【七年级下册】9.1 不等式及其基本性质（知识讲解）-七年级数学下册（人教版）.docx

1、专题9.1 不等式及其基本性质（知识讲解）【学习目标】1了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“”、 “”、“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式用“”表示不等关系的式子也是不等式特别说明：(1)不等号“”或“”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“”

2、读作“大于”表示左边的量比右边的量大“”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如34，-1-2；有些不等式中含有未知数，如2x5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立要点二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集特别说明：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式

3、的解集是一个集合，是一个范围其含义：解集中的每一个数值都能使不等式成立能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示如：不等式x-26的解集为x8(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解如图所示：特别说明：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆

4、圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，xa或xa向右画；对边界点a而言，xa或xa向左画注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，那么acbc不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据

5、，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变【典型例题】类型一、不等式的定义识别列不等式1老师在黑板上写了下列式子：；你认为其中是不等式的有（）A2个B3个C4个D5个【答案】C【分析】根据不等式的定义，依次分析即可解：用不等号表示大小关系的式子叫做不等式，其中常用不等号有：“”，属于不等式的为：，共有4个故选：C【点拨】本题主要考查不等式的定义，用“”或“”或“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不

6、等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式举一反三：【变式】下面给出6个式子：30；4x3y0；x5；ab；x38；3x0，其中不等式有（）A2个B3个C4个D5个【答案】C【分析】依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断解：30；4x+3y0；x+38；3x0，这些都是不等式，共有4个，故选：C【点拨】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式解答此类题关键是要识别常见不等号：，2有两种商品其单价总和超过100元，且甲商品的单价是乙商品单价的2倍少10元，设未知数，并用不等式表示出上述关系；【答案】设乙商品的价格为x

7、元，x+2x-10100【分析】设乙商品的价格为x元，表示出甲商品的价格，然后根据两商品的单价总和超过100元，列不等式即可解：设乙商品的价格为x元，则甲商品的价格为（2x-10）元，由题意得，x+2x-10100即不等式为：x+2x-10100【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式举一反三：【变式】通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄；通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量的部位，某棵树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，这棵树至少生长多少年，

8、其树围才能超过2.4m？根据题意，完成下面填空：（1）题目涉及的两个有关系的量，分别是：_；（2）设生长年份为x，则树围用x表示为：_；（3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：_；（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系：_；【答案】（1）生长年份，树围；（2）5+3x；（3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；（4）5+3x240【分析】（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围；（2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)m；（3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；（4）由题意可得5+3x2.4100.解：（1）由题可知两个

9、有关系的量分别是生长年份和树围；故答案为生长年份，树围；（2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)cm；故答案为5+3x；（3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；故答案为这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系为：5+3x2.4100，故答案为5+3x240【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式类型二、不等式的解集理解与认识数轴上表示解集3下列各数

10、中，哪些是不等式x24的解？哪些不是？3，1，0，1，2，3，4.【分析】将题中所给的数据代入不等式进行判断即可.解：把题中各数分别代入不等式x24，得3，1，0，1，是不等式x24的解，2，3，4不是不等式x24的解【点拨】不等式的解是指在含有未知数的不等式中，能够使不等式成立的未知数的值；举一反三：【变式】由于小于6的每一个数都是不等式x16的解，所以这个不等式的解集是x6.这种说法对不对？【答案】这种说法是错的试题分析：由10是不等式的解，但10大于6结合“不等式的解集是不等式所有解的集合”即可说明题中说法是错误的.解：当时，10是不等式的一个解，10不在的范围内，不等式的解集是的说法是

11、错误的.4把下列不等式的解集在数轴上表示出来(1) x3；(2) x1；(3) x3；(4) x.【答案】(1) (2) (3) (4) 试题分析：将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可.解：（1）将表示在数轴上为：（2）将表示在数轴上为：（3）将表示在数轴上为：（4）将表示在数轴上为：【点拨】将不等式的解集表示在数轴上时，需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；（2）“或（）时”，数轴上表示数“”的点用“空心圆圈”，“（或）时”，数轴上表示数“”的点用“实心圆点”.举一反三：【变式】不等式的解集x3与x3有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这

12、两个解集表示出来【答案】见分析试题分析：不等式和的解集的不同之处：前者的解集中不包含3，后者的解集中包含3；在数轴上表示这两个解集时，前者表示数3的点用“空心圆圈”，后者表示数3的点用“实心圆点”.解：（1）不等式和的解集的不同之处：前者的解集中不包含3，后者的解集中包含3；（2）在数轴上表示不等式和的解集时，前者表示数3的点用“空心圆圈”，后者表示数3的点用“实心圆点”；（3）将表示在数轴上为：将表示在数轴上为：.类型三、不等式的基本性质用不等式性质解不等式比较大小5按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式(1) ，两边同加上y(2) ，两边同乘(3) ，两边同除以(4) ，两边

13、同加上，再同除以7【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即可得到答案；（2）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案；（3）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案；（4）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案（1）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得：；（2）解：根据不等式的基本性质，不等式

14、两边同时乘，可得；（3）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以，可得：；（4）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得，再同时除以7，可得：【点拨】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键举一反三：【变式】已知xy4（1）当时，则y的取值范围是_（2）当，Sxy，则S的取值范围_【答案】 【分析】（1）根据得到，再由解关于的不等式即可；（2）根据，将变形为，结合得到；将变形为，结合得到，即可得出结论解：（1），即，故答案为：；（2），综上所述：S的取值范围是，故答案为：【点拨】本题考查利用不等式的性质求代数式的范围，结合题中条件，采取恰当的变形是解决问题的

15、关键6已知，求的最小值【答案】【分析】由，得到，再由，得到，即可得到答案解：，即，即，的最小值为【点拨】此题考查了整式的加减，不等式的基本性质等知识，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键举一反三：【变式1】先阅读下面的解题过程，再解题已知，试比较与的大小解：因为，所以，故(1) 上述解题过程中，从步骤_开始出现错误；(2) 请写出正确的解题过程【答案】(1) (2) -2022a1-2022b1【分析】（1）由题意ab，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故错误；（2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解解：（1）由题意得错误，根据不等式两边乘以负数，不等式号

16、改变即可判断；故答案为：；（2）因为，所以-2022a-2022b，故-2022a1-2022b1【点拨】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键【变式2】王老师在小结时总结了这样一句话“对于任意两个正数a，b，如果，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小解：，参考上面例题的解法，解答下列问题：(1) 比较与的大小；(2) 比较与的大小【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法，对两个根式进行平方，比较平方后的两数的大小即可得出结论（2）根据题中所给方法，对两个根式进行平方，比较平方后的两数的大小即可得出结论（1），（2） ，【点拨】本题考查二次根式的性质与化简、

17、不等式的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质类型三、不等式及其基本性质综合应用7下列变形是怎样得到的？（1）由，得； （2）由，得；（3）由，得【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析【分析】（1）两边除以再减去得到结果；（2）两边减去再除以得到结果；（3）两边除以加上再乘以得到结果.解：（1），两边除以得：，两边减去得：；（2），两边减去得：，两边除以得：；（3），两边除以得：，两边加上得：，两边乘以得：.【点拨】此题考查不等式的性质：不等式的两边加（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同

18、一个负数，不等号的方向改变.举一反三：【变式】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：(1) 若ab0，则a b；(2) 若ab0，则a b；(3) 若ab0，则a b.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较43a22bb2与3a22b1的大小【答案】（1）；（2）=；（3）；（4）43a22bb23a22b1【分析】（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；（2）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，结果仍是等式，等式的两边同时加上b即可；

19、（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；（4）求出4+3a22b+b2与3a22b+1的差的正负，即可比较4+3a22b+b2与3a22b+1的大小解：（1）因为ab0，所以ab+b0+b，即ab；（2）因为ab=0，所以ab+b=0+b，即a=b；（3）因为ab0，所以ab+b0+b，即ab（4）（4+3a22b+b2）（3a22b+1）=4+3a22b+b23a2+2b1=b2+3因为b2+30，所以4+3a22b+b23a22b+1故答案为、=、4+3a22b+b23a22b+1【点拨】（1）本题考查了不等式的基本

20、性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变（2）此题还考查了“求差法比较大小”方法的应用，要熟练掌握8已知，其中a，b，c是常数，且.（1）当时，求a的范围.（2）当时，比较b和c的大小.（3）若当时，成立，则的值是多少？【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）将代入不等式，即可解出a的范围；（2）当时，可知，根据不等式的性质可得出b和c的大小关系；（3）当时，可知，根据不等式的性质可得，即，结合可知，即可求出的值

21、.解：（1）将代入不等式得，解得（2）当时，不等式两边同除以得（3）当时，不等式两边同除以得又【点拨】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.举一反三：【变式】阅读下列材料：数学问题：已知，且，试确定的取值范围问题解法：，又，又，同理得由得，的取值范围是完成任务：（1）在数学问题中的条件下，写出的取值范围是_（2）已知，且，试确定的取值范围；（3）已知，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）【答案】（1）；（2）的取值范围是；（3）的取值范围是【分析】（1）仿照例子，根据不等式的基本性质即可求解；（2）仿照例子，注意由0y1到-1-y0的转化，再由不等式同号可加性进行求解；（3）仿照例子，注意确定不等式有解集时，a的取值范围，因此要先确定当a-2时，关于x、y的不等式存在解集解：（1），故答案为（2），又，又，同理得，的取值范围是（3），又，又，当时，同理得，当时，的取值范围是【点拨】本题考查不等式的性质；能够根据例子，仿照例子结合不等式的基本性质解题，注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件