【世纪金榜】2022届高考数学总复习 课时提升作业(二十一) 3.7正弦定理和余弦定理 文 新人教A版.docx

1、课时提升作业(二十一)正弦定理和余弦定理一、选择题(每小题5分,共25分)1.在ABC中,B=45,C=60,c=2,则最短边的长为()A.B. C.1D.【解析】选A.因为B=45,C=60,所以A=180-(B+C)=75,BCc,即AC,故C为锐角,所以C=.【误区警示】本题容易由sin C=得sin C=,没有利用ac判断AC,就得出C=或.从而导致增解.3.(2022温州模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=()A.30B.60C.120D.150【解析】选A.因为sin C=2sin B,所以由正弦定理得c=2b,

2、因为a2-b2=bc,所以a2=b2+b2b=7b2,即a=b,cos A=因为0A0),则cos B=4.(2022海淀模拟)在ABC中,a=3,b=4,sin A=,则sin C=()A.1B.1或C.1或-D.1或【解题提示】先由正弦定理求sin B,再由内角和定理转化求sin C.【解析】选B.因为,所以sin B=,因为ba,所以BA,故A为锐角,B为锐角或钝角,所以cos A=当B为锐角时,cos B=此时sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=1.当B为钝角时,cos B=此时,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin

3、 B=故选B.【误区警示】解答本题易误选A.出错的原因是求出sin B的值后,没有根据ab讨论B为钝角的情况.5.(2022临沂模拟)在ABC中,若sin Bsin C=cos2,且sin2B+sin2C=sin2A,则ABC是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【解题提示】把每个等式化简变形,逐一进行判断.【解析】选D.因为sin Bsin C=cos2=,所以2sin Bsin C=1+cos-(B+C)=1-cos(B+C)=1-cos Bcos C+sin Bsin C,即cos Bcos C+sin Bsin C=1,所以cos(B-C)=1.因为B,C是

4、ABC的内角,所以B-C=0,即B=C,又因为sin2B+sin2C=sin2A,即b2+c2=a2.所以A=90,故ABC为等腰直角三角形.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=,c=2,则b=.【解析】由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=4+12-222cos=16-12=4,所以b=2.答案:2【加固训练】若A=60,a=7,b=5,则c=.【解题提示】直接用余弦定理列出关于c的方程求解.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,所以49=25+c2-25ccos 60,即c2-5c-24=0,解得

5、c=8(c=-3舍去).答案:87.(2022中山模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos A=bsin B,则sin 2A+cos 2B=.【解题提示】化边为角,把二倍角化为单角,利用整体代入的方法求值.【解析】由正弦定理,得sin Acos A=sin2B,sin 2A+cos 2B=2sin Acos A+2cos2B-1=2sin2B+2cos2B-1=2(sin2B+cos2B)-1=1.答案:18.已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是.【解题提示】由较大的边对的角都是锐角,根据余弦定理列不等式组求解.【解析】因为23,所以只需即5x20

6、,所以x.答案:(,)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022安徽高考)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值.(2)求sin(A+)的值.【解题提示】根据三角函数的和角、倍角公式及正、余弦定理解答.【解析】(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B,由正、余弦定理得a=2b,因为b=3,c=1,所以a2=12即a=2.(2)由余弦定理得cos A=因为0A,所以sin A=故sin(A+)=sin Acos+cos Asin=10.(2022大连模拟)在ABC中,a2+c2-b2=ac,(1)求角

7、B的大小.(2)求sin Asin C的最大值.【解题提示】(1)由余弦定理求B的大小.(2)利用内角和定理消元,转化成关于C或A的三角函数,然后求函数的最大值.【解析】(1)在ABC中,由已知和余弦定理,cos B=因为B(0,),所以B=.(2)在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin(A+)=sin A+cos A,所以sin Asin C=sin A(sin A+cos A)=(sin2A+sin Acos A)=sin(2A-)+,因为02A,所以-2A-,故当A=时,sin Asin C有最大值.【加固训练】(2022天津模拟)已知锐角ABC中,角A,B,C对应的边分别为a

8、,b,c,tan A=(1)求A的大小.(2)求cos B+cos C的取值范围.【解析】(1)由余弦定理知b2+c2-a2=2bccos A,所以tan A=因为A(0,),所以A=.(2)因为ABC为锐角三角形且B+C=,所以B=-C,cos B+cos C=cos B+cos(-B)=cos B+cos cos B+sin sin B=cos B+sin B=sin(B+).因为B+,所以sin(B+)1,即cos B+cos C的取值范围是(,1.(20分钟40分)1.(5分)(2022新课标全国卷)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0

9、,a=7,c=6,则b=()A.10B.9C.8D.5【解析】选D.因为23cos2A+cos 2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos2A=,因为ABC为锐角三角形,所以cos A=,sin A=.由正弦定理得,sin C=,cos C=.又B=-(A+C),所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=由正弦定理得, ,解得b=5.【一题多解】本题还可如下解答选D.因为23cos2A+cos 2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,因为ABC为锐角三角形,所以cos A=,由余弦定理,得a2=b2+c2-2b

10、ccos A,即49=b2+36-b,5b2-12b-65=0,解得b=5或b=- (舍去),故b=5.2.(5分)(2022合肥模拟)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos 2B+cos B+cos(A-C)=1,则()A.a,b,c成等差数列B.a,b,c成等比数列C.a,c,b成等差数列D.a,c,b成等比数列【解析】选B.由cos 2B+cos B+cos(A-C)=1变形得:cos B+cos(A-C)=1-cos 2B,因为cos B=cos-(A+C)=-cos(A+C),cos 2B=1-2sin2B,所以上式化简得:cos(A-C)-cos(A+C)=2si

11、n2B,所以2sin Asin C=2sin2B,即sin Asin C=sin2B,由正弦定理得:ac=b2,则a,b,c成等比数列.故选B.3.(5分)在ABC中,若b=50,c=150,B=30,则a=.【解题提示】先由正弦定理求角C,再求角A,最后求a.【解析】由=得sinC=.又bb2+c2,A90.锐角三角形:若a为最大边,且满足a2b2+c2或A为最大角,且A90.5.(13分)(2022湖南高考)如图,在平面四边形ABCD中,DAAB,DE=1,EC=,EA=2,ADC=,BEC=.(1)求sinCED的值.(2)求BE的长.【解题提示】利用正余弦定理和三角变换公式求解.【解析】设CED=,(1)在CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CDDEcosEDC,于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).在CDE中,由正弦定理,得=,于是,sin=,即sinCED=.(2)由题设知,0,于是由(1)知,cos=,而AEB=-,所以cosAEB=cos=coscos+sinsin=-cos+sin=-+=.在RtEAB中,cosAEB=,所以BE=4.