小学数学讲义暑假五年级第3讲棋盘中的数学优秀A版.pdf

1、1第 9 级上 优秀 A 版教师版第 3 讲漫画释义四年级寒假统筹与最优化四年级春季操作类智巧趣题五年级暑假棋盘中的数学五年级暑假必胜策略五年级秋季逻辑推理进阶棋盘中的染色与覆盖问题主要是黑白染色知识站牌第三讲 棋盘中的数学2第 9 级上优秀 A 版教师版你玩过“俄罗斯方块”吗？它是一款风靡全球的游戏，原本是前苏联科学家阿列克谢帕基特诺夫所开发的教育用软件.标准的“俄罗斯方块”中共有以下七种图形：用这些图形来覆盖国际象棋棋盘有很多有趣的数学问题，让我们一起来学习吧！1、理解并掌握黑白染色方法，利用黑白格是否相等解决 12 能否覆盖，座位、礼物能否互换等问题2、理解并掌握黑白染色方法，利用奇偶性

2、解决棋盘走格走点问题，3、掌握并运用相邻格黑白染色方法，利用差不变、奇偶性不变等性质解决操作类问题.本讲主要是通过利用染色技巧，结合数论知识，进行推理回答能与不能的问题，培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典形的染色方法模块 1：例 1，12 黑白染色模块 2：例 2-4，黑白应用

3、模块 3：例 5，奇偶分析例题思路经典精讲教学目标课堂引入3第 9 级上 优秀 A 版教师版第 3 讲（1）一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下列选项中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）34（B）35（C）44（D）45（E）63（2）下面三个图形都是从 44 的正方形分别剪去两个 11 的小方格得到的,问可否把它们分别剪成 12 的七个小矩形?（1）（2）（3）(3)一个 88 国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用 31 个 21 的“骨牌”(形如)把棋盘上的 62 个小格完全盖住?（对应学案：学案 1）【分析】(1)B。奇偶性。(2)先对 44 的棋盘黑白相间

4、的涂色(如图),这道题的实际问题是问 7 个 12 矩形能否分别覆盖剪去 A、B；剪去 A、C；剪去 A、D 的三个棋盘.若 7 个 12 矩形可以覆盖剪残的棋盘,因为每个 12 矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是 7 个.而剪去 A 格和 C 格的棋盘(2)有 6 个白格 8 个黑格,剪去 A、D 的棋盘(3)有 6 个白格 8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被 7 个12 矩形覆盖,也就不能剪成 7 个12 的矩形.棋盘(1)可以被 7 个 12 的矩形所覆盖.下面给出一种剪法:（3）不能.原因是每一个 21 的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,

5、31 个这样的骨牌恰好盖住 31 个黑格和 31 个白格.例 14第 9 级上优秀 A 版教师版但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是 30 个白格,32 个黑格,因此不能盖住.五年级一班有 35 名同学，共分成 5 排，每排 7 人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座如果要让这 35 名同学每个人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？（学案对应：学案 2）【分析】右图是一个 57 的方格，其中每一个方格表示一个座位将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格上，所有黑格的坐到白格上但

6、实际上图中有 17 个黑格，18 个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到想想练练：五年级一班有 49 名同学，共分成 7 排，每排 7 人.新年到了，每个同学准备了一个礼物，送给自己前、后、左、右相邻的某一个同学.那么有没有可能每个同学都刚好收到 1 个别人送的礼物？【分析】右图是一个 77 的方格，其中每一个方格表示一个座位将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座因此每位黑格同学都把礼物送给了白格；白格都把礼物送给了黑格但实际上图中有 25 个黑格，24 个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到国际象棋的历史关于国际象棋的产生，国际上流传着一个有趣的故事。据说 200

7、0 年以前，印度有一个非常残暴的国王，自己独断专行，想干什么就干什么。国王有个亲信大臣，他想拿“君王不能离开臣民而存在”的道理来劝告国王，但又不敢公开提出自己的意见。他想出了一个暗示的办法：在木制棋盘上，用骨制的棋子组成两支军队进行战斗.每一方都有一个首脑王，另有车、马、象、兵四个兵种，组合成一个阵容的整体，王是最主要的棋子，王一死，战斗便结束；王同时又是很弱的一环，他只能依靠战友即别的更有力的棋子保护，这些棋子必须在整个战斗过程中同心协力来保卫王。它一方面往西传到波斯、阿拉伯和欧洲，经过改变(如：增加了“后”)，形成现代的国际象棋；另一方面往东传到缅甸、东南亚和中国。例 25第 9 级上 优

8、秀 A 版教师版第 3 讲(1)有一次车展共 4416个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?(2)如图，是连接 14 个城市的道路图.是否有一条路线可以经过每一个城市恰好一次？（学案对应：学案 3）【分析】(1)如下左图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格入口处是白格，从入口到出口共要走 15 步，那么最后一步必然是黑格.然而出口处也是白格，因此不可能不重复的走遍每个展室.(2)将图形中的节点黑白相间染色，那么从黑点只能走到白点，从白点只能走到黑点.如果要每个节点都恰好经过一次，那么

9、黑点和白点的数目应该刚好相等或者差 1.而其中一共有 6个黑点，8 个白点，白点比黑点多 2 个，因此不能.【拓展】有一次车展共 6636个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【分析】如右上图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格入口处是白格，从入口到出口共要走 35 步，那么最后一步必然是黑格.然而出口处也是白格，因此不可能不重复的走遍每个展室.如图有 5 个由 4 个1 1 的小正方格组成的不同形状的硬纸板.问能用这 5 个硬纸板拼成图中的 45 的例 4例 36第 9 级上优秀

10、A 版长方形吗？如果能，请画出一种拼法（学案对应：学案 4）【分析】不能，对 45长方形作黑白染色黑格数 白格数，但若对黑白染色，图黑格 白格但图黑 白，办不到想想练练：能否用 9 个所示的【分析】不能将 66的棋盘黑白相间染色是1或者 3，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数不可能盖住 18 个黑格(1)左下表中，在有公共边的两格内的数同时加上由左下表变为右下表，那么右下表中(2)对于表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数的数可以不同），变为表？为什么000111例 5教师版请画出一种拼法；如果不能，请简述理由.长方形作黑白染色、白格卡片拼成一个 66 的棋盘？的棋盘黑白相间染色（见图），

11、有18 个黑格而每张卡片盖住的黑格数只能所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和也是奇数在有公共边的两格内的数同时加上 1 或同时减去 1 叫做一次操作那么右下表中 A 处的数是每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后为什么？011A 20102010201020102010 201020102010这五个图形进行而每张卡片盖住的黑格数只能张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，经过有限次操作后能否经过若干次后（各次减去或加上7第 9 级上 优秀 A 版教师版第 3 讲【分析】(1)将左图黑白相间染色，因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中黑白数码和的

12、差是不变的，原来黑白数码和的差是 5，经过若干次变化后，差仍应是 5，所以答案是 5(2)因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过一次变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的 2 倍，因此总和的奇偶性没有改变原来九个数的总和为12945，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而表中九个数的总和是 4，是个偶数奇数不可能等于偶数，所以不可能变成表想想练练：左下表中，在有公共边的两格内的数同时加上 1 或同时减去 1 叫做一次操作经过有限次操作后由左下表变为右下表，那么右下表中 A 处的数是123A1010456101010789101010【分析】将左图黑白相间染

13、色，因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中黑白数码和的差是不变的，原来黑白数码和的差是 1+3+5+7+9-2-4-6-8=5，经过若干次变化后，差仍应是 5，所以答案是 5【拓展】对于左表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右表？为什么？【分析】因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过一次变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的 2 倍，因此总和的奇偶性没有改变原来九个数的总和为12945，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而右表中九个数的总和是 0，是个偶数奇数不可能等于偶数，所以不

14、可能变成右表四皇后问题国际象棋棋局中实力最强的一种棋子是皇后，它横、竖、斜都可以走，步数不受限制，但不能越子，吃子与走法相同。在一个 44 棋盘上，放置 4 个皇后，使她们相互之间不能攻击，该怎么布局？答案：有两种布局方法：8第 9 级上优秀 A 版如图，对图 1 中的数进行如下操作 选择上、下或左、右紧邻的两个数 若这两个数都不小于 1，则两个数都要加按此方法操作若干次后形成图 2【分析】我们可以直接将题目中的图形涂成黑白相间图案由于是每次上、下或左右同时加动，所以他们的总和之间的差是没有变化的根据图，发现白格中的数字之和为根据图 2，发现白格中的数字之和为所以 A=191.一只电动老鼠从右

15、图的 A 点出发这只电动老鼠又回到 A 点时（弯如果甲、乙二人有一人说对了【分析】甲如右图所示，将格点黑白相间染色点就转了多少次弯如右上图所示附加题杯赛提高教师版中的数进行如下操作：右紧邻的两个数；则两个数都要加 1 或减 1；若这两个数不管哪个是图 1图 22，则 A 应该填入的数是多少？我们可以直接将题目中的图形涂成黑白相间图案，黑色代表，白色代表下或左右同时加或者同时减，则涂色部分与未涂色部分必然是同时变所以他们的总和之间的差是没有变化的发现白格中的数字之和为 18;黑格中的数字之和为 0，其差为发现白格中的数字之和为 17+A，黑格中的数字之和为 18点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格

16、点不是向左转就是向右转点时（到 A 点就不再走了），甲说它共转了 83 次弯，乙二人有一人说对了，那么谁正确？将格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，如右上图所示，老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯0000000111111111111111110000000000101 111111111111111111111111111A1111111若这两个数不管哪个是 0，则两个都要加 1白色代表则如下图：则涂色部分与未涂色部分必然是同时变其差为 18并且每到一个格点不是向左转就是向右转当，乙说它共转了 84 次，所以经过多少个格到达任何一个黑点都转了奇数次弯，所以甲正确（注：此题

17、中说的是到84 次转弯）2.一只电动老鼠从右图的 A 点出发这只电动老鼠又回到 A 点时次弯，丁说它共转了 84 次弯【分析】如图所示，将一部分格点用黑点，第三次转弯，移动到一个黑点点；每转 4 次弯，会移动到一个同色点（k 为自然数）.在81,82,83,84 中，只有83 除以3.一只电动老鼠从右图的 A 点出发这只电动老鼠又回到 A 点时乙二人有一人说对了，那么谁正确【分析】甲如右图所示，将格点黑白相间染色点就转了多少次弯如右上图所示到 A 点还要再走的话，4.在 66的方格表中，用若干由纸片将其完全覆盖，所用纸片最少为多少张【分析】因为一共有 36 个方格，可能，分别是 9 张“凸片和

18、 8 张“L”形纸片如果使所用的纸片尽量少盘的方式染色，可以得到盖到 1 个黑格，或者可以覆盖到完全覆盖，所以用 9 张第 9 级上 优秀 A第 3 讲此题中说的是到 A 点，如果到 A 点还要再走的话，点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转点时，甲说它共转了 81 次弯，乙说它共转了 82 次弯次弯如果四人有一人说对了，那么谁正确？将一部分格点用黑、白两色染色.老鼠从黑点出发，第一次转弯移动到一个黑点.除第一次转弯外，老鼠每转 2 次弯会移动到一个同色点.那么从 A 点出发，回到 A 点，除以 4 的余数是 3，因此丙说的是正确的.点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向

19、左转就是向右转点时准备转弯时，甲说这是第 43 次转弯，乙说是第 4那么谁正确？将格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，如右上图所示，老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，就会在 A 点出现第偶数次转弯，所以乙正确。用若干由 3 个单位方格组成的“L”形纸片和由 4 个单位方格组成的所用纸片最少为多少张?并在图中画出覆盖的方法.，而两种纸片分别有 3 个方格和 4 个方格，所以纸片的张数共有四种凸”形纸片；6 张“凸”形纸片和 4 张“L”形纸片形纸片；12 张“L”形纸片.如果使所用的纸片尽量少，即要用 9 张“凸”形纸片.对这个 66的方格表按国际象棋棋可以得到 18 个黑

20、格和 18 个白格.对于一张“凸”形纸片来说或者可以覆盖到 3 个黑格，所以需要偶数个“凸”形纸片才能将张“凸”形纸片覆盖方格表是不可能的.9A 版教师版讲，就会在 A 点出现第并且每到一个格点不是向左转就是向右转当次弯，丙说它共转了 83第一次转弯，移动到一个白次弯，会移动到一个异色，一定是转了 43k 次并且每到一个格点不是向左转就是向右转当44 次转弯如果甲、，所以经过多少个格到达任何一个黑点都转了奇数次弯，。个单位方格组成的“凸”形所以纸片的张数共有四种形纸片；3 张“凸”形纸的方格表按国际象棋棋形纸片来说，或者可以覆形纸片才能将 18 个黑格10第 9 级上优秀 A 版教师版如果使用

21、 6 张“凸”形纸片和 4 张“L”形纸片，则很容易将方格表完全覆盖.可以先用 4张“凸”形纸片覆盖 1 个 44的方格表，将剩余的部分用 2 张“凸”形纸片和 4 张“L”形纸片覆盖即可.所以，所用纸片最少为 10 张.5.(1)你能不能用“俄罗斯方块”的七种图形各一次，拼成一个图(1)所示的长方形，如果能拼出来，画出这种拼法，如果不能拼出来，请说明理由。(2)你能不能用“俄罗斯方块”的七种图形各一次，拼成一个图(2)所示的图形，如果能拼出来，画出这种拼法，如果不能拼出来，请说明理由。图(1)图(2)【分析】(1)黑白染色，可发现“T”字形与其他图形的染色方式奇偶性不同，因此不能(2)如下图

22、进行黑白染色，可发现共 15 黑，13 白，而“T”字形恰好可以让黑比白多 2.因此理论上可行(注：理论上可行不代表实际能办到)通过右图可发现可以办到棋盘覆盖问题的解决方法：1.判断面积；2.通过适当的染色方式区分出理论与实际的差别；3.若不行，说明原因；若可行，写出方案常见的染色方式：1.黑白染色(最常用)2.轮换式染色（选讲：可区分“一”字形)3.条形染色（选讲：可区分“L”形和“田”字形)知识点总结1.下图是由 62 个方格组成的图形【分析】这种覆盖问题是典形的用染色方法解决的问题之一可以发现它无论横放、数与白格数应该相等图不重不漏地盖住2.教室里有 5 排椅子，每排 5左、右相邻的某一

23、同学交换座位【分析】如右图所示，25 个座位分为所以原来坐在黑座位上的3.有一次车展共 5525个展室示参观者能否从入口进去【分析】如右上图，对每个展室黑白相间染色处是黑格，从入口到出口共要走此不可能不重复的由入口至出口4.在图的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加过若干次操作后变为图，家庭作业第 9 级上 优秀 A第 3 讲个方格组成的图形，能否用 31 个图不重复地盖住它且不留空隙的用染色方法解决的问题之一用来覆盖，、竖放，必然盖住一白一黑要不重复不留空白，但从染色后整个图来看，黑格 30 个，白格 32 个5 张，每张椅子上坐一个学生.一周后，每个学生都必须和他前右相邻的某

24、一同学交换座位.问：能不能换成，为什么？个座位分为 12 白 13 黑.相邻座位总是一黑一白，因为只有所以原来坐在黑座位上的 13 人不可能都换到白座位上.所以不能换成.个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格从入口到出口共要走 24 步，那么最后一步必然是黑格.然而出口处是白格由入口至出口走遍每个展室.对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加 1 或减 1，问：图中的 A 格中的数字是几？11A 版教师版讲图不重复地盖住它且不留空隙?，则用黑白相间染色，那总共盖住的黑

25、格个，故不可能将整个每个学生都必须和他前、后、因为只有 12 个白座位，.，入口和出口如图所那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格入口然而出口处是白格，因1，这算一次操作，经12第 9 级上优秀 A 版【分析】将 44的方格进行黑白相间染色等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差可知：白格数之和 5.用 11 个和 5 个【分析】如图，对8 8的正方形黑白相间染色后白 10 黑则盖住了共 11 个，奇数个奇数相加仍为奇数形状的 10 白 10 黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格32 个黑格，故不可能按题目要求盖住注意：本题中每个或 33 黑 11 白，因为可能一部分盖6.如右图

26、，在 55 方格的 A中那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到【分析】由小虫的爬法，仍可对方格黑白相间染色格所以，它由 A 出发回到个，每格爬过一次，就应该为回到 A 格【学案 1】右图是由 40 个小正方形组成的图形A 版学案教师版的方格进行黑白相间染色，如右图所示，每个小格同时加 1 或减那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图知这个差是 黑格数之和(7)88A，所以9A 能否盖住 8 8的大正方形？的正方形黑白相间染色后，发现必然盖住 2 白则盖住了 3 白 1 黑或 3 黑 1 白，从奇偶性考虑，都是奇数奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数两种形状共盖

27、住奇数个白格奇数个黑格但实际染色后共故不可能按题目要求盖住盖 3 白 1 黑或 3 黑 1 白，11 个这种形状盖住的不一定是因为可能一部分盖 3 白 1 黑，另一部分盖 3 黑 1 白这是一个容易犯错的地方格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到 A 格中?仍可对方格黑白相间染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑出发回到 A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步而小方格为就应该为 25 步，不是偶数于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成 20 个相同的长方形或减 1，因黑白格数相知这个差是 8，由图2

28、黑，5 个则盖住 10都是奇数而这种形状故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加上另一种但实际染色后共 32 个白格个这种形状盖住的不一定是 33 白 11 黑这是一个容易犯错的地方它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑而小方格为 5525于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再个相同的长方形？【分析】将 40 个小正方形剪裁成图形黑白相间染色后，的总是黑白格各一个，【学案 2】全班 25 名同学分五排邻座。在儿童节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座使得每一位同学都刚好收到一份礼物呢【分析】把 25 个方格进行黑白相间染色一个白色格子的人交换到黑色格

29、子里子数目不同，所以不能【学案 3】下图中是学校素质教育成人打算从 A 室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后什么？【分析】采用染色法如右上图室 A 出发走过第 1 扇门必至黑室间展览室，因此将走过黑白相间的奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室来的白室 A【学案 4】能否用 1 个田字和 15【分析】将棋盘里黑白相间涂色田字和 15 个T 字盖住的白格数是一个奇数和 15 个T 字形不能盖住第 9 级上 优秀 A第 3 讲个小正方形剪裁成 20 个相同的长方形，就是将图形分割成 20 个，发现有 21 黑，19 白，黑、白格数目不等，而1 2，所以不可能做到名同学分五排，每排五人坐在教室里，每

30、个座位的前、后、左在儿童节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地送出礼物使得每一位同学都刚好收到一份礼物呢？个方格进行黑白相间染色，每次交换座位，总是一个黑色格子的人交换到白色格子里一个白色格子的人交换到黑色格子里，如果可以的话，黑白数目应该一样所以不能是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通不重复地看过各室展览之后，仍回到 A 室，问他的目的能否达如右上图，共有 9 个展览室，对这 9 个展览室，黑白相间地进行染色扇门必至黑室，再由黑室走过第 2 扇门至白室，由于不重复地走遍每一因此将走过黑白相间的 8 个展览室，再回到白室 A，共走过走过偶数次

31、门至白室 现在，走过 9 扇门，必至黑室15 个T 字纸片,拼成一个8 8的正方形棋盘?将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住 2 个白格,一个 T 字形盖住 3 个或字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数字形不能盖住 8 8的棋盘.13A 版教师版讲个1 2的小长方形，将1 2的小长方形覆盖左、右位子称为它的能否可以让大家适当地送出礼物，总是一个黑色格子的人交换到白色格子里，黑白数目应该一样，但实际黑白格邻的展室之间都有门相通有一个问他的目的能否达到，为黑白相间地进行染色，从白由于不重复地走遍每一共走过 9 扇门由于走过必至黑室，所以无法回到原个或 1 个白格.故 1 个但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形