《课堂设计》2015-2016学年高二数学北师大版选修2-1课后作业：3.4.1 曲线与方程 WORD版含解析.docx

1、4曲线与方程4.1曲线与方程1.下列命题正确的是()A.方程xy-2=1表示斜率为1,在y轴上的截距是2的直线B.ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-2,0),C(2,0),则中线AO的方程是x=0C.到x轴距离为5的点的轨迹方程是y=5D.曲线2x2-3y2-2x+m=0通过原点的充要条件是m=0解析:选项A中直线不过(0,2)点;选项B中中线AO是线段;选项C中轨迹方程应是y=5.故选项A,B,C都错误,选D.答案:D2.已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点,P2(x2,y2)是直线l外一点,则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线l与

2、直线l的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.斜交解析:点P1(x1,y1)在直线l:f(x,y)=0上,f(x1,y1)=0.f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=f(x,y)+f(x2,y2)=0,即l为f(x,y)=-f(x2,y2).又点P2(x2,y2)在直线l外,则f(x2,y2)=k0.l为f(x,y)=-k,即f(x,y)+k=0.答案:A3.ABCD的顶点A,C的坐标分别为(3,-1),(2,-3),顶点D在直线3x-y+1=0上移动,则顶点B满足的方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-12=0D.3x-y-9=0解析:设AC,B

3、D交于点P,点A,C的坐标分别为(3,-1),(2,-3),P点坐标为52,-2.设B为(x,y),则D为(5-x,-4-y),点D在直线3x-y+1=0上,15-3x+4+y+1=0,即3x-y-20=0.答案:A4.方程4x2-y2+4x+2y=0表示的曲线是()A.一个点B.两条互相平行的直线C.两条互相垂直的直线D.两条相交但不垂直的直线解析:4x2-y2+4x+2y=0,(2x+1)2-(y-1)2=0,2x+1=(y-1),2x+y=0或2x-y+2=0,这两条直线相交但不垂直.答案:D5.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+AB|AB|+

4、AC|AC|,0,+),则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:令AB|AB|=e1,AC|AC|=e2,则由已知,得OP-OA=(e1+e2),即AP=e1+e2.由平行四边形法则且得到的平行四边形是菱形,知AP是BAC的平分线,故选B.答案:B6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P满足的方程的曲线所围成的图形的面积为()A.B.4C.8D.9解析:设P为(x,y),由|PA|=2|PB|,得(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2,即(x-2)2+y2=4,点P满足的方程的曲线是以2为半径的圆,其面积为4.答案:

5、B7.已知02,点P(cos,sin)在曲线(x-2)2+y2=3上,则的值为.解析:(cos-2)2+sin2=3,得cos=12,所以=3或53.答案:3或538.若两直线x+y=3a,x-y=a的交点在方程x2+y2=1所表示的曲线上,则a=.解析:x+y=3a,x-y=a,x=2a,y=a.交点坐标为(2a,a).又该点在x2+y2=1上,(2a)2+a2=1,a=55.答案:559.已知O的方程是x2+y2-2=0,O的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向O和O所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是.解析:由O:x2+y2=2,O:(x-4)2+y2=6,知两圆相离.设由动点

6、P向O和O所引的切线与O和O的切点分别为T,Q,则|PT|=|PQ|,而|PT|2=|PO|2-2,|PQ|2=|PO|2-6,|PO|2-2=|PO|2-6.设P(x,y),即得x2+y2-2=(x-4)2+y2-6,即x=32.答案:x=3210.已知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,点P也在曲线g(x,y)=0上,求证:点P在曲线f(x,y)+g(x,y)=0上(R).证明:因为点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,所以f(x0,y0)=0.又因为点P(x0,y0)也在曲线g(x,y)=0上,所以g(x0,y0)=0.所以对R,有f(x0,y0)+g(x0,y0)=0+0

7、=0,即点P(x0,y0)适合方程f(x,y)+g(x,y)=0.所以点P在曲线f(x,y)+g(x,y)=0上(R).11.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,l1交x轴于点A,l2交y轴于点B,求线段AB的中点M的轨迹方程.解法一:如下图,设点M的坐标为(x,y).M为线段AB的中点,点A的坐标为(2x,0),点B的坐标为(0,2y).l1l2,且l1,l2过点P(2,4),PAPB,kPAkPB=-1.而kPA=4-02-2x=21-x(x1),kPB=4-2y2-0=2-y,21-x2-y1=-1(x1).整理,得x+2y-5=0(x1).当x=1时,A,B的坐标分别为(2

8、,0),(0,4),线段AB的中点坐标是(1,2),也满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.解法二:如下图,设M的坐标为(x,y),则A,B两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接PM.l1l2,2|PM|=|AB|.而|PM|=(x-2)2+(y-4)2,|AB|=(2x)2+(2y)2,2(x-2)2+(y-4)2=4x2+4y2,化简,得x+2y-5=0为所求轨迹方程.解法三:如图,设点M的坐标为(x,y),连接PM,OM.由l1l2,知A,O,B,P四点共圆,AB为圆的直径,M为圆心,则有|OM|=|MP|.x2+y2=(x-2)2+(y-4)2

9、.化简,得x+2y-5=0为所求轨迹方程.12.如图所示,从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P满足的方程.解:设P点坐标为(x,y),双曲线上点Q的坐标为(x0,y0).点P为线段QN的中点,N点坐标为(2x-x0,2y-y0).又点N在直线x+y=2上,2x-x0+2y-y0=2,即x0+y0=2x+2y-2,又NQl,kNQ=2y-2y02x-2x0=1,即x0-y0=x-y.由得x0=12(3x+y-2),y0=12(x+3y-2).又Q在双曲线上,14(3x+y-2)2-14(x+3y-2)2=1,化简得x-122-y-122=12.线段Q

10、N的中点P满足的方程为x-122-y-122=12.备选习题1.画出方程(x+y-1)x-1=0表示的曲线.解:由方程(x+y-1)x-1=0,可得x-10,x+y-1=0或x-10,x-1=0,即x+y-1=0(x1)或x=1.故原方程表示直线x=1和射线x+y-1=0(x1),如图所示.2.如图,已知点P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且APB=90,AB交PQ于点D.求矩形APBQ的顶点Q满足的方程.解:连接OA,OD.设AB的中点为D(x0,y0),Q(x,y),在ABP中,|AD|=|BD|,又D是弦AB的中点,由垂径定理知,|AD|2=|AO|2-|OD

11、|2=36-(x02+y02),|DP|2=|AD|2=36-(x02+y02),即(x0-4)2+y02=36-(x02+y02),整理得x02+y02-4x0-10=0.D为PQ的中点,x0=4+x2,y0=y2,代入上式得:x2+22+y24-2(x+4)-10=0,即x2+y2=56,点Q满足的方程为x2+y2=56.3.已知两点A(0,1),B(1,0),且|MA|=2|MB|,求点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y),由两点间距离公式,得|MA|=(x-0)2+(y-1)2,|MB|=(x-1)2+(y-0)2.又|MA|=2|MB|,(x-0)2+(y-1)2=2(x-1)

12、2+(y-0)2.两边平方,并整理,得3x2-8x+3y2+2y+3=0,即(x-43)2+y+132=89.下面,我们证明方程是所求的轨迹方程.(1)从上面求方程的过程可知,满足条件的曲线上的每一点的坐标都是方程的解;(2)设M1的坐标(x1,y1)是方程的解,即(x1-43)2+y1+132=89,即3x12-8x1+3y12+2y1+3=0,|M1A|=(x1-0)2+(y1-1)2=x12+y12-2y1+1=x12+y12+3x12+3y12-8x1+3+1=4x12+4y12-8x1+4=2(x1-1)2+(y1-0)2=2|M1B|.即点M1(x1,y1)在符合条件的曲线上.由上述证明,可知方程是符合条件的轨迹方程.