小学数学讲义暑假四年级优秀第3讲等差数列进阶.pdf

1、1第 7 级上优秀 A 版教师版第 3 讲漫画释义三年级寒假速算与巧算之四则运算三年级春季等差数列初步四年级暑假等差数列进阶四年级春季整数与数列五年级暑假分组与配对复杂的等差数列问题;等差数列的应用与构造知识站牌第三讲等差数列进阶2第 7 级上优秀 A 版教师版观察下列数列,指出它们的共同特征（1）0,5,10,15,20,（2）21,24,27,30,（3）50,46,42,38,34,（4）1,1,2,2,3,5,3,5,8,4,7,11,（5）2,2,2,2,2,【分析】（1）,（2）,（3），（5）都是基本等差数列，（4）是三个等差数列的综合老师在此处可开始等差数列的复习：可用自然数列

2、和奇数等差数列来进行复习：项数、首项、末项以及求和（包括中项定理）的计算方法，因为这两个数列应用很多，此处可跟孩子强调求和公式：自然数列的和=(1)2n n，从 1 开始奇数的等差数列的和=2n1.熟练掌握等差数列的基本公式；2.灵活运用等差数列公式解决问题.3.简单构造等差数列等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列.基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an 表示；数列的和：这一数列全

3、部数的和，一般用 sn表示.基本思路：等差数列中涉及五个量：a1,an,d,n,sn，通项公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可以求这第四个.基本公式：通项公式：an=a1+(n1)d项数公式：n=(ana1)d+1公差：d=（ana1）(n1)数列和公式：sn=(a1+an)n2经典精讲教学目标课堂引入3第 7 级上优秀 A 版教师版第 3 讲关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的关系式子.基本题型：1.求项数（n）；2.求总和（sn）；3.求单项（an）；4.求公差（d）.模块一：等差数列复习例一：根据公式求末项、项数例二：根据公

4、式求和及巧算模块二：等差数列拓展例三：双重等差数列和分组构造等差数列模块三：等差数列的应用例四：等差数列在应用题中的运用例五：等差数列在几何计数中的运用1、数列 1，3，5，7，第 18 项是（）.A.12B.13C.24D.352、数列 2，4，6，8，其中 256 是这个数列的第（）项.A.105B.69C.97D.1283、数列 3，6，9，18，这个数列共有（）项.A.4B.5C.6D.74、数列 1，4，7，这个数列的第 6 项与第 9 项相差（）.A.6B.7C.8D.9【分析】（1）D(2)D(3)C(4)D(1)求数列1357999、的和(2)求数列 246810100、的和(

5、3)（2468100）-（+991+3+5+7）【分析】1、项数：（99-1）2+1=50，和=（1+99）502=25002、项数：（100-2）2+1=50，和=（2+100）502=25503、方法一：2550-2500=50方法二：分组思想2-14-36-58-7+100-99（）（）（）（）（）=501=50【想想练练】（24681000）-（+9991+3+5+7）例 2例 1例题思路4第 7 级上优秀 A 版教师版【分析】2-14-36-58-7+1000-999（）（）（）（）（）=500计算：（1）1 34679 10246247249250（2）10009999989979

6、96995106 105 104103 102 101【分析】1、方法一:此题不是一个直接的等差数列，缺某些项，所以我们可以把它看成等差数列：123456724724824925025811248=3137510375=21000 方法二:把这个数列拆分为两个数列1471013247250和369 12246249，对它们分别求和：原式125084232498321054210458=21000（）（）2、本题也可以按照上题的方法做，但还有更简便的办法，把式子中的减法都计算出来可以得到下式：1000199711061 103 1 这是1000997106103和1 11 1 的组合，分别计算结

7、果即可：原式100010330021 300165750（）【想想练练】计算 13467910121366676970 的和是多少？【分析】方法一：此题不是一个直接的等差数列，我们观察可知，缺某些项，所以我们可以把此数列变成等差数列：1234566667686970(25868)，那么123470(170)702248525868(268)232805 所以原式=24858051680方法二：把这个数列拆分为两个数列14710136770和369126669，对它们分别求和：原式1702423692321680（）（）例 35第 7 级上优秀 A 版教师版第 3 讲在一个神奇的地方，有一排奇怪

8、的雕塑，这些雕塑都是由巧克力构成的，第一个雕塑由 3 块巧克力组成，第二个雕塑由 6 块巧克力组成，第三个雕塑由 9 块巧克力组成，以此类推，每个雕塑都比前一个多 3 块巧克力那么，第_个雕塑恰好由 2013 个巧克力组成【分析】雕塑由 3n 块巧克力构成，故由 2013 块巧克力构成的是第 20133671个雕塑.【想想练练】一个影剧院共有 28 排座位，从第 1 排起，以后每排都比前一排多 2 个座位，第 28 排例 4公元前四世纪，古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上，有了很大的发展，他们用石子、沙子记数和计算。在众多的学派中，毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出。那什么是形数呢？即有形

9、状的数。毕达哥拉斯学派研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生了一系列的形数。毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是 1、3、6、10、等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做“三角形数”。如图所示：不难看出，前四个三角形数都是一些连续自然数的和，记每一个三角形数为ia（i=1、2、3、n）则：123410011231236123410123451005050aaaaa 就这样，毕达哥拉斯借助生动的直观的几何图形，很快就发现了自然数的一个规律：从 1 开始的连续自然数的和都是三角形数。如果用字母 n 表示最后一个加数，那么 1+2+3+n 的和即是

10、一个三角形数，而且正好是第n 个三角形数。(1)12342n nn 6第 7 级上优秀 A 版教师版有 78 个座位，这个影剧院共有多少个座位？【分析】第 28 排有 78 个座位，那么第一排有 78(281)224，那么一共有座位(2478)2821428个。如图所示，白色和黑色的三角形按如下顺序排列 已知第一个图形有 1 个黑色三角形，第二个图形有 3 个黑色三角和 1 个白色三角形，(1)(2)(3)(4)（1）第七个图形里有多少个白色三角形？（2）第七个图形里有多少个黑色三角形？（3）从第一个图形到第七个图形一共有多少个小三角形？（4）第几个图形黑色三角形与白色三角形相差 12 个，其

11、中白色三角形有多少个？（5）如果我们用若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成上图的形状，照这样摆下去，到第十个图形，一共需要多少根火柴棒？【分析】（1）根据图形规律，第七个等边三角形里白色有 1+2+3+4+5+6=21。（2）第七个等边三角形里黑色有 1+2+3+4+5+6+7=28（3）14916253649=140（4）由前面的规律发现：黑色与白色的个数差几就是第几个图形。所以此题就是问第 12个图形里有多少个白色三角形。即：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66。（5）如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的三个三角形(向上的三角形 2 个，向下的三角形

12、1个)看作第二层，那么这个图中一共有10 层三角形这10 层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和自上而下依次为：3，6，9，3 10它们成等差数列，而且首项为3，公差为3，项数为10 求火柴的总根数，就是求这个等差数列各项的和，即36930330102335165（）(根)所以，一共要放165根火柴例 57第 7 级上优秀 A 版教师版第 3 讲电子跳蚤在一条标有刻度(单位:毫米)的尺上某点 K,向右跳所显示的刻度越来越大,第一步从 K 向左跳 1 毫米,第二步再向右跳 2 毫米,第三步再向左跳 3 毫米,第四步再向右跳 4 毫米,按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在尺子

13、上的刻度所表示的数恰好是 205毫米,则电子跳蚤开始时落在尺上的点K 的刻度是_毫米.【分析】由题意可知，12345699100205155KK 基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an表示；数列的和：这一数列全部数的和，一般用 sn 表示.基本公式：通项公式：an=a1+(n1)d项数公式：n=(ana1)d+1公差：d=（ana1）(n1)数列和公式：Sn=(a1+an)n2基本思路：等差数列中涉及五个量：a1,an,d,n,sn，通项

14、公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可知识点总结杯赛提高火车站的钟声小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床车站大楼的钟，每敲响一下延时3 秒，间隔1 秒后再敲第二下假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6点，前后共经过了几秒钟？分析与解：从第一下钟声响起，到敲响第6 下共有5 个“延时”、5 个“间隔”，共计（3+1）5=20 秒当第6 下敲响后，小明要判断是否清晨6点，他一定要等到“延时3 秒”和“间隔1 秒”都结束后而没有第7 下敲响，才能判断出确是清晨6 点因此，答案应是：（31）6=24（秒）8第 7 级上优秀 A 版教师版求出第四个；求和公式

15、中涉及四个量，如果已知其中三个，就可以求第四个.1.已知数列 2，4，6，8，问这个数列中第 2000 个数是多少？【分析】第 2000 个数是：2(20001)240002.计算：91827180189 的和.【分析】此数列是一个公差是1899的等差数列，项数是(1899)9121 项，总和是：(9189)2122079。3.有 20 个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大 3 这20 个数相加，和是多少？【分析】末项是：9201366（），和是：966202750（）4.一个五层书架共放了 555 本书，上层书比下层少 5 本。问：最上层放几本书？【分析】方法 1：根据已知条件可知：

16、Sn=555；d=5；n=5；末项比首项多(51)520本，根据求和公式可以得首项和末项的和是：55525222，根据和差问题得：首项是(22220)2101本。方法 2：数列的中间数（第三层）：5555111本；最上层比第三层多：2510本，最上层的书数：111 10101本.5.点点读一本故事书，第一天读了 30 页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多 4 页，最后一天读了 70 页，刚好读完那么，这本书一共有多少页？【分析】每天看的页数组成等差数列，公差是 4，首项是 30，末项是 70，要求这本书一共多少页，应该先求出点点总共看了多少天天数(项数)(末项 首项)公差 17030411

17、1（）总页数3070112100 112550（），所以，这本书一共有 550 页6.如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中最小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，问：这列数中的第 9 个是多少？【分析】这列数第一项为 3，第二项比第一项多 3，以后每项比前项多项数加 1，所以第 9 项为 33456101234561055。家庭作业9第 7 级上优秀 A 版教师版第 3 讲【A 版学案 1】已知等差数列 4、7、10、13、40、43、46 问：这个数列共有多少项？【分析】方法一：利用项数公式得(464)3115 （项）方法二：

18、利用“添数配组法”得：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、（46、47、48），注意每两项的差是3，那么每组有3个数，数列中的数都在每组的第1位，所以 46 应在最后一组第1位，4 到48 有 484145 项，每组 3 个数，所以共 45315组，原数列有15 项当然，我们还可以有其他的配组方法【A 版学案 2】199458118083【分析】仔细观察可以发现，减的部分是一个公差是 3 的等差数列，一共有(835)3127 项，和是(583)2721188，所以原式等于19941188806【A 版学案 3】建筑工地有一批砖，摆成如图形状，最上层两块砖

19、，第 2 层6 块砖，第3 层10 块砖，依次每层都比其上面一层多 4 块砖，已知最下层有 2106块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？【分析】如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，容易知道这是一个等差数列2106是第 2106241527（）层，中间一层是第 52712264（）层，那么中间一层有：2264141054（）块，这堆砖共有：1054527555458(块)【A 版学案 4】节日期间在一个八层楼房上安装彩灯，共安装彩灯 888 盏，已知从第二层开始，每一层都比下一层少安装 6 盏，那么最上面一层安装多少盏灯？【分析】已知条件：888nS；d=6；n=8；811(81)642aaa，末项与首项差：42 盏；根据等差数列求和公式可以得首项和末项的和是88828222盏，首项：（222-42）2=90盏A 版学案