【七年级上册】1.25 有理数的除法（知识讲解）- （人教版）.docx

1、专题1.25 有理数的除法（知识讲解）【学习目标】1. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；2. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；3. 培养观察、分析、归纳及运算能力. 【要点梳理】知识要点一、.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数特别说明： (2) 0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3) 倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4).互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)知识要点二、 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个

2、不等于0的数，都得0.特别说明：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值知识要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的【典型例题】类型一、有理数的除法运算1.计算：（1）；（2）【答案】（1）4；（2）【分析】根据有理数除法法则，除以一个数等于乘

3、上这个数的倒数，转化成有理数的乘法进行运算，即可得到答案解：（1）；（2）【点拨】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算是解决本题的关键举一反三：【变式1】 计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）；（2）9；（3）；（4）0；（5）；（6）3【分析】原式利用除法法则计算即可得到结果，除以一个数等于乘以这个数的倒数，两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除解：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）【点拨】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握除法运算法则是解本题的关键【变式2】（1）； （2）；（3）； （4）【答案】（1）；（2）；（3

4、）；（4）【分析】（1）（2）（3）利用有理数的除法法则计算即可；（4）先计算括号内的除法，再利用有理数的除法法则计算即可解：（1）；（2）；（3）；（4）【点拨】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键注意：除以一个数等于乘以这个数的倒数【变式3】 计算：（1）； （2）；（3）； （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的相反数进行计算即可解：（1）；（2）；（3）；（4）【点拨】本题考查了有理数的除法，熟知有理数的除法运算法则是解题的关键类型二、有理数加减乘除混合运算2计算：(1)； (2)；(3)； (4)【答案】(1)1 (2)

5、-27 (3)-2 (4)9【分析】（1）把小数化分数，同分母相加，再计算减法即可；（2）先确定积的符号，把带分数化为假分数，计算乘法，再加法即可；（3）先确定积的符号，把带分数互为假分数，然后化除为乘，最后计算乘法即可；（4）利用乘法分配律简算，再计算乘法，最后加法即可(1)解：，=，=，=1；(2)解：，=，=-36+9，=-27；(3)解：，=，=-，=-2；(4)解：，=，=，=9【点拨】本题考查有理数加减乘除混合运算，掌握有理数加减乘除混合运算法则，先乘除，再加减，注意括号的运用是解题关键举一反三：【变式1】计算：（1）； （2）；（3）； （4）【答案】（1）-1；（2）9；（3）

6、192；（4）【分析】（1）把减法变加法，然后从左向右依次计算即可（2）根据加法交换律、加法结合律计算即可（3）根据乘法结合律计算即可（4）根据乘法分配律计算即可解：（1）（2）（3）（4）【点拨】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数四则运算的运算方法、运算律及混合运算的运算顺序是解题关键 【变式2】 计算（1）； （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先将带分数化为假分数，再利用有理数的乘除法法则计算即可；（2）利用乘法分配律计算即可解：（1）；（2）【点拨】本题考查有理数的混合计算，掌握有理数乘除法的法则以及乘法分配律是解题的关键【变式3】计算：（1） （2）【答案】（1）0；（2

7、）1【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可；（2）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可求解解：（1）原式；（2）原式【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算、乘除混合运算，在进行有理数的加减混合运算时，先把减法转化为加法，再运用加法运算律计算可以简化运算；在进行有理数的乘除混合运算时，先将除法转化为乘法运算，再运用乘法运算律计算可以简化运算类型三、用简便方法运算2简便运算：(1) (2)(3) (4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先去括号，然后根据有理数加法的交换律求解即可；（2）根据有理数乘法的分配律求解即可；（3）根据有理数乘法的交换律求解即可；（4）根据有理数乘

8、法的结合律求解即可(1)解：；(2)解：；(3)解：；(4)解：【点拨】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知相关计算法则是解题的关键举一反三：【变式1】用简便方法计算：（1）； （2）【答案】（1）； （2）解：（1）（2）【点拨】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律进行简便运算，掌握乘法分配律是解题的关键【变式2】 能简算的要简算（1） （2）（3） （4）【答案】（1）25；（2）11110；（3）；（4）10【分析】（1）先把小数化为分数，然后根据乘法的结合律进行计算求解即可；（2）先把分数部分和整数部分分别相加然后得到由此求解即可；（3）直接根据分数的混合计算法则进行求解即可；（

9、4）先把小数化为分数，然后根据分数的混合计算法则进行求解即可解：（1）；（2）；（3）；（4）【点拨】本题主要考查了分数与小数的混合计算，分数的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则类型四、巧用乘除“转化思想”解题4、数学老师布置了一道思考题“计算：”小明仔细思考了一番，用下列方法解答了这个问题小明的解答：原式的倒数为，所以(1)请你判断小明的解答是否正确，若正确，请你运用小明的解法解答下面的问题；若不正确，请说明理由(2)计算：【答案】(1)正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；(2)【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可；（2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值(1)解：

10、正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；(2)解：的倒数为，8+4913，则【点拨】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键举一反三：【变式1】请你认真阅读下列材料：计算：解法一：因为原式的倒数=所以原式，解法二：原式（1）上述得出的结果不同，肯定有错误解法，你认为哪种解法是错误的？为什么？（2）根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目：【答案】（1）解法二错误，因为除法没有分配律；（2）【分析】（1）根据除法没有分配律即可识别解法二错误；（2）先求原数的倒数，再利用乘法分配律简算求出结果，然后求出其倒数求出原数即可解：（1）解法二错误，因为除法没有分配律，他利用了除法分配率进

11、行计算肯定出现错误（2）因为原式的倒数为，所以原式【点拨】本题考查除法的巧算，倒数，乘法分配律等知识，熟练掌握上述知识，灵活运用所学知识解决问题是关键【变式2】数学老师布置了一道思考题“计算”小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以 （1）请你通过计算验证小明的解法的正确性；（2）由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于_；（3）请你运用小明的解法计算：【答案】（1）见分析；（2）这个数本身；（3）-3【分析】（1）按小明的解法计算，检查结果是否正确即可；（2）根据题意得出结论即可；（3）仿照已知的方法计算即可解：（1）小明的解法的正确（2）一个非零数的倒数

12、的倒数等于这个数本身（3）【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键【变式3】阅读下列材料：计算：50（）解法一：原式5035045012550解法二：原式50（）50506300上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为 解法是错误的，在学习正确的解法后，请你解答下列问题：（1）计算：（）（）；（2）在材料中，原式的倒数为（）50，你能仿照这个做法求出（）（）的解吗？请写出具体解题过程【答案】一；（1）；（2），见详解.【分析】（1）由题意根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案；（2）由题意根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案，

13、注意最后要还原成倒数.解：因为没有除法分配律，故解法一错误；故答案为：一；（1）（）（）；（2）故（）（）=.【点拨】本题考查有理数的除法，注意掌握有理数的除法应先算括号里面的，再算有理数的除法，同时注意没有除法分配律类型五、有理数除法的应用5、一次体育课上，全班男生进行了百米测验，规定的达标成绩为17秒下面是第一组6名男生的成绩记录：（正数表示超过17秒的秒数，负数表示低于17秒的秒数）0(1)这个小组男生的达标率为_%；(2)求这个小组男生的平均成绩为多少秒？【说明：若不能进行整除，请保留一位小数】【答案】(1)50%(2)16.9秒【分析】（1）根据题意得：达标的有3人，然后用3除以6乘

14、以100%，即可求解；（2）表格中的数据的和除以6，再加上17，即可求解解：(1)根据题意得：达标的有3人，所以这个小组男生的达标率为(2)这个小组男生的平均成绩为（秒）【点拨】本题主要考查了有理数混合运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键举一反三：【变式1】大商超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：A如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠；B如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠（1）李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，他应付多少元钱？（2）王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198元和554元，如果王阿姨一次

15、性购买，只需要付款多少元？能节省多少元？【答案】（1）他应付钱674元；（2）王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元【分析】（1）根据780元500元，分两部分计算500元九折+超过部分八折计算即可；（2）先求出两次构买物品的标价，将两次物品标价求和，再按一次性购物计算500元九折+超过部分八折，再计算王阿姨两次购物付款总和-一次性付款即可解：（1）李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，780元500元，他应付钱为：5000.9+（780-500）0.8=450+224=674元；（2）王阿姨第一次去该超市购物付款198元，该物品标价为1980.9=220元，第二次去该超

16、市购物付款554元，554-450=104，4500.9+1040.8=500+130=630元，两次购物标价为220+630=850元，王阿姨应付钱为：5000.9+（850-500）0.8=450+280=730元，198+554-730=22元，王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元【点拨】本题考查商品打折问题，掌握分类计算标准和计算方法是解题关键【变式2】某公司去年13月份平均每月盈利2万元，46月份平均每月亏损万元，710月份平均每月亏损万元，1112月份平均每月盈利万元(假设盈利为正，亏损为负)（1）该公司去年一年是盈利还是亏损？（2）该公司去年平均每月盈利(或亏损)多少万元？【答案】（1）该公司去年一年是盈利的（2）该公司去年平均每月盈利0.2万元【分析】（1）把一年盈利与亏损的相加，由和为正数或是负数可得结论；（2）把一年的总盈利或总亏损除以12即可得到结论.解：（1）根据题意，得23342(万元)答：该公司去年一年是盈利的（2）(万元)答：该公司去年平均每月盈利0.2万元【点拨】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减运算，乘法运算，除法运算的实际应用，理解题意列出正确的运算式是解题的关键.