圆锥曲线基础知识手册.pdf

1、圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点 P 与两定点 F1、F2距离之和为常数(大于 F1F2)的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹 MF1d1=MF2d2=e焦点焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形yxF1F2abcOA1A2B2B1x=a2cx=-a2cyxF1F2abcA1A2B2B1y=a2cy=-a2c标准方程x2a2+y2b2=1 a b 0y2a2+x2b2=1 a b 0范围-a x a 且-b y b-b x b 且-a y a顶点A1-a,0，A2 a,0，B1 0,-b，B2 0,bA1 0,-a，A2 0,a，B1-b,0，B2 b,0

2、轴长长轴长=2a，短轴长=2b，焦距=F1F2=2c，c2=a2-b2焦点F1-c,0、F2 c,0F1 0,-c、F2 0,c焦半径PF1=a+ex0，PF2=a-ex0PF1=a-ey0，PF2=a+ey0焦点弦左焦点弦|AB|=2a+e(x1+x2)，右焦点弦|AB|=2a-e(x1+x2).离心率e=ca=1-b2a2 0 e 0,b 0y2a2-x2b2=1 a 0,b 0范围x -a 或 x a，y Ry -a 或 y a，x R顶点A1-a,0、A2 a,0A1 0,-a、A2 0,a轴长虚轴长=2b，实轴长=2a，焦距=F1F2=2c，c2=a2+b2焦点F1-c,0、F2 c

3、,0F1 0,-c、F2 0,c焦半径|PF1|=a+ex0，|PF2|=-a+ex0左支添“-”离心率e=ca=1+b2a2 e 1准线方程x=a2cy=a2c渐近线y=ba xy=ab x切线方程x0 xa2-y0yb2=1x0 xb2-y0ya2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长 AB=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF1|-|PF2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：SF1PF2=b2 tan 2=c y(4)离心率：e=F1F2PF1-PF2=sinsin-sin=sin(+)sin-sinyxF1

4、F2P第 2 页 共 29 页三、抛物线及其性质定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线方程y2=2px p 0y2=-2px p 0 x2=2py p 0 x2=-2py p 0图形yxFx=-p2yxFx=p2yxFy=-p2yxFy=p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点Fp2,0F-p2,0F 0,p2F 0,-p2准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2离心率e=1范围x 0 x 0y 0y 0切线方程y0y=p x+x0y0y=-p x+x0 x0 x=p y+y0 x0 x=-p y+y0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦 AB=2p(最短焦点

5、弦)焦点弦AB 为过 y2=2px p 0焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，倾斜角为.则：(1)AF=x1+p2BF=x2+p2AB=x1+x2+p,(2)x1x2=p24y1y2=-p2(3)AF=p1-cosBF=p1+cos1|FA|+1|FB|=2P(4)AB=2psin2SAOB=p22sinAB 为过 x2=2py(p 0)焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，倾斜角为.则：(1)AF=p1-sinBF=p1+sin(2)AB=2p2cosSAOB=p22cos(3)AFBF=，则：=-1+1sinyxFx=-p2ABOyxFABOy2=2px(p 0)y2=2

6、px(p 0)第 3 页 共 29 页四、圆锥曲线的通法F1F2POxyOxyFPMOxyF1F2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1 若题目明确涉及斜率，则设直线：y=kx+b，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2 若题目没有涉及斜率或直线过(a,0)则设直线：x=my+a,可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立 y=kx+bF(x,y)=0得：ax2+bx+c=0判别式：=b2 4ac,韦达定理：x1+

7、x2=ba，x1x2=ca（3）弦长公式：AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=1+1k2(y1+y2)2 4y1y23、硬解定理设直线 y=kx+与曲线 x2m+y2n=1 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)由：y=kx+nx2+my2=mn,可得：(n+mk2)x2+2kmx+m(2-n)=0判别式：=4mn(n+mk2-2)韦达定理：x1+x2=-2kmn+mk2,x1x2=m(2-n)n+mk2由：|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2,代入韦达定理：|x1-x2|=n+mk2 4、点差法：若直线 l

8、与曲线相交于 M、N 两点，点 P(x0,y0)是弦 MN 中点，MN 的斜率为 kMN，则：在椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)中,有 kMN y0 x0=b2a2;在双曲线 x2a2 y2b2=1(a b 0)中,有 kMN y0 x0=b2a2；在抛物线 y2=2px(p 0)中,有 kMN y0=p.(椭圆)设 M、N 两两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，第 4 页 共 29 页则有x12a2+y12b2=1,(1)x22a2+y22b2=1.(2)(1)(2)，得 x12 x22a2+y12 y22b2=0.y2 y1x2 x1 y2+y1x2+x1=b2a2.

9、又 kMN=y2 y1x2 x1,y1+y2x1+x2=2y2x=yx.kMN yx=b2a2.圆锥曲线的参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数 x=f(t)y=g(t)并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2、直线的参数方程(1)过定点 P(x0,y0)、倾斜角为(2)的直线的参数方程 x=x0+tcosy=y0+tsin(t 为参数)(2)参数

10、 t 的几何意义：参数 t 表示直线 l 上以定点 M0为起点，任意一点 M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M0M|=|t|，|t|表示直线上任一点 M 到定点 M0的距离.当点 M 在 M0上方时，t 0；当点 M 在 M0下方时，t b 0)的参数方程为 x=acosy=bsin(为参数)；椭圆 y2a2+x2b2=1(a b 0)的参数方程为 x=bcosy=asin(为参数)；(2)参数 的几何意义：参数 表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点 P 对应的离心角为 =QOx(过 P 作PQ x 轴，交大圆即以 2a 为直径的圆于 Q)，切不可认为是 =PO

11、x.5、双曲线的参数方程（1）双曲线 x2a2-y2b2=1(a b 0)的参数方程 x=asecy=btan(为参数)；sec=1cos双曲线 y2a2-x2b2=1(a b 0)的参数方程 x=bcoty=acsc(为参数)；csc=1sin（2）参数 的几何意义：参数 表示双曲线上某一点的离心角.6、抛物线的参数方程（1）抛物线 y2=2px 参数方程 x=2pt2y=2pt(t 为参数，t=1tan)；（2）参数 t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t=1kOP仿射变换与齐次式1、仿射变换：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个

12、向量空间.2、椭圆的变换：椭圆b2x2+a2y2=a2b2变换内容x=xy=ab yx=xy=ba yx=ba xy=yx=ab xy=y圆方程x2+y2=a2x2+y2=b2图示yxABOCyxABOCyxABOCyxABOC点坐标A(x0,y0)A(x0,ab y0)A(x0,y0)A(ba x0,y0)斜率变化k=ab k，由于 kAC kBC=1kAC kBC=ba kAC ba kBC=b2a2k=ab k，由于 kAC kBC=1kAC kBC=ba kAC ba kBC=b2a2弦长变化则 AB=1+k2 x1-x2 AB=1+k2 x1-x2=1+(ab)2k2 x1-x2yx

13、POQ第 6 页 共 29 页面积变化SABC=ba SABC(水平宽不变，铅锤高缩小)SABC=ab SABC(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，kOP kAB=b2a2，中垂线问题 kOPkMP=b2a2，且 xM=c2x0a2 yN=-c2y0b2，拓展 1：椭圆内接 ABC 中，若原点 O 为重心，则仿射后一定得到 OBC 为 120 的等腰三角形；ABC 为等边三角形；拓展 2：椭圆内接平行四边形 OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形 OAPB4、面积问题：（1）若以椭圆 x2a2+y2b2=1 对称中心引出两条直线交椭圆于 A、B 两点，且 kOA kOB=b2

14、a2,则经过仿射变换后 kOA kOB=1，所以 SAOB为定值.（2）若椭圆方程 x2a2+y2b2=1 上三点 A，B，M，满足：kOA kOB=b2a2 SAOB=ab2 OM=sinOA+cosOB 0,2，三者等价 5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点 P 作两条直线与圆锥曲线交于 A、B，在直线 PA和 PB 斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线 AB 过定点或者 AB 定斜率的问题.（2）步骤：将公共点 平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.由中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线 C，所有直线方程统一写为：mx+

15、ny=1将圆锥曲线 C 展开，在一次项中乘以 mx+ny=1，构造出齐次式.在齐次式中，同时除以 x2,构建斜率 k 的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理（1）若点 A、B 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上的点，AB 与椭圆长轴交点为 N，在长轴上一定存在一个点 M，当仅当则 xM xN=a2时，AMN=BMN，即长轴为角平分线；（2）若点 A、B 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上的点，AB 与椭圆短轴交点为 N，在短轴上一定存在一个点 M，当仅当则 yM yN=b2时，AMN=BMN，即短轴为角平分

16、线；2、关于角平分线的结论：若直线 AO 的斜率为 k1,直线 CO 的斜率为 k2,EO 平分 AOC则有：k1+k2=tan+tan(-)=0角平分线的一些等价代换条件：作 x 轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程第 7 页 共 29 页(1)定点直线系方程：经过定点 P0(x0,y0)的直线系方程为 y-y0=k(x-x0)(除直线 x=x0),其中 k 是待定的系数;经过定点 P0(x0,y0)的直线系方程为 A(x-x0)+B(y-y0)=0,其中 A,B 是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0

17、的交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0(除 l2)，其中 是待定的系数(3)平行直线系方程：直线 y=kx+b 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+=0(0)，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线 Ax+By+C=0(A 0，B 0)垂直的直线系方程是 Bx-Ay+=0,是参变量4、圆系方程(1)过直线 l:Ax+By+C=0 与圆 C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 的交点的圆系方程是 x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0,是待定的系数(2)过圆 C1:x2+y2+D

18、1x+E1y+F1=0 与圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆系方程是 x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,是待定的系数(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）直线过定点模型：A,B 是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中,分别为 MA,MB 的倾斜角，则：、MA MB为定值 直线 AB 恒过定点；、kMA kMB为定值 直线 AB 恒过定点；、+=(0 0)上的两动点，,分别为 OA,OB 的倾斜角，则：OA OB kOA kOB=-1 -=2 直线 AB 恒过定点(2p,0).（3）椭圆中直线过定点模型：A,B 是

19、椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上异于右顶点 D 的两动点，其中,分别为 DA,DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DA DB kDA kDB=-1 -=2 直线 AB 恒过定点(ac2a2+b2,0)2、定点的求解方法：1 含参形式简单的直线方程，通过将直线化为 y-y0=k(x-x0)可求得定点坐标(x0,y0)2 含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.变换主元法：将直线化为 h(x,y)+f(x,y)=0,解方程组：h(x,y)=0f(x,y)=0可得定点坐标.eg:直线方程：（2m+1）x+(m-5)y+6=0,将 m 看作主元，按照降幂排列：（2x+y）m+x

20、-5y+6=0,解方程组：2x+y=0 x-5y+6=0,解得：x=-611y=1211,求得直线过定点（-611,1211）.3、关于以 AB 为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆的直径式方程：（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，第 8 页 共 29 页该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为 0 证明点恒在圆上.(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）SABC=12 MN d，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）SABC=12 水平宽

21、 铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）SAOB=12 x1y2-x2y1例题1.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O 0,0，A x1,y1，B x2,y2不共线，证明：AOB 的面积为 SAOB=12 x1y2-x2y1.2、面积中最值的求解(1)f(x)=x2+x+x+n型：令 t=x+n x=t-n 进行代换后裂项转化为：y=at+bt(2)f(x)=x+nx2+x+型：先在分母中配出分子式 f(x)=x+n(x+n)2+(x+n)+令 t=x+n，此时：y=tt2+t+，分子分母同时除 t，此时 y=1t+t+，再利用对勾函数或不等式分析最值.(3)f(x)=x+x+n 型：令

22、t=x+n x=t2-n 进行代换后裂项，可转化为：y=at+bt第 9 页 共 29 页五、椭圆的二级结论1.PF1+PF2=2a2.标准方程 x2a2+y2b2=13.PF1d1=e b 0)的两个顶点为 A1(-a,0),A2(a,0)，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 x2a2-y2b2=1.10.若点 P0(x0,y0)在椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0上，则在点 P0处的切线方程是 x0 xa2+y0yb2=1.11.若 P0(x0,y0)在椭圆 x2a2+y2b2=1 外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切

23、点弦 P1P2的直线方程是 x0 xa2+y0yb2=1.12.AB 是椭圆 x2a2+y2b2=1 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 kOM kAB=-b2a2.13.若 P0(x0,y0)在椭圆 x2a2+y2b2=1 内，则被 PO 所平分的中点弦的方程是 x0 xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.14.若 P0(x0,y0)在椭圆 x2a2+y2b2=1 内，则过 PO 的弦中点的轨迹方程是 x2a2+y2b2=x0 xa2+y0yb2.15.若 PQ 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上对中心张直角的弦，则 1r12+1r22=1a2+1b2(r1=|

24、OP|,r2=|OQ|).16.若椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 Ax+By=1(AB 0),则(1)1a2+1b2=A2+B2;(2)L=2 a4A2+b4B2a2A2+b2B2.第 10 页 共 29 页17.给定椭圆 C1：b2x2+a2y2=a2b2(a b 0),C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2 ab2,则(i)对 C1上任意给定的点 P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过 C2上一定点 Ma2-b2a2+b2 x0,-a2-b2a2+b2 y0.(ii)对 C2上任一点 P(x0,y0)在 C1上存在唯一的点 M,使得

25、 M 的任一直角弦都经过 P 点.18.设 P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:x2a2+y2b2=1(a 0,.b 0)上一点，P1P2为曲线 C 的动弦,且弦 PP1,PP2斜率存在，记为 k1,k2,则直线 P1P2通过定点 M(mx0,-my0)(m 1)的充要条件是 k1 k2=-1+m1-m b2a2.19.过椭圆 x2a2+y2b2=1(a 0,b 0)上任一点 A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 kBC=b2x0a2y0(常数).20.椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆上任意

26、一点 F1PF2=，则椭圆的焦点三角形的面积为 SF1PF2=b2tan 2，P acc2-b2tan2 2,b2c tan 2.21.若 P 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,PF1F2=,PF2F1=，则 a-ca+c=tan 2 tan 2.22.椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦半径公式：|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M(x0,y0).23.若椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当2-1 e b 0)上任一点,F1,F

27、2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 2a-|AF2|PA|+|PF1|2a+|AF2|,当且仅当 A,F2,P 三点共线时，等号成立.25.椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上存在两点关于直线 l：y=k(x-x0)对称的充要条件是 x02(a2-b2)2a2+b2k2.26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P 是椭圆 x=acosy=bsin(a b 0)上一点，则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是 e2=11+sin

28、2.29.设 A,B 为椭圆 x2a2+y2b2=k(k 0,k 1)上两点，其直线 AB 与椭圆 x2a2+y2b2=1 相交于 P,Q,则 AP=BQ.第 11 页 共 29 页30.在 椭 圆 x2a2+y2b2=1 中，定 长 为 2 m(o b 0)的通径，定长线段 L 的两端点 A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是 AB 中点，则当 l S 时，有(x0)max=a2c-l2e c2=a2-b2,e=ca;当 l b 0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在 PF1F2中，记 F1PF2=,PF1F2=,F1F2P=，则有sinsin

29、+sin=ca=e.35.经过椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a b 0)的长轴的两端点 A1和 A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和 P2，则|P1A1|P2A2|=b2.36.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 OP OQ.(1)1|OP|2+1|OQ|2=1a2+1b2;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为 4a2b2a2+b2;(3)SOPQ的最小值是a2b2a2+b2.37.MN 是经过椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a b 0)焦点的任一弦，若 AB 是经过椭圆中心 O 且平行于 MN 的弦，则|AB|2=2

30、a|MN|.38.MN 是经过椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a b 0)焦点的任一弦，若过椭圆中心 O 的半弦 OP MN，则2a|MN|+1|OP|2=1a2+1b2.39.设椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0),M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1,A2为对称轴上的两顶点)的交点 N 在直线 l：x=a2m(或 y=b2m)上.40.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则

31、 MF NF.第 12 页 共 29 页41.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF.42.设椭圆方程 x2a2+y2b2=1,则斜率为 k(k 0)的平行弦的中点必在直线 l：y=kx 的共轭直线 y=kx 上,而且 kk=-b2a2.43.设 A、B、C、D 为椭圆 x2a2+y2b2=1 上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为,，直线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在椭圆上,则 PA PBPC PD=b2cos2+a2sin2b2cos2+a2sin2.44

32、.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0),点 P 为其上一点 F1,F2为椭圆的焦点，F1PF2的外(内)角平分线为l，作 F 1、F 2 分 别 垂 直 l 于 R、S，当 P 跑 遍 整 个 椭 圆 时，R、S 形 成 的 轨 迹 方 程 是 x 2+y 2=a2 c2y2=a2y2+b2x x c2a2y2+b2 x c2.45.设 ABC 内接于椭圆，且 AB 为 的直径，l 为 AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线 AC、BC 于E 和 F，又 D 为 l 上一点，则 CD 与椭圆 相切的充要条件是 D 为 EF 的中点.46.过椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0

33、)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|PF|MN|=e2.47.设 A(x1,y1)是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上任一点，过 A 作一条斜率为-b2x1a2y1的直线 L，又设 d 是原点到直线 L 的距离,r1,r2分别是 A 到椭圆两焦点的距离，则r1r2d=ab.48.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)和 x2a2+y2b2=(0 b 0),A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点P(x0,0),则-a2-b2a x0 b 0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 F1P

34、F2=，则(1)|PF1|PF2|=2b21+cos.(2)SPF1F2=b2tan 2.51.设过椭圆的长轴上一点 B(m,o)作直线与椭圆相交于 P、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于过 H 点的直线 MN：x=n 于 M，N 两点,则 MBN=90 a-ma+m=a2 n-m2b2(n+a)2.第 13 页 共 29 页52.L 是经过椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线，E、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点 P L，若 EPF=，则 是锐角且 sin e 或 arcsine(当且仅当|PH|=b 时取等号).53

35、.L 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的准线，A、B 是椭圆的长轴两顶点,点 P L，e 是离心率，EPF=，H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距，则 是锐角且 sin e 或 arcsine(当且仅当|PH|=abc 时取等号).54.L 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的准线，E、F 是两个焦点，H 是 L 与 x 轴的交点，点 P L，EPF=,离心率为 e，半焦距为 c，则 为锐角且 sin e2或 arcsine2(当且仅当|PH|=bca2+c2 时取等号).55.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)，直线 L 通过其右焦点 F2,且与椭圆相

36、交于 A、B 两点，将 A、B 与椭圆左焦点 F1连结起来，则 b2|F1A|F1B|(2a2-b2)2a2(当且仅当 AB x 轴时右边不等式取等号，当且仅当 A、F1、B 三点共线时左边不等式取等号).56.设 A、B 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB=,PBA=,BPA=，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2ab2|cos|a2-c2cos2.(2)tantan=1-e2.(3)SPAB=2a2b2b2-a2 cot.57.设 A、B 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部

37、的两点，且 xA、xB的横坐标 xA xB=a2，(1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，则 PBA=QBA；(2)若过 B 引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，则 PAB+QAB=180.58.设 A、B 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，(1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，(若 BP 交椭圆于两点，则 P、Q 不关于 x 轴对称)，且PBA=QBA，则点 A、B 的横坐标 xA、xB满足 xA xB=a2；(2)若过 B 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，且 PAB+QAB=180,则点 A、B 的

38、横坐标满足 xAxB=a2.59.设 A,A 是椭圆 x2a2+y2b2=1 的长轴的两个端点，QQ 是与 AA 垂直的弦，则直线 AQ 与 AQ 的交点 P的轨迹是双曲线 x2a2-y2b2=1.60.过椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左焦点 F 作互相垂直的两条弦 AB、CD 则8ab2a2+b2|AB|+|CD|2(a2+b2)a.第 14 页 共 29 页61.到椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)两焦点的距离之比等于 a-cb(c 为半焦距)的动点 M 的轨迹是姊妹圆(x a)2+y2=b2.62.到椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴两端点的距离之比等

39、于 a-cb(c 为半焦距)的动点 M 的轨迹是姊妹圆 x ae2+y2=be2.63.到椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 a-cb(c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆 x ae22+y2=be22(e 为离心率).64.已知 P 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上一个动点，A,A 是它长轴的两个端点,且 AQ AP,AQ AP，则 Q 点的轨迹方程是 x2a2+b2y2a4=1.65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66.设椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)长轴的端点为

40、 A,A,P(x1,y1)是椭圆上的点过 P 作斜率为-b2x1a2y1的直线 l，过 A,A 分别作垂直于长轴的直线交 l 于 M,M,则(1)|AM|AM|=b2.(2)四边形 MAAM 面积的最小值是 2ab.67.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于A、B 两点,点 C 在右准线 l 上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.68.OA、OB 是椭圆(x-a)2a2+y2b2=1(a 0,b 0)的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则(1)直线 AB必经过一个定点2ab2a2+b2,0

41、.(2)以 OA、OB 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 x-ab2a2+b22+y2=ab2a2+b22(x 0).69.P(m,n)是椭圆(x-a)2a2+y2b2=1(a b 0)上一个定点，PA、PB 是互相垂直的弦，则(1)直线 AB 必经过一个定点2ab2+m(a2-b2)a2+b2,n(b2-a2)a2+b2.(2)以 PA、PB 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是x-ab2+a2ma2+b22+y-b2na2+b22=a2b4+n2(a2-b2)(a2+b2)2(x m 且 y n).70.如果一个椭圆短半轴长为 b，焦点 F1、F2到直线 L 的距离分别为

42、d1、d2，那么(1)d1d2=b2，且 F1、F2在 L 同侧 直线 L 和椭圆相切.(2)d1d2 b2，且 F1、F2在 L 同侧 直线 L 和椭圆相离，(3)d1d2 b 0)的长轴，N 是椭圆上的动点，过 N 的切线与过 A、B 的切线交于 C、第 15 页 共 29 页D 两点，则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 x2a2+4y2b2=1(y 0).72.设点 P(x0,y0)为椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的内部一定点，AB 是椭圆 x2a2+y2b2=1 过定点 P(x0,y0)的任一弦，当弦 AB 平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA|PB|

43、)max=a2b2-(a2y02+b2x02)b2.当弦 AB垂直于长轴所在直线时,(|PA|PB|)min=a2b2-(a2y02+b2x02)a2.73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c.76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c.77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.椭圆焦三

44、角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足

45、同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值 e.86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a 0,b 0)(包括圆在内)上有一点 P,过点 P 分别作直线 y=ba x 及 y=-ba x第 16 页 共 29 页的平行线，与 x 轴于 M,N，与 y 轴交于 R,Q.,O 为原点，则：(

46、1)|OM|2+|ON|2=2a2；(2)|OQ|2+|OR|2=2b2.90.过平面上的 P 点作直线 l1:y=ba x 及 l2:y=-ba x 的平行线，分别交 x 轴于 M,N，交 y 轴于 R,Q.(1)若|OM|2+|ON|2=2a2，则 P 的轨迹方程是 x2a2+y2b2=1(a 0,b 0).(2)若|OQ|2+|OR|2=2b2，则 P 的轨迹方程是 x2a2+y2b2=1(a 0,b 0).91.点 P 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a 0,b 0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过 P 引 x 轴、y 轴的平行线，交 y 轴、x 轴于 M,N，交直线 y=-

47、ba x 于 Q,R，记 OMQ 与 ONR 的面积为 S1,S2，则：S1+S2=ab2.92.点 P 为第一象限内一点，过 P 引 x 轴、y 轴的平行线，交 y 轴、x 轴于 M,N，交直线 y=-ba x 于 Q,R，记 OMQ 与 ONR 的面积为 S1,S2，已知 S1+S2=ab2，则 P 的轨迹方程是 x2a2+y2b2=1(a 0,b 0).93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为 2b2a，过焦点最长弦为长轴94.过原点最长弦为长轴长 2a，最短弦为短轴长 2b.95.与椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)有共焦点的椭圆方程为x2a2+y2b2+=1(a

48、 b 0，-b2)96.与椭圆 y2a2+x2b2=1(a b 0)有共焦点的椭圆方程为y2a2+x2b2+=1(a b 0，-b2)97.焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点 F1，F2构成的 PF1F2叫做焦点三角形若 r1=|PF1|，r2=|PF2|，F1PF2=，PF1F2的面积为 S，则在椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)中：当 r1=r2时，即点 P 为短轴端点时，最大；cos=r21+r22-4c22r1r2=r1+r22-2r1r2-4c22r1r2=4b22r1r2-1=2b2r1r2-12b2r1+r222-1=2b2-a2a2=b2-c2a2当且仅当

49、 r1=r2时，等号成立.S=12|PF1|PF2|sin=c|y0|=sin1+cos b2=b2tan 2，当|y0|=b，即点 P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为 bc；PF1F2的周长为 2(a+c)98.AB 为过 F 的焦点弦，则1FA+1FB=2ab299.已知椭圆 :x2a2+y2b2=1 a b 0的左右焦点分别为 F1、F2.椭圆 在点 P 处的切线为 l，Q l.且满第 17 页 共 29 页足 AQF1=0 14.点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角.5.PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是

50、以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设 P 为双曲线上一点，则 PF1F2的内切圆必切于与 P 在同侧的顶点.9.双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的两个顶点为 A1(-a,0),A2(a,0)，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 x2a2+y2b2=1.10.若点 P0(x0,y0)在双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)上，则在点 P0处的切线方程是 x0 xa2-y0yb2=1.11.若 P0(x0,y0)

51、在双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)外，则过 P0作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是 x0 xa2-y0yb2=1.12.若 AB 是双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 kOM kAB=b2a2.13.若 P0(x0,y0)在双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)内，则被 P0所平分的中点弦的方程是 x0 xa2-y0yb2=x02a2-y02b2.14.若 P0(x0,y0)在双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 x2a

52、2-y2b2=x0 xa2-y0yb2.15.若 PQ 是双曲线 x2a2-y2b2=1(b a 0)上对中心张直角的弦，则 1r12+1r22=1a2-1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).第 19 页 共 29 页16.若双曲线 x2a2-y2b2=1(b a 0)上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 Ax+By=1(AB 0),则(1)1a2-1b2=A2+B2;(2)L=2 a4A2+b4B2|a2A2-b2B2|.17.给定双曲线 C1：b2x2-a2y2=a2b2(a b 0),C2：b2x2-a2y2=a2+b2a2-b2 ab2,则(i)对 C1上任意给定的点 P(x0,y

53、0),它的任一直角弦必须经过 C2上一定点 Ma2+b2a2-b2 x0,-a2+b2a2-b2 y0.(ii)对 C2上任一点 P(x0,y0)在 C1上存在唯一的点 M,使得 M 的任一直角弦都经过 P 点.18.设 P(x0,y0)为双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)上一点，P1P2为曲线 C 的动弦,且弦 PP1,PP2斜率存在，记为 k1,k2,则直线 P1P2通过定点 M(mx0,-my0)(m 1)的充要条件是 k1 k2=1+m1-m b2a2.19.过双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b o)上任一点 A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于

54、B,C两点，则直线 BC 有定向且 kBC=-b2x0a2y0(常数).20.双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 为双曲线上任意一点 F1PF2=，则双曲线的焦点角形的面积为 SF1PF2=b2cot 2=b22tan，P acc2+b2cot2 2,b2c cot 2.21.若 P 为双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,PF1F2=,PF2F1=，则 c-ac+a=tan 2 cot 2(或 c-ac+a=tan 2 cot 2).22.双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b

55、o)的焦半径公式：F1(-c,0),F2(c,0)当 M(x0,y0)在右支上时，|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a.当 M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.23.若双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1 0,b 0)上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则|AF2|-2a|PA|+|PF1|,当且仅当 A,F2,P 三点共线且 P 在左支时，等号成立.25.双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)上存在两点关于直线 l：y=k(x-x0)对称的充

56、要条件是 x02(a2+b2)2a2-b2k2 k 0 且 k ab.26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.第 20 页 共 29 页27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P 是双曲线 x=asecy=btan(a 0，b 0)上一点，则点 P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是 e2=11-tan2.29.设 A,B 为双曲线 x2a2-y2b2=k(a 0,b 0，k 0,k 1)上两点，其直线 AB 与双曲线 x2a2-y2b2=1 相交于 P,Q,则 AP=

57、BQ.30.在双曲线 x2a2-y2b2=1 中，定长为 2m(m 0)的弦中点轨迹方程为m2=1-x2a2-y2b2a2cosh2t+b2sinh2t,cotht=-aybx,x=0 时 t=0，弦两端点在两支上x2a2-y2b2-1a2sinh2t+b2cosh2t，cotht=-bxay,y=0 时 t=0，弦两端点在同支上31.设 S 为双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的通径，定长线段 L 的两端点 A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是 AB 中点，则当 l S 时，有(x0)min=a2c+l2e c2=a2+b2,e=ca;当 l 0,b

58、0)与直线 Ax+By+C=0 有公共点的充要条件是 A2a2-B2b2 C 2.33.双曲线(x-x0)2a2-(y-y0)2b2=1(a 0,b 0)与直线 Ax+By+C=0 有公共点的充要条件是 A2a2-B2b2(Ax0+By0+C)2.34.设双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记 F1PF2=,PF1F2=,F1F2P=，则有sin(sin-sin)=ca=e.35.经过双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的实轴的两端点 A1和 A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于 P1和

59、 P2，则|P1A1|P2A2|=b2.36.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(b a 0)，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且 OP OQ.(1)1|OP|2+1|OQ|2=1a2-1b2;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为 4a2b2b2-a2;(3)SOPQ的最小值是a2b2b2-a2.37.MN 是经过双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)过焦点的任一弦(交于两支)，若 AB 是经过双曲线中心 O且平行于 MN 的弦，则|AB|2=2a|MN|.38.MN 是经过双曲线 x2a2-y2b2=1(a b 0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心 O 的半弦

60、OP 第 21 页 共 29 页MN，则2a|MN|-1|OP|2=1b2-1a2.39.设双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0),M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一条直线与双曲线相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1,A2为两顶点)的交点 N 在直线 l：x=a2m 上.40.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MF NF.41.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1

61、P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF.42.设双曲线方程 x2a2-y2b2=1,则斜率为 k(k 0)的平行弦的中点必在直线 l：y=kx 的共轭直线 y=kx上,而且 kk=b2a2.43.设 A、B、C、D 为双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b o)上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为,，直线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在双曲线上,则|PA|PB|PC|PD|=b2cos2-a2sin2b2cos2-a2sin2.44.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0),点 P 为其上一点 F1,F2为双曲线的焦点，F1P

62、F2的内(外)角平分线为 l，作 F1、F2 分别垂直 l 于 R、S，当 P 跑遍整个双曲线时，R、S 形成的轨迹方程是 x 2+y 2=a2 c2y2=a2y2-b2x x c2a2y2-b2 x c2.45.设 ABC 三顶点分别在双曲线 上，且 AB 为 的直径，l 为 AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线 AC、BC 于 E 和 F，又 D 为 l 上一点，则 CD 与双曲线 相切的充要条件是 D 为 EF 的中点.46.过双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|PF|MN

63、|=e2.47.设 A(x1,y1)是双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)上任一点，过 A 作一条斜率为 b2x1a2y1的直线 L，又设 d 是原点到直线 L 的距离,r1,r2分别是 A 到双曲线两焦点的距离，则r1r2d=ab.48.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)和 x2a2-y2b2=(0 0,b 0),A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P(x0,0),则 x0 a2+b2a或 x0-a2+b2a.第 22 页 共 29 页50.设 P 点是双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)上异于实轴端点的任一点,F1

64、、F2为其焦点记 F1PF2=，则(1)|PF1|PF2|=2b21-cos.(2)SPF1F2=b2cot 2.51.设过双曲线的实轴上一点 B(m,o)作直线与双曲线相交于 P、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和 AQ 分 别 交 相 应 于 过 B 点 的 直 线 MN：x=n 于 M，N 两 点,则 MBN=90 a-ma+m=-a2 n-m2b2(n+a)2.52.L 是经过双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)焦点 F 且与实轴垂直的直线，A、B 是双曲线的两个顶点，e是离心率,点 P L，若 APB=，则 是锐角且 sin 1e 或 arcsin 1e(当

65、且仅当|PF|=b 时取等号).53.L 是经过双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的实轴顶点 A 且与 x 轴垂直的直线，E、F 是双曲线的准线与 x 轴交点,点 P L，e 是离心率，EPF=，H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距，则 是锐角且 sin 1e或 arcsin 1e(当且仅当|PA|=abc 时取等号).54.L 是双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)焦点 F1且与 x 轴垂直的直线，E、F 是双曲线准线与 x 轴交点，H是 L 与 x 轴的交点，点 P L，EPF=,离心率为 e，半焦距为 c，则 为锐角且 sin 1e2 或 arcsin 1

66、e2(当且仅当|PF1|=bca2+c2 时取等号).55.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)，直线 L 通过其右焦点 F2,且与双曲线右支交于 A、B 两点，将 A、B 与双曲线左焦点 F1连结起来，则|F1A|F1B|(2a2+b2)2a2(当且仅当 AB x 轴时取等号).56.设 A、B 是双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB=,PBA=,BPA=，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2ab2|cos|a2-c2cos2|.(2)tantan=1-e2.(3)SPAB=2a2b2b2+a2 co

67、t.57.设 A、B 是双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)、外部的两点，且 xA、xB 的横坐标 xA xB=a2，(1)若过 A 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点，则 PBA=QBA；(2)若过 B 引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点，则 PBA+QBA=180.58.设 A、B 是双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)，外部的两点，(1)若过 A 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点，(若 BP 交双曲线这一支于两点，则 P、Q 不关于 x轴对称)，且 PBA=

68、QBA，则点 A、B 的横坐标 xA、xB满足 xA xB=a2；(2)若过 B 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点，且 PBA+QBA=180,则点 A、B 的横坐标满足 xA xB=a2.第 23 页 共 29 页59.设 A,A 是双曲线 x2a2-y2b2=1 的实轴的两个端点，QQ 是与 AA 垂直的弦，则直线 AQ 与 AQ 的交点P 的轨迹是双曲线 x2a2+y2b2=1.60.过双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的右焦点 F 作互相垂直的两条弦 AB、CD,则|AB|+|CD|8ab2|a2-b2|a b；|AB|+|CD|2c2a=4a a=b61.到双

69、曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)两焦点的距离之比等于 c-ab(c 为半焦距)的动点 M 的轨迹是姊妹圆(x ec)2+y2=(eb)2.62.到双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的实轴两端点的距离之比等于 c-ab(c 为半焦距)的动点 M 的轨迹是姊妹圆(x c)2+y2=b2.63.到双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 c-ab(c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆(x a)2+y2=be2(e 为离心率).64.已知 P 是双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)上一个动点，A,A 是它实轴的两个端点,

70、且 AQ AP,AQ AP，则 Q 点的轨迹方程是 x2a2-b2y2a4=1.65.双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66.设双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)实轴的端点为 A,A,P(x1,y1)是双曲线上的点过 P 作斜率为 b2x1a2y1的直线 l，过 A,A 分别作垂直于实轴的直线交 l 于 M,M,则(1)|AM|AM|=b2.(2)四边形 AMAM 面积趋近于 2ab.67.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E，过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A

71、、B 两点,点 C 在右准线 l 上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.68.OA、OB 是双曲线(x-a)2a2-y2b2=1(a 0,b 0,且 a b)的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则(1)直线 AB 必经过一个定点2ab2b2-a2,0.(2)以 OA、OB 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是x-ab2b2-a22+y2=ab2b2-a22(除原点)。69.P(m,n)是双曲线(x-a)2a2-y2b2=1(a 0,b 0)上一个定点，PA、PB 是互相垂直的弦，则(1)直线AB 必经过一个定点2ab2-m(b2+a2)b2-a2,n(a2+b2)b

72、2-a2.(2)以 PA、PB 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨第 24 页 共 29 页迹方程是x-ab2-a2mb2-a22+y-b2nb2-a22=a2b4+n2(a2+b2)(b2-a2)2(除 P 点).70.如果一个双曲线虚半轴长为 b，焦点 F1、F2到直线 L 的距离分别为 d1、d2，那么(1)d1d2=b2，且 F1、F2在L 异侧 直线 L 和双曲线相切,或 L 是双曲线的渐近线.(2)d1d2 b2，且 F1、F2在 L 异侧 直线 L 和双曲线相离，(3)d1d2 0,b 0)的实轴，N 是双曲线上的动点，过 N 的切线与过 A、B 的切线交于 C、D 两点，则梯形

73、 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 x2a2-4y2b2=1(y 0).72.设点 P(x0,y0)为双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的内部(含焦点的区域)一定点，AB 是双曲线过定点 P(x0,y0)的任一弦.(1)如 a b,则当弦 AB 垂直于双曲线实轴所在直线时(|PA|PB|)min=(b2x02-a2y02)-a2b2a2.(2)如 a 0,b 0)上有一点 P，过 P 分别引其渐近线的平行线，分别交 x 轴于 M,N，交 y 轴于 R,Q，O 为原点，则：(1)|OM|ON|=a2；(2)|OQ|OR|=b2.90.过平面上的 P 点作直线 l1:y=b

74、a x 及 l2:y=-ba x 的平行线，分别交 x 轴于 M,N，交 y 轴于 R,Q.(1)若|OM|ON|=a2，则 P 的轨迹方程是 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0).(2)若|OQ|OR|=b2，则 P 的轨迹方程是 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0).91.点 P 为双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)在第一象限的弧上任意一点，过 P 引 x 轴、y 轴的平行线，交 y轴、x 轴于 M,N，交直线 y=-ba x 于 Q,R，记 OMQ 与 ONR 的面积为 S1,S2，则：|S1-S2|=ab2.92.点 P 为第一象限内一点，过 P 引 x 轴、y

75、轴的平行线，交 y 轴、x 轴于 M,N，交直线 y=-ba x 于 Q,R，记 OMQ 与 ONR 的面积为 S1,S2，已知|S1-S2|=ab2，则 P 的轨迹方程是 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)或y2b2-x2a2=1(a 0,b 0)第 26 页 共 29 页七、抛物线的二级结论已知抛物线 y2=2px，(p 0)，焦点为 Fp2,0；准 线 为 l：x=-p2，AA 1 l，BB 1 l；A x1,y1，B x2,y2，x1 x2为抛物线上两点，直线 AB 过焦点 F，倾斜角为，方程可看为 y=k x-p2.P，Q x3,y3分别是 A1B1，AB 的中点，PQ 交抛物

76、线于点 M；OxyBMPQFlAB1A1KHJ1.AF=x1+p2，BF=x2+p2，AB=x1+x2+p2.AB=x1+x2+p=2 x3+p2=2p2sin3.以 AB 为直径的圆与准线 l 相切4.APB=905.A1FB1=906.PF=12 A1B17.AP 垂直平分 A1F8.AP 平分 A1AF9.PF AB10.AF=p1-cos，BF=p1+cos11.1AF+1BF=2p12.在 A 点处的切线为 yy1=p x+x1第 27 页 共 29 页13.AP 是切线，切点为 A14.过抛物线准线上任一点 P 作抛物线的切线，则过两切点 D1、D2的弦必过焦点;并且 PD1 PD

77、1.15.A,O,B1三点共线；B,O,A1三点共线16.y1y2=-p2；x1x2=p2417.AB=x1+x2+p=2p2sin18.SAOB=p22sin；19.S2AOBAB=p23(定值)；20.kAB=2py1+y221.tan=y1x1-p2=y2x2-p222.A1B12=4 AF BF;23.设 CC 交抛物线于点 M，则点 M 是 CC 的中点当抛物线 y2=2px p 0的弦 AB 不过焦点，交 x 轴于点 D m,0(m 0)，设分别以 A，B 为切点的切线相交于点 P，则24.点 P 在直线 x=-m 上25.设 PC 交抛物线于点 M，则点 M 是 PC 的中点26

78、.设点 A、B 在准线上的射影分别是 A1，B1，则 PA 垂直平分 A1F，PB 垂直平分 B1F，从而 PA 平方A1AF，PB 平分 B1BF27.PFA=PFB28.FA FB=PF212.AF=p1-cos；BF=p1+cos；13.BC 垂直平分 BF；14.AC 垂直平分 AF；16.AB 2p；17.CC=12 AB=12AA+BB；18.kAB=Py3；21.CF=12 AB.第 28 页 共 29 页22.切线方程 y0y=m x0+x23、AB 是抛物线 y2=2px p 0焦点弦，Q 是 AB 的中点，l 是抛物线的准线，AA1 l，BB1 l，过A,B 的切线相交于 P，PQ 与抛物线交于点 M则有结论 6PA PB结论 7PF AB结论 8M 平分 PQ结论 9PA 平分 A1AB，PB 平分 B1BA结论 10 FA FB=PF2结论 11 SPABmin=p2二)非焦点弦与切线思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时，也有与上述结论类似结果：结论 12 xP=y1y22p，yP=y1+y22结论 13PA 平分 A1AB，同理 PB 平分 B1BA结论 14PFA=PFB结论 15 点 M 平分 PQ结论 16 FA FB=PF2第 29 页 共 29 页