小学数学讲义暑假五年级第6讲质数与合数进阶优秀A版.pdf

1、1第 9 级上优秀 A 版教师版第 6 讲四年级春季整除特征进阶五年级暑假质数与合数初步五年级暑假质数与合数进阶五年级秋季因数与倍数初步五年级寒假因数与倍数进阶分解质因数；因数个数(和)定理漫画释义知识站牌第六讲 质数与合数进阶2第 9 级上优秀 A 版教师版一七四二年,哥德巴赫发现,每一个大于 4 的偶数都可以写成两个质数的和例如 6=3+3,又如24=11+13 等等他对许多偶数进行了检验,都说明这是确实的但是这需要给予证明因为尚未经过证明,只能称之为猜想他自己却不能够证明它,就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉,请他来帮忙作出证明一直到死,欧拉也不能证明它从此这成了一道世界难题,吸引了成千上

2、万数学家的注意两百多年来,多少数学家企图给这个猜想作出证明,都没有成功值得骄傲的是,到目前为止,这个世界难题证明的最好的,是我国著名的数学家陈景润,他的研究成果处于国际领先的地位这一成果被命名为“陈氏定理”但是他的证明离成功只有一步之遥,就匆匆的走完了他的一生老一辈数学家留下来的任务,要靠我们这一代来完成,所有现在我们应该好好学习知识,说不定将来的第二位陈景润就在我们中间1.熟练掌握分解质因数的方法,并能快速分解质因数；2.灵活利用分解质因数解决个数及其他问题1质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数,那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公因数只有 1 的两个自然数,叫做互质

3、数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.例如：3023 5 .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如21222323 ,2、3 都叫做 12的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口,因为这样可以帮助我们分析数字的特征.唯 一 分 解 定 理：任 何 一 个 大 于 1 的 自 然 数 n 都 可 以 写 成 质 数 的 连 乘 积,即：312123kaaaaknpppp其中ip 为质数,ia 为非零自然数,并且这种表示是唯一的.该式称为 n 的质因子分解式.例如

4、：三个连续自然数的乘积是 210,求这三个数.分析：210=2357,可知这三个数是 5、6 和 7.部分特殊数的分解：1053 57；1113 37；3999337；10017 11 13；10031759；10071953；1111141 271；1000173 137；19953 57 19 ；220073223；320082251；22009741；220122503;1010137 13 37 .最小的 3 位质数是 101,最小的 4 位质数是 1009.课堂引入经典精讲教学目标3第 9 级上优秀 A 版教师版第 6 讲2因数个数(和)定理设自然数n 的质因子分解式如312123k

5、aaaakpppp.那么n 的因数个数为1231111kd naaaa()()()()()自然数n 的因数和为 11221121211111222211aaaaS npppppppp1211kkaakkkkpppp模块 1：例 1-2,分解质因数基础；模块 2：例 3-4,分解质因数应用；模块 3：例 5,因数个数定理.分解质因数,并写成标准式(1)12；(2)72；(3)111【分析】21223；32728 923；1113 37 分解质因数,并写成标准式（1）360；（2）539；（3）373；(4)2013(学案对应：学案 1)【分析】(1)32360235，(2)2539711，(3)

6、373 是质数，(4)20133 11 61 梅森素数众所周知，素数也叫质数，是只能被 1 和自身整除的数，如 2、3、5、7、11 等等。2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“21p ”的形式，这里的指数 p 也是一个素数。这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。而 17 世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“21p ”型的素数称为“梅森素数”。迄今为止，人类仅发现 47 个梅森素

7、数。由于这种素数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。例题思路例 2例 14第 9 级上优秀 A 版教师版甲数比乙数大 5，乙数比丙数大 5，三个数的乘积是 6384，求这三个数？(学案对应：学案 2)【分析】将 6384 分解质因数，638422223 7 19 ，则其中必有一个数是 19 或 19 的倍数；经试算，1951427，195242223 ，恰好14 19246384，所以这三个数即为 14，19，24.一般像这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19 不符合要求，下一个该考虑 38，再下一

8、个该考虑 57，依此类推想想练练：三个连续自然数的乘积是 210,求这三个数是多少？【分析】210 分解质因数：21023 57 ,可知这三个数是 5、6 和 7。【拓展】（老师可以先引入：小明一家四兄弟,大哥叫大毛,二哥叫二毛,三哥叫三毛,那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人,他们的年龄一个比一个大 2 岁,他们四个人年龄的乘积是 48384.问他们四个人的年龄各是几岁？【分析】题中告诉我们,48384 是四个人年龄的乘积,只要我们把48384 分解质因数,再按照每组相差 2来分成四个数相乘,这四个数就是四个人的年龄了。8348384237242(23)(27)2(23)12 14

9、16 18由此得出这四个人的年龄分别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。巧妙解法由题意可知,这四个数是相差 2 的四个整数。它们的积是偶数,当然这四个数不是奇数,一定是偶数.又因为48384 的个位数字不是 0,显然这四个数中,没有个位数字是 0 的,那么这四个数的个位数字一定是 2、4、6、8.又因为41048384,而44838420,所以可以断定,这四个数一定是 12、14、16、18。也就是说,这四个人的年龄分别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。【拓展】冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字 5 看成了 8，由此得乘积为 1104。正确的乘积是

10、多少？【分析】411042323，其中只有42348含数字 8，所以 1104=4823，正确结果是 4523=1035请将 2、5、14、24、27、55、56、99 这 8 个数分成两组,使得这两组数的乘积相等。(学案对应：学案 3)【分析】要使所分的 2 组的乘积相等,就要使得 2 组的乘积的质因数完全一样,将它们分解质因数有2=2；5=5；142 7；32423；3273；555 11；35627；299311。现在要将其分为两组,假设为第一组与第二组。根据题意,考虑第一组.如若 27 在第一组,则 24 与 99 均应在第二组；从质因数 11 可以看出,55 应在第一组。从质因数 5

11、 可以看出,5 应在第二组；现在第一组有：27、55；第二组有：5、24 与 99；从质因数 2 可以看出,56 应在第一组；从质因数 7 可以看出,14 应在第二组,则 2 应在第一组。例 4例 35第 9 级上优秀 A 版教师版第 6 讲所以第一组有数：27、55、56、2；第二组有数：5、14、24 与 99。小结：此类问题可分三步解决：1.分解；2.统计；3.分配想想练练：请将 4,5,9,12,15,25 这 6 个数分成两组,使每组 3 个数的乘积相等.【分析】结果如下：4，9，25 一组，5，12，15 一组学生版中仅有 1-3 问将 16200 分解质因数,并回答以下问题：(1

12、)16200 有多少个因数？(2)16200 有多少个奇因数？(3)16200 有多少个偶因数？(4)16200 的因数中有多少个是 3 的倍数？(5)16200 的因数中有多少个是 6 的倍数？(6)16200 的因数中有多少个不是 5 的倍数？(7)16200 的所有因数的积是多少？(用乘方表示)(学案对应：学案 4)【分析】首先对 16200 进行分解质因数,可以分解成34216200235,所以(1)有（3+1）（4+1）（2+1）=60 个因数；(2)奇因数有：（4+1）（2+1）=15；(3)偶因数有：3（4+1）（2+1）=45 个；或者从反面考虑,总因数有 60 个,而奇因数有

13、 60-15=45个；(4)其中有：4（3+1）（2+1）=48 个是 3 的倍数。(5)有：34（2+1）=36 个是 6 的倍数。(6)有：（3+1）（4+1）=20 不是 5 的倍数。(7)因数是成对出现的,成对出现的因数相乘得 16200,60个因数可以分成 30 组,因此 16200 的所有因数的积是3016200.想想练练：下面几个数分别有多少个因数？多少个奇因数？(1)90(2)150(3)99【分析】(1)290235，共有 12 个因数，6 个奇因数(2)215023 5 ，共有 12 个因数，6 个奇因数(3)299311，共有 6 个因数，6 个奇因数例 5不说话的学术报

14、告1903 年 10 月，在美国纽约的一次数学学术会议上，请科尔教授作学术报告。他走到黑板前，没说话，用粉笔写出6721，这个数是合数而不是质数。接着他又写出两组数，用竖式连乘，两种计算结果相同。回到座位上，全体会员以暴风雨般的掌声表示祝贺。证明了 2 自乘 67 次再减去 1，这个数是合数，而不是两百年一直被人怀疑的质数。有人问他论证这个问题，用了多长时间，他说：“三年内的全部星期天”。请你很快回答出他至少用了多少天？答案：至少 156 天6第 9 级上优秀 A 版教师版1.分解质因数,并写成标准式(1)8547,(2)78 1239【分析】(1)85473 7 11 37 ；(2)2332

15、78 123932 1323 3 132313 2.如图所示，点 B 是线段 AD 的中点，由 A、B，C，D 四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为 10500，则线段 AB 的长度是_.ADBC【分析】线段所有长度包括 AB、BC、CD、AC、BD、AD.由于最后要求的是 AB，我们可用 AB 和BC来 表 示 这 所 有 线 段 之 积，为10500=ABBC（AB-BC）（AB+BC）AB2AB=2 3ABBCAB+BCAB-BC，再 对 10500 进 行 分 解 质 因 数，可 得2310500=23 57 所以 AB 长度为 5.3.已知 5 个人都属牛，他

16、们年龄的乘积是 589225，那么他们年龄的和为多少？【分析】分 解 因 数 得 到225892255713 371 13253749，五 个 人 的 年 龄 和 为1+13+25+37+49=125 岁。4.请将 14,33,35,30,75,143,169,39 这 8 个数平均分成两组,使每组 4 个数的乘积相等.【分析】分解质因数得：1427,333 11,3557,3023 5,2753 5,14311 13,216913,393 13 统计可得：质因数 2,3,5,7,11,13 的个数分别为 2,4,4,2,2,4.平分后个数应该分别为 1,2,2,1,1,2分组如下：第 1 组

17、：14,75,33,169第 2 组：30,35,143,39,或第 1 组：14,75,143,39,第 2 组：30,35,33,1695.数 160 的因数个数是多少？其中奇因数有多少个？偶因数又有多少个？它们的积又是多少?【分析】对任意一个自然数,我们首先可以将它作因数分解,化成质数及其次数的乘积,以 160 为例,我们有5116025.要算它的因数的个数,我们可以这样来理解：因数的因数只可能是 2,5.并且它们的次数不会超过原数的次数,从而因数的因数 2 的次数可以为 0,1,2,3,4,5；而 5 的次数也只可能是 0 或 1.把它展开你就可以发现它就是我们要求的：情况1：不包含

18、5 的因数：1,2,22,32,42,52,情况 2：包含 5 的因数:1 5,25,225,325,425,525.从而我们可以任意地从中选若干个 2,5 的次数,即：(15)(1 1)12(个)奇因数有 1+1=2 个；偶因数有 12-2=10 个.至于要算它们的因数的积,我们可以将它的因数配对：一个因数和它被原数除的数组成一对(如 2 和 80 是 160 的一对).这样,对于非平方数而言,我们得到整数对,并且它们的积就是原数本身；而对于平方数而言,仅仅是多了一个数(它的开方),从而通过对它的因数的个数,可以求出它们的积.附加题7第 9 级上优秀 A 版教师版第 6 讲对本题而言,我们有

19、(1,160),(2,80),(4,40),(5,32),(8,20),(10,16)共 6 对.从而它们的积为6160.6.在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶),或者是不超过 10 的自然数.甲、乙两名运动员各射了 5 箭,每人 5 箭得到的环数的积都是 1764,但是甲的总环数比乙少 4 环.求甲、乙的总环数各是多少？【分析】1764223 3 77 2(23)3 77 ,和是 25;(22)3 3 77 ,和是 24;22(3 3)77 ,和是 27;1(22)(3 3)77,和是 28;1(23)(23)77,和是 27;28244,所以甲是 24 环,乙是 28 环.

20、7.数 3600 的因数个数是多少？其中奇因数有多少个？偶因数又有多少个？它们的积又是多少?【分析】4223600235，共有(4+1)(2+1)(2+1)=45 个因数；奇因数个数为(2+1)(2+1)=9个；45-9=36 个偶因数；它们的积为224560360060160 的所有因数的和是多少？【分析】(1)516025,和为 012345012222225563 6378.1.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数 n 都可以写成质数的连乘积,即：312123kaaaaknpppp其中ip 为质数,ia 为非零自然数,并且这种表示是唯一的.该式称为 n 的质因子分解式(分解质因数的标准式

21、).2.因数个数(和)定理设自然数n 的质因子分解式如312123kaaaakpppp.那么n 的因数个数为1231111kd naaaa()()()()()自然数n 的因数和为 11221121211111222211aaaaS npppppppp1211kkaakkkkpppp杯赛提高知识点总结8第 9 级上优秀 A 版教师版1.分解质因数,并写成标准式(1)78,(2)999【分析】(1)7823 13；(2)39993372.甲、乙、丙、丁四人打靶,每人打三枪。四人各自中靶的环数之积都是 60,且环数是不超过 10 的自然数.把四个人按个人总环数由高到低排列,依次是甲、乙、丙、丁.请问

22、：靶子上 4 环的那一枪是谁打的？【分析】260235,601 6 102 3 104 3 52 5 6 ,和分别是 17,15,12,13,那么 4 环是丁打的。3.请将 4、9、10、14、15、21 这六个数分为两组,使这两组的乘积相等.【分析】分解质因数得：242,293,1025,1427,153 5 ,213 7 统计得质因数 2,3,5,7 的个数分别为 4,4,2,2.平分后个数分别为 2,2,1,1分组如下：第 1 组：4,15,21第 2 组：10,14,94.某班同学在班主任老师带领下去种树,学生恰好平均分成三组,如果老师与学生每人种树一样多,共种了 143 棵,那么平均

23、每人种了棵树？【分析】因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积,所以首先想到的是把 143 分解为两数相乘,一个数为人数，另一个数为每人种的棵数,143=1113,注意到人数减去 1 是 3 倍数,所以人数是13,平均每人种了 11 棵。5.240 有多少个因数？【分析】424023 5 .根据乘法原理,240 的因数个数为：(41)(1 1)(1 1)20.6.2013 有多少个因数？【分析】20133 11 61，共有(1+1)(1+1)(1+1)=8 个因数.【学案 1】分解质因数,并写成标准式(1)216；(2)1155【分析】3321623，11553 57 11 【学案 2】今年是 2

24、013 年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是_.【分析】11 12 131716，12 13 142184，所以是 2184.A 版学案家庭作业9第 9 级上优秀 A 版教师版第 6 讲【学案 3】请将 33,9,65,85,91,22,34,21 这 8 个数分成两组,使每组 4 个数的乘积相等.【分析】分解质因数得：333 11,293,655 13,855 17,917 13,222 11,342 17,213 7 统计得质因数 2,3,5,7,11,13,17 的个数分别为 2,4,2,2,2,2,2.平分后每组的个数分别为1,2,1,1,1,1,1 个最终结果如下：第 1 组：33,21,65,34第 2 组：22,9,91,85【学案 4】360 有_个因数,其中有_个奇因数.【分析】对 360 进行分解质因式,可得32360235,所以其因数个数为 31211 124.其中奇因数有：211 16个.