《课堂设计》2015-2016学年高二数学北师大版选修2-1课后作业：3.3.2 双曲线的简单性质 WORD版含解析.docx

1、3.2双曲线的简单性质1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是()A.2B.22C.4D.42解析:双曲线方程可变形为x24-y28=1,所以a2=4,a=2,2a=4,故选C.答案:C2.设双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线方程3x2y=0,则a的值为()A.4B.3C.2D.1解析:双曲线x2a2-y29=1的渐近线方程为3xay=0,与已知方程比较系数得a=2.答案:C3.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为()A.6B.5C.62D.52解析:ba=24=12=c2-a2a2=e2-1,e=52.答案:D4.已知双曲线x2a2-y2b2=1

2、(a0,b0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为()A.x25-y24=1B.x24-y25=1C.x23-y26=1D.x26-y23=1解析:圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bxay=0,根据已知得3ba2+b2=2,即3b3=2,解得b=2,则a2=5,故所求的双曲线方程是x25-y24=1.故选A.答案:A5.设P是双曲线x2a2-y29=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|等于()A.1或5B.6C.7D.9解析:

3、由渐近线的方程为y=32x,b=3,得a=2.由双曲线的定义,有|PF2|-|PF1|=4.|PF2|=7或|PF2|=-1(舍去).答案:C6.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()A.3x4y=0B.3x5y=0C.4x3y=0D.5x4y=0解析:如图所示,由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=12|PF1|.又|PF1|-|PF2|=2a,

4、|PF1|=2a+2c,即|PM|=a+c.|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c2=a2+b2,ba=43,渐近线方程为y=43x,即4x3y=0.答案:C7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为54,则双曲线的标准方程是.解析:双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为54,即cb=54.又c2=a2+b2,解得c=5,b=4,所以双曲线的标准方程是x29-y216=1.答案:x29-y216=18.若双曲线的渐近线方程为y=3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是.解析:由题

5、意,得c=10=a2+b2,ba=3,由此解得b=3,a=1,故所求双曲线的方程是x2-y29=1.答案:x2-y29=19.已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为2,焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.解析:椭圆x225+y29=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0),在双曲线x2a2-y2b2=1中,c=4,e=2,a=2.b=23.渐近线方程为3xy=0.答案:(4,0)3xy=010.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)虚轴长为12,离心率为54;(2)两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=3

6、2x;(3)求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程.解:(1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1或y2a2-x2b2=1(a0,b0).由题意,知2b=12,ca=54,且c2=a2+b2,b=6,c=10,a=8.双曲线的标准方程为x264-y236=1或y264-x236=1.(2)设以y=32x为渐近线的双曲线方程为x24-y29=(0).当0时,a2=4,2a=24=6.=94.当0时,a2=-9,2a=2-9=6.=-1.双曲线的方程为x29-y2814=1或y29-x24=1.(3)设与双曲线x22-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为x22

7、-y2=k(k0).将点M(2,-2)的坐标代入,得k=222-(-2)2=-2.双曲线的标准方程为y22-x24=1.11.设双曲线y2a2-x23=1的焦点分别为F1,F2,离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1,l2的方程;(2)设A,B分别为l1,l2上的动点,且2|AB|=5|F1F2|,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.解:(1)由双曲线的离心率e=a2+3a=2,解得a2=1,所以双曲线的方程为y2-x23=1,所以双曲线的渐近线方程为x3y=0.(2)因为|F1F2|=21+3=4,2|AB|=5|F1F2|,所以|AB|=10.又因为A,B分别为l1,l2

8、上的动点,设A(3y1,y1),B(-3y2,y2),所以|AB|=3(y1+y2)2+(y1-y2)2=10.设AB的中点为M(x,y),则x=3(y1-y2)2,y=y1+y22.所以y1-y2=23x,y1+y2=2y.代入,得12y2+43x2=100,即x275+3y225=1为中点M的轨迹方程.中点M的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上的椭圆.12.过双曲线x23-y26=1的右焦点F2且倾斜角为30的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.(1)求|AB|;(2)求AOB的面积;(3)求证:|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.(1)解:由双曲线的方程得a=3

9、,b=6,c=a2+b2=3,F1(-3,0),F2(3,0),直线AB的方程为y=33(x-3).设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=33(x-3),x23-y26=1得5x2+6x-27=0,x1+x2=-65,x1x2=-275,|AB|=1+k2|x1-x2|=1+332(x1+x2)2-4x1x2=433625+1085=1635.(2)解:直线AB的方程变形为x-3y-3=0.原点O到直线AB的距离为d=|-3|12+(-3)2=32.SAOB=12|AB|d=12163532=1235.(3)证明:由题意知,双曲线的渐近线为y=2x,而直线AB的斜率为332,故点A,B不

10、可能同在右支上,假设点A在双曲线左支上,点B在双曲线右支上,由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=23,|BF1|-|BF2|=23,|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|,即|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.同理,若点A在双曲线右支上,点B在双曲线左支上,同样成立.备选习题1.双曲线x24-y212=1的焦点到渐近线的距离为()A.23B.2C.3D.1解析:双曲线x24-y212=1的焦点为(4,0),(-4,0),渐近线方程为y=3x.由双曲线的对称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等.d=|43+0|3+1=23.答案:A2.已知双曲线x24+y2k=1的离心

11、率e2,则k的取值范围是()A.k3B.-3k0C.-12k0D.-8k3解析:由条件判断知k0且焦点在x轴上,则a2=4,b2=-k,故14-k22,解得-12k2(其中O为原点),求k的取值范围.解:(1)设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).a=3,c=2,b=1.故双曲线的方程为x23-y2=1.(2)将y=kx+2代入x23-y2=1,得(1-3k2)x2-62kx-9=0.由已知,得1-3k20,0,得k213,且k22,得x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+2=(k2+1)-91-3k2+2k62k1-3k2+2=3k2+73k2-12,得13k23.又k21,13k21,k-1,-3333,1.