C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P ,0,a,=(0,a,0),=(a,0,a),=,0,a.

9、设 n=(x,y,z)是平面 PGCD 的法向量,则由 得 令 z=1,则 x=-2,y=0,所以 n=(-2,0,1)是平面 PGCD 的一个法向量.设点 Q 到平面 PEF 的距离为 d,则 d=-,故 A 正确,C 错误.故选 A.答案 A10.(多选题)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,点 E 是 A1B1的中点,P 在正方体内部且满足 ,则下列说法正确的是()A.点 A 到直线 BE 的距离是 B.点 A 到直线 BE 的距离是 C.平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离为 D.点 P 到直线 AB 的距离为 解析如图,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),

10、B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E ,0,1,所以 =(-1,0,0),=-,0,1.设ABE=,则 cos=,sin=-.故点 A 到直线 BE 的距离 d1=|sin=1 ,故 A 错误,B 正确.=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0).设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),则 所以-令 z=1,得 y=1,x=1,所以 n=(1,1,1).所以点 D1到平面 A1BD 的距离d2=.因为易证得平面 A1BD平面 B1CD1,所以平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离等于点 D1到平面A1BD

11、 的距离,所以平面 A1BD 与平面 B1CD1间的距离为 ,故 C 正确.因为 ,所以 =,又 =(1,0,0),则 ,所以点 P 到 AB 的距离 d3=-,故 D 错误.答案 BC11.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别为 BB1,C1C 的中点,G 为线段 DD1上的点,且DG=DD1,过 E,F,G 的平面交 AA1于点 H,则 A1D1到平面 EFGH 的距离为 .解析以点 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.则 E(),F(),G(),D1(0,0,1),A1(1,0,1),=(-1,0

12、,0),(-)=(1,0,0),.又EF平面 EFGH,D1A1平面 EFGH,D1A1平面 EFGH.A1D1到平面 EFGH 的距离,即为 D1到平面 EFGH 的距离.设平面 EFGH 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 即-令 z=6,则 y=-1,n=(0,-1,6),又 (-),点 D1到平面 EFGH 的距离 d=,A1D1到平面 EFGH 的距离为 .答案 12.正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 4,M,N,E,F 分别为 A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面 AMN 与平面 EFBD 的距离为 .解析如图所示,建立空间直角坐标系 Dxyz,则 A

13、(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4),EFMN,BFAM,EFBF=F,MNAM=M.平面 AMN平面 EFBD.设 n=(x,y,z)是平面 AMN 的法向量,则 -解得 -取 z=1,则 x=2,y=-2,得 n=(2,-2,1).平面 AMN 到平面 EFBD 的距离就是点 B 到平面 EFBD 的距离.=(0,4,0),平面 AMN 与平面 EFBD 间的距离 d=.答案 13.如图,已知四边形 ABCD 为矩形,四边形 AB

14、EF 为直角梯形,FAAB,AD=AF=FE=1,AB=2,ADBE.(1)求证:BEDE;(2)求点 F 到平面 CBE 的距离.解四边形 ABCD 为矩形,ADAB.又 ADBE,ABBE=B,AD平面 ABEF,又 AD平面 ABCD,平面 ABCD平面 ABEF.FAAB,平面 ABCD平面 ABEF=AB,FA平面 ABCD.FAAD.(1)证明:如图,建立空间直角坐标系,则 B(0,2,0),C(1,2,0),D(1,0,0),E(0,1,1),F(0,0,1),=(0,-1,1),=(-1,1,1),=0(-1)+(-1)1+11=0,BEDE.(2)由(1)得 =(1,0,0)

15、,=(0,-1,1),=(0,1,0).设 n=(x,y,z)是平面 CBE 的法向量,则由 得 -令 y=1,得 z=1,n=(0,1,1)是平面 CBE 的一个法向量.设点 F 到平面 CBE 的距离为 d,则 d=.点 F 到平面 CBE 的距离为 .14.如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,ABC=,AB=BC=AD=a,PA平面 ABCD,且 PA=a,点 F 在 AD上,且 CFPC.(1)求点 A 到平面 PCF 的距离;(2)求 AD 到平面 PBC 的距离.解(1)由题意知 AP,AB,AD 两两垂直,建立空间直角坐标系,如图.则 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a

16、,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设 F(0,m,0),则 =(-a,m-a,0),=(-a,-a,a).PCCF,=(-a)(-a)+(m-a)(-a)+0=a2-a(m-a)=0,m=2a,即 F(0,2a,0).设平面 PCF 的法向量为 n=(x,y,z),则 -解得 取 x=1,得 n=(1,1,2).设点 A 到平面 PCF 的距离为 d,由 =(a,a,0),得 d=a.(2)由于 =(-a,0,a),=(0,a,0),=(0,0,a).设平面 PBC 的法向量为 n1=(x0,y0,z0),由 -得 取 x0=1,得 n1=(1,0,1).设点 A 到平面 PB

17、C 的距离为 h,ADBC,AD平面 PBC,AD平面 PBC,设 h 为 AD 到平面 PBC 的距离,h=a.学科素养创新练15.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD底面 ABCD,侧棱 PA=PD=,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,问:线段 AD 上是否存在一点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.解存在.取 AD 的中点 O,在PAD 中,PA=PD,POAD.又侧面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,PO平面 ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系,易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),则 =(-1,0,1),=(-1,1,0).假设存在点 Q,使它到平面 PCD 的距离为 ,设 Q(0,y,0)(-1y1),则 =(-1,y,0).设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0),则 -即 x0=y0=z0,取 x0=1,则平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1).点 Q 到平面 PCD 的距离 d=-,y=-或 y=(舍去).此时 ()(),则|=,|=.存在点 Q 满足题意,此时 .