《测控设计》2015-2016学年高二数学人教A版选修4-5同步练习：第二讲　证明不等式的基本方法 WORD版含解析.docx

1、第二讲测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用分析法证明不等式时的推理过程一定是()A.正向、逆向均可进行正确的推理B.只需能进行逆向推理C.只需能进行正向推理D.有时能正向推理,有时能逆向推理答案:B2.已知xyz,且x+y+z=1,则下列不等式中恒成立的是()A.xyyzB.xzyzC.x|y|z|y|D.xyxz解析:令x=2,y=0,z=-1,可排除选项A,B,C,故选D.答案:D3.已知abc0,A=a2ab2bc2c,B=ab+cbc+aca+b,则A与B的大小关系是()A.A

2、BB.Abc0,A0,B0.AB=aaaabbbbccccabacbcbacacb=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=aba-baca-cbcb-c.ab0,ab1,a-b0,aba-b1.同理bcb-c1,aca-c1.AB1,AB.答案:A4.使不等式3+81+a成立的正整数a的最大值为()A.10B.11C.12D.13解析:用分析法可证a=12时不等式成立,a=13时不等式不成立.答案:C5.若实数a,b满足0a2ab,2ab2a+b22=214=12.又0ab,且a+b=1,a0恒成立,则代数式a+3b的值()A.恒为正值B.恒为非负值C.恒为负值D.不确定解析:令f

3、(x)=ax+2b,则在0,1上,若a0,则fmin(x)=f(0)=2b0;若a0,a+3b=b+a+2b0.答案:A7.设an=sin12+sin222+sinn2n,则对任意正整数m,n(mn),都成立的是()A.|an-am|m-n2C.|an-am|12n解析:am=sin12+sin222+sinm2m,an=sin12+sin222+sinn2n,mn,|an-am|=sin(n+1)2n+1+sin(n+2)2n+2+sinm2msin(n+1)2n+1+sinm2m12n+1+12m=12n1-12m-n12n,|an-am|0解析:a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)

4、(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=12(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2,而a,b,c不全相等(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.故a3+b3+c3-3abc0a+b+c0.答案:C9.在ABC中,a,b,c分别为A,B,C所对的边,且a,b,c成等差数列,则B适合的条件是()A.0B4B.0B3C.0B2D.2B解析:2b=a+c,cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-(a+c)242ac=3(a2+c2)-2ac8ac=3(a2+c2)8ac-146ac8ac-14=12.当且仅当a=b=c时,等号成立.余弦函数在(0,)上为减函数,0B3.答案:

5、B10.已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为()A.1B.2C.3D.4解析:(am+bn)(bm+an)=abm2+(a2+b2)mn+abn2=ab(m2+n2)+2(a2+b2)2abmn+2(a2+b2)=4ab+2(a2+b2)=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2=2(当且仅当m=n=2时等号成立).答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.A=1+12+13+1n与n(nN+)的大小关系是.解析:A=11+12+13+1n1n+1n+1nn项=nn=n.答案:An12.已知a

6、,b,c,d都为正数,且S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+da+b+d,则S的取值范围是.解析:由放缩法,得aa+b+c+daa+b+caa+c;ba+b+c+dbb+c+dbd+b;ca+b+c+dcc+d+acc+a;da+b+c+ddd+a+bdd+b.以上四个不等式相加,得1S2.答案:(1,2)13.设0mnab,函数y=f(x)在R上是减函数,下列四个数fba,fab,fb-ma-m,fa+nb+n的大小顺序是.解析:aba+nb+n1bafa+nb+nfbafb-ma-m.答案:fabfa+nb+nfbafb-ma-m14.若abc0,n1=(c+a)2+b2,n2=

7、(b+c)2+a2,n3=(a+b)2+c2,则n1n2,n2n3,n22,n32中最小的一个是.解析:利用赋值法比较,令a=3,b=2,c=1,可得n1=20,n2=18,n3=26,则n1n2=360,n2n3=468,n22=324,n32=676,故n22最小.答案:n2215.请补全用分析法证明不等式“ac+bd(a2+b2)(c2+d2)”时的推论过程:要证明ac+bd(a2+b2)(c2+d2),只要证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),即要证:a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即要证a2d2+b2c22abcd,.答案:因为当ac+

8、bd0时,命题显然成立,所以当ac+bd0时(ad-bc)20,a2d2+b2c22abcd,命题成立三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)已知x0,y0,求证(1+x+y2)(1+x2+y)9xy.证明:因为x0,y0,所以1+x+y233xy20,1+x2+y33x2y0,故(1+x+y2)(1+x2+y)33xy233x2y=9xy.17.(6分)已知x,yR,且|x|1,|y|1,求证11-x2+11-y221-xy.证法一:分析法:|x|1,|y|0,11-y20,11-x2+11-y22(1-x2)(1-y2).故要证明结论成

9、立,只需证明2(1-x2)(1-y2)21-xy成立.即证1-xy(1-x2)(1-y2)成立.(y-x)20,-2xy-x2-y2,(1-xy)2(1-x2)(1-y2),1-xy(1-x2)(1-y2)0.不等式成立.证法二:综合法:211-x2+11-y21-x2+1-y22=2-(x2+y2)22-2|xy|2=1-|xy|,11-x2+11-y221-|xy|21-xy,原不等式成立.18.(6分)已知an=12+23+34+n(n+1)(nN+),求证n(n+1)2ann,an=12+23+n(n+1)1+2+n=n(n+1)2.又n(n+1)(n+1)+n2=2n+12,an=1

10、2+23+n(n+1)32+52+2n+12(n+1)22.n(n+1)2an(n+1)22.19.(7分)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集为N.(1)求M;(2)当xMN时,求证x2f(x)+xf(x)214.(1)解:f(x)=3x-3,x1,+),1-x,x(-,1).当x1时,由f(x)=3x-31得x43,故1x43;当x1时,由f(x)=1-x1得x0,故0x1.所以f(x)1的解集为M=x0x43.(2)证明:由g(x)=16x2-8x+14,得16x-1424,解得-14x34.因此N=x-14x34.故MN=x0x34.当xMN时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+xf(x)2=xf(x)x+f(x)=xf(x)=x(1-x)=14-x-12214.