湖南省名校联考联合体2023-2024学年高二上学期第三次联考数学试题.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司名校联考联合体 2023 年秋季高二年级第三次联考数学（A 卷）时量：120 分钟满分：150 分（考试范围：必修第一册必修第二册选择性必修一，选择性必修二至第五章 5.2）得分：_.一选择题；本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数()()34i 1 2iz=+，则 z=（）A.5 B.5 5 C.10 D.10 5 2.已知集合 48,17321AxxBxx=时，()341 logf xxx=+，则()3f=（）A.-10 B.10 C.-12 D.12 4.已知函数()()230e1xf

2、xfxx=+（()fx是()f x 的导函数），则()()00ff+=（）A.32 B.32 C.12 D.12 5.敲击如图 1 所示的音叉时，在一定时间内，音叉上一点 P 离开平衡位置的位移 y 与时间t 的函数关系为sin(0)yAt=.图 2 是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定,A 的值分别为（）A.1,4001000 B.1,4001000 C.1,800500 D.1,800500 6.如图，将一个圆柱()2n nN等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n 越大，重新组合成的几何休就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了 20，若

3、新几何体的高为5，则圆柱的体积为（）学科网（北京）股份有限公司 A.5 B.10 C.20 D.30 7.已知直线3yx=与曲线()ln 32yxa=+相切，则 a 的值为（）A.14 B.15ln 33+C.2 D.1 8.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体.如图，已知一个正八面体 ABCDEF 的棱长为1,P 为棱 AE 的中点，13DQDA=，设直线 FP 与CQ 的夹角为，则 tan=（）A.263 B.3 2626

4、C.216 D.156二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得.5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.已知实数0abc，则下列不等式正确的是（）A.acbc B.abbc C.22acbc D.11acbc 10.为了解各种 APP 的使用情况，将使用人数排名前 5 的数据整理得到如下的柱状图，则（）学科网（北京）股份有限公司A.APP 使用人数最多的是微信 B.微信 APP 的使用人数超过今日头条 APP 的使用人数的 2 倍 C.微信 APP 的使用人数超过今日头条 APP 与快手 APP 的使用人数之

5、和 D.抖音 APP 的使用人数大于快手 APP 的使用人数的 125%11.对于数列 na，若()*22222,4nnaaan n+=+=N，则下列说法正确的是（）A.66a=B.数列 na是等差数列 C.数列42na是等差数列 D.4162nan=12.已知双曲线22:11122xyC=与椭圆22:1xyk+=有公共的焦点12,F F，N 是双曲线C 的一条浙近线上的一点，O 是椭圆 的对称中心，点 P，Q 分别为,C上的动点，,N P 位于 y 轴的同侧，且Q 不在 x 轴上，则（）A.2k=B.0,2PON C.当 P 为C 与 的交点时，121cos3F PF=D.120,2FQF三

6、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量()()1,3,2,4atb=+=，且()3ab a，则 a=_.14.等比数列 na的 n 前项和为nS，若510133SS=，则1098aaa=+_.15.已知直线 1:40lxy+=，直线 2l 过点134,2且与直线 1l 相互垂直，圆22:6430C xyxy+=，若直线 2l 与圆C 交于,M N 两点，则 MN=_.16.如图，在棱长为 3 的正方体1111ABCDA B C D中，M 在线段 BC 上，且1,3CMBC N=是侧面11CDD C上一点，且 MN 平面1A BD，则线段 MN 的最大值为_.学科

7、网（北京）股份有限公司四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文宇说明证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知 na是各项均为正数的等比数列，14a=，且123,18,a aa+成等差数列.（1）求 na的通项公式；（2）设4411loglognnnbaa+=，求数列 nb的前 n 项和.18.（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 n 项和为()*21,2nnnnSaaan+=N，且2466,21aaS+=.（1）求数列 na的通项公式；（2）若1,2,nnnaa nbn=为奇数为偶数求数列 nb的前2n 项和2nT.19.（本小题满分 12 分）在 ABC中，

8、角,A B C 的对边分别为,a b c，且()()sinsin cossincos3aACBA bCc+=.（1）求 B；（2）若 D 是 AC 边上一点，且13BDCDb=，设边 AC 上的高为h，求 hc.20.（本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，PA 平面,ABCD FB,22,PA PAABFB E=为 PA 的中点，O 为BDE的外心.学科网（北京）股份有限公司（1）求证：AO 平面 PCF；（2）求平面 PCF 与平面 BCF 夹角的余弦值.21.（本小题满分 12 分）已知函数()()()33,f xxax g xbxxa b=+=R.（1）若曲线()yf

9、 x=在1x=处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于曲线()yg x=在1x=处的切线与坐标轴围成的三角形的面积，试判断a 与b 之间的关系；（2）若6ba=，是否存在直线l 与曲线()yf x=和()yg x=都相切？若存在，求出直线l 的方程（若直线l 的方程含参数，则用a 表示）；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分 12 分）已知斜率为 12的直线与抛物线2:2(0)C xpy p=相交所得的弦中点的横坐标为 1.（1）求抛物线C 的方程；（2）点,S T 是曲线C 上位于直线1y=的上方的点，过点,S T 作曲线C 的切线交于点Q，若 F 为抛物线C的焦点，以 ST 为直径的圆经

10、过点 F，证明：45SQT=.学科网（北京）股份有限公司名校联考联合体 2023 年秋季高二年级第三次联考数学（A 卷）参考答案一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.题号123456789101112答案BACDBCDACDADACABC1.B 【解析】因为()()234i 1 2i36i4i8i11 2iz=+=+=，所以221125 5z=+=.故选 B.2.A 【解析】因为17321 210Bxxxx=，又 48Axx=，所以()()210,210,ABxxAB=的最小正周期为T，则 334800T=，解得120

11、0T=，则 21200=，解得400=.故选 B.6.C 【解析】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，设圆柱的底面半径为r，高为h，则220rh=，则10rh=，因为新几何体的高为 5，所以圆柱的高为 5，即5h=，解得2r=，所以圆柱的体积为220Vr h=.故选 C.7.D 【解析】设切点坐标为()00,3xx，因为()ln 32yxa=+，所以33yxa=，所以切线的斜率0333kxa=，又()003ln 32xxa=+，即03ln12x=+，解得023x=，所以由031xa=，得031ln12 11ax=+=.故选 D.8.A 【解析】由题意，12,23FP

12、FEEPACAE CQAQACADAC=+=，又由正八面体 ABCDEF 的棱长都是 1，且各个面都是等边三角形，在 ACE中，由1,2ACAECE=，可得222ACAECE+=，所以 ACAE，学科网（北京）股份有限公司所以2122233FP CQACAEADACAC ADAC=+211211111 111 103232322AE ADAE AC+=+=，22222111101244FPACAEACAC AEAE=+=+5;2=22222244441711 11;3939323CQADACADAD ACAC=+=+=所以13 352coscos,355723FP CQFP CQFP CQ=，

13、所以26sin35=，则26sin35tancos3 3535=263.故选 A.二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.CD 【解析】对于 A 项，因为0,0abc，所以acbc，此时27abbc=，故 B 错误；对于 C 项，因为0c，又0ab，所以22acbc，故 C 正确；对于 D 项，由 A 得0acbc，故 D 正确.故选 CD.10.AD 【解析】对于 A 项，APP 使用人数最多的是微信，故 A 正确；学科网（北京）股份有限公司对于 B 项，微信 AP

14、P 的使用人数占 7 格，今日头条 APP 的使用人数占近 4 格，所以微信 APP 的使用人数小于今日头条 APP 的使用人数的 2 倍，故 B 错误；对于 C 项，微信 APP 的使用人数占 7 格，今日头条 APP 的使用人数占近 4 格，快手 APP 的使用人数占 4格，所以微信 APP 的使用人数小于今日头条 APP 与快手 APP 的使用人数之和，故 C 错误；对于 D 项，抖音 APP 的使用人数占 5 格多，快手 APP 的使用人数占 4 格，则快手 APP 的使用人数的125%等于 5 格，所以抖音 APP 的使用人数大于快手 APP 的使用人数的125%.故 D 正确.故选

15、 AD.11.AC 【解析】由()*22224,2nnaan na+=N，得426442,86aaaa=，故 A 正确；又()22222244,41nnnnaan aan+=+=+，两式相减得2424nnaa+=，令*1121,nnn=N，可得1142424nnaa+=，所以 na不是等差数列，42na是等差数列，故 B 错误，C 正确；同理，令*112,nn n=N，则114444nnaa+=，所以4na是以42a=为首项，公差为 4 的等差数列，所以()421442nann=+=，故 D 错误.故选 AC.12.ABC 【解析】双曲线22:11122xyC=的焦点为()()121,0,1,

16、0FF，则211k =，解得2k=，故 A 正确；双曲线22:11122xyC=的渐近线方程为 yx=，如图，设 M（与 N 点位于 y 轴的同侧）是双曲线C 的另一条渐近线上的一点，则()0,PONMON，因为2MON=，所以0,2PON，故 B 正确；学科网（北京）股份有限公司当 P 为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，12122 2,2PFPFPFPF+=，解得123 22,22PFPF=，又122F F=，在12F PF中，由余弦定理得222121212121cos23PFPFF FF PFPFPF+=，故 C 正确；设12,QFm QFn=，则2 2mn+=，则

17、由余弦定理得22222212122cos22mnF FmnFQFmnmn+=()222()24(2 2)2442222111222(2)22 2mnmnmnmnmnmnmnmnmmm+=+，由()21,21m+，得()21,1m ，得)2(2)0,1m，得(2(2)1,0m，得(2(2)21,2m+，得)221,2(2)2m+，得)2210,1(2)2m+，即12cosFQF)0,1，所以120,2FQF.故 D 错误.故选ABC.三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.5 【解析】()()()33 1,32,45,35abtt=+=+，因为()3ab a，所以()()

18、135530tt+=，解得5t=，所以()221,2,1(2)5aa=+=.14.43 【解析】设等比数列 na的公比为q，首项为1a，且0q，若1q=，则510511033SS=，与题设矛盾，所以1q.则()()515510101111113311aqSqSqaqq=+，解得2q=，所以()222210889888824112 13aa qa qqaaa qaaqq=+.15.47 【解析】由直线 1:40lxy+=，可得斜率114k=，因为 12ll且直线 2l 过点134,2，所以直线 2l 的斜率为24k=，所以 2l 的方程为()13442yx=+，化简得82450 xy+=，又由圆

19、学科网（北京）股份有限公司22:643C xyxy+=0，即22:(3)(2)16Cxy+=，可得圆C 的圆心坐标为()3,2C，半径为4r=，则圆心C 到直线 2l 的距离为()()228322451728(2)d+=+，所以弦长22221722 4472MNrd=.16.14 【解析】如图，在线段CD 上取一点 E，使得13CECD=，在线段1DD 上取一点 F，使得1113D FDD=，连接1,ME EF CD，因为1113D FCMCEBCCDDD=，所以 ME,BD EF 1CD，又1A B 1CD，所以 EF 1A B，因为 ME 平面1,A BD BD 平面1A BD，所以 ME

20、 平面1A BD，同理，因为 EF 平面11,A BD A B 平面1A BD，所以 EF 平面1A BD，又 MEEFE=，所以平面 MEF 平面1A BD，因此，N 在线段 EF 上.因为22222112,13214MEMF=+=+=，所以线段 MN 的最大值为 14.四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）设 na的公比为q，由 na的各项均为正数知0q，因为123,18,a aa+成等差数列，所以()132218aaa+=+，又14a=，所以()2442 418qq+=+，化简得()()240qq+=，解得4q=或2q=（舍去

21、），故 na的通项公式为14 44nnna=.学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知()14414411111logloglog 4 log 411nnnnnbaan nnn+=+，设 nb的前n 项和为nS，则11111111112231111nnSnnnnnn=+=+.18.【解析】（1）由212nnnaaa+=，得211nnnnaaaa+=，所以数列 na为等差数列.设数列 na的公差为d，由2466,21,aaS+=得11246,6 5621,2adad+=+=解得11,1,ad=所以()111nann=+=.（2）当n 为奇数时，nnban=；当 n 为偶数时，1122nannb

22、=，所以()()()()321213212421 321222 nnnnTbbbbbbn=+=+212223nn+=+.19.【解析】（1）因为()()sinsin cossincos3aACBA bCc+=，所以2sinsin sin cossin sin cos3sin sinAACBABCAC+=，又()0,A，所以sin0A，所以sinsin cossin cos3sinACBBCC+=，所以()sinsin cossin cos3sinBCCBBCC+=，所以sin cossin cossin cossin cos3sinBCCBCBBCC+=，所以2sin cos3sinCBC=，

23、又()0,C，所以sin0C，所以3cos2B=.又()0,B，所以56B=.学科网（北京）股份有限公司（2）在 BCD中，由余弦定理得22222229cos22BDCDBCbaBDCBD CDb+=，在 ABD中，由余弦定理得22222259cos24BDADABbcBDAAD BDb+=，因为180BDCBDA+=，所以coscosBDCBDA=.即222222295924babcbb=，整理得2222bca=.在 ABC中，由余弦定理得2223cos22acbBac+=，则23222aaacc=，所以3ac=.所以2226bcc=，即7bc=.所以11sin22ABCSacBbh=，即

24、11137222c cch=，解得2114hc=，则2114hc=.20.【解析】（1）因为2,PAFB E=为 PA 的中点，所以 PEFB=，又 FB PE，所以四边形 PEBF 是平行四边形，所以 PF EB，又 PF 平面,BDE EB 平面 BDE，所以 PF 平面 BDE.连接 EF，如图所示，同理，易证四边形 ABFE 是平行四边形，所以 EFAB，又CDAB，所以 EF CD，所以四边形 EFCD 是平行四边形，所以CF DE，又CF 平面,BDE DE 平面 BDE，所以CF 平面 BDE.又 PFCFF=，所以平面 PCF 平面 BDE.学科网（北京）股份有限公司因为四边形

25、 ABCD 是正方形，PA 平面,2,ABCD PAAB E=为 PA 的中点，所以,AB AD AE 两两互相垂直，且 ABADAE=，所以由勾股定理可知 BDBEDE=，则三棱锥 ABDE是正三棱锥，那么 BDE的外心O 就是 BDE的中心，也是 A 在底面 BDE 上的垂心，所以 AO 平面 BDE，所以 AO 平面 PCF.（2）以 A 为原点，,AD AB AP 分别为,x y z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设222PAABFB=，则1ABADFB=，则点()()()()0,0,2,1,1,0,0,1,1,0,1,0PCFB，则()()1,1,2,0,1,1PCPF=

26、.设平面 PCF 的法向量为(),nx y z=，则 由()()()(),1,1,220,0,1,10,n PCx y zxyzn PFx y zyz=+=得,xzyz=令1z=，得平面 PCF 的一个法向量为()1,1,1n=；又易知平面 BCF 的一个法向量为()0,1,0m=；设平面 PCF 与平面 BCF 夹角大小为，则(0,1,0)(1,1,1)3cos|313m nm n=，所以平面 PCF 与平面 BCF 夹角的余弦值为33.21.【解析】（1）()()223,3fxxa gxbx=+，曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线斜率为()13fa=+，学科网（北京）股份有限公

27、司曲线()yg x=在点()()1,1g处的切线斜率为()13gb=，又()()11,11fa gb=+=，曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线方程为()()()131yaax+=+，即()32;ya x=+令0 x=，得2y=；令0y=，得23xa=+，则切线()32ya x=+与坐标轴的交点分别为()20,2,03a+，切线()32ya x=+与坐标轴围成的三角形的面积为11222233Saa=+；曲线()yg x=在点()()1,1g处的切线方程为()()()131ybbx=，即()32ybx=+，令0 x=，得2y=；令0y=，得23xb=，则切线()32ybx=+与坐标轴的

28、交点分别为()20,2,03b，切线()32ybx=+与坐标轴围成的三角形的面积为21222233Sbb=；由题意，2233ab=+，所以ab=或6ba=.（2）设直线l 与曲线()yf x=相切于点()11,A x y，与曲线()yg x=相切于点()22,B xy，()()223,3fxxa gxbx=+，曲线()yf x=在点 A 处的切线为()()()3211113yxaxxaxx+=+，即()231132yxa xx=+，曲线()yg x=在点 B 处的切线为()()()3222223ybxxbxxx=，即()232232ybxxx=+，则2212331233,22,xabxxx+=

29、则221212336,xxbaxx+=所以2166x=，解得121,1,xx=或121,1,xx=当121,1xx=时，直线():32;l ya x=+学科网（北京）股份有限公司当121,1xx=时，直线():32;l ya x=+故存在直线l 与曲线()yf x=和()yg x=都相切，直线l 的方程为()32ya x=+或()32ya x=+.22.【解析】（1）设弦的两端点分别为()(),AABBA xyB xy，则12,2ABABAByyxxxx+=，则222,2,AABBxpyxpy=得()222ABABxxp yy=，得()()()2ABABABxxxxp yy+=，得2ABABA

30、Byyxxp xx+=，即1222p=，解得2p=，故抛物线C 的方程是24xy=.（2）设221212,44xxS xT x，又()0,1F，则221212,1,144xxFSxFTx=，因为以 ST 为直径的圆经过点 F，所以 FSFT，则22121211044xxFS FTx x=+=，即22221212121164x xxxx x+=，则()222212121216416x xxxx x+=+.由24xy=，有2xy=，过点211,4xS x的切线的斜率为112xk=，则切线 SQ 的方程为()211142xxyxx=，同理，切线TQ 的方程为()222242xxyxx=，联立方程组解

31、得1212,24xxx xQ+，由点,S T 是曲线C 上位于直线1y=上方的点，可知124x x ，学科网（北京）股份有限公司 则221211221212,2424xxxx xxxxx xQSQT=，由于0,2SQT，则cos|cos,|QS QTSQTQS QTQS QT=()()()221212122222221122211221216216216xxxxxxxxxxxxxxxx+=+()()()()122221212121222222222221212121212144168416,441644411416416x xx xx xx xx xxxxxx xxxxx+=+.代入()222212121216416x xxxx x+=+，得()()()()()2222121212121222222212121212128416482cos24416816x xxxx xxxx xSQTxxxxx xxxx x+=+，所以45SQT=.