小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第13讲抽屉原理进阶.pdf

1、1第 11 级下超常体系教师版第 13 讲六年级暑期最值问题综合六年级秋季数字谜中的计数六年级秋季抽屉原理进阶六年级寒假组合模块选讲（一）六年级春季组合模块选讲（二）复杂的抽屉原理构造问题，重点是数论中抽屉原理的应用漫画释义知识站牌第十三讲抽屉原理进阶第 11 级下超常体系教师版21.理解抽屉原理 1 和 2 的联系和区别2.掌握数论中抽屉的构造技巧1.某班 32 名同学是在 5 月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？【分析】5 月有 31 天，学生人数天数，把 31 天看作 31 个抽屉，将 32 名同学看作 32 个苹果这样，把 32 个苹果放进 31 个抽屉里，至少有一个抽屉里

2、放至少两个苹果因此至少有 2 名同学是同一天出生2.班上有 50 名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？【分析】根据抽屉原理，至少要拿50151 本书3.教室里有 5 名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这 5名学生中，至少有两个人在做同一科作业【分析】将 5 名学生看作 5 个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共 4 个抽屉 由抽屉原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有 2 个苹果即至少有两名学生在做同一科的作业4.一个口袋中装有 500 粒珠子，共有 5 种颜色，每种颜色各 100 粒如果你

3、闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有 5 粒颜色相同？【分析】至少要取(51)5121（粒）5.有红、黄、白三种颜色的小球各10 个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出个，才能保证有5 个小球是同色的【分析】根据最不利原则，至少需要摸出43113 （个）“任意367个人中，必有生日相同的人”“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套”“从数1，2，.，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同”.大家都会认为上面所述结论是正确的这些结论是依据什么原理得出的呢？这就是我们今天要知识点回顾课堂引入教学目标3第 11 级下超常体系教师版第 13 讲学习的抽屉原理抽屉原理有时也被称

4、为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式：抽屉原理 1：将多于 n 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件；抽屉原理 2：将多于 mn 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于1m 件应用抽屉原理解题的步骤：第一步：分析题意分清什么是“苹果”，什么是“抽

5、屉”，也就是什么作“苹果”，什么可作“抽屉”第二步：制造抽屉这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路第三步：运用抽屉原理观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决把所有整数按照除以某个自然数 m 的余数分为 m 类，叫做 m 的剩余类或同余类，用0，1，2，1m 表示.每一个类含有无穷多个数，例如1中含有 1，1m ，21m，31m ，.在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意1n 个自然数中，总有两个自然数的

6、差是 n 的倍数模块一：抽屉原理的基本应用例 1：最不利原则例 2：抽屉原理的基本应用模块二：抽屉原理在数论中的应用例 3：数论中差是固定值的构造例 4：数论中和是固定值的构造例 5：数论中剩余类的构造例 6：数论中剩余类的构造模块三：抽屉原理在其他方面的应用例 7、例 8：复杂抽屉的构造某次选拔考试，共有 1123 名同学参加，小明说：“至少有 10 名同学来自同一个学校”如果保证他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？例 1例题思路经典精讲第 11 级下超常体系教师版4（学案对应：超常 1）【分析】本题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有

7、10 个同学来自同一个学校，而其他学校都只有 9 名同学参加，则1123 1091236，因此最多有：1231124 个学校(处理余数很关键，如果有 125 个学校则不能保证至少有 10 名同学来自同一个学校)一副扑克牌，共 54 张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：至少有 5 张牌的花色相同；四种花色的牌都有；至少有 3 张牌是红桃 至少从中取出几张牌，才能保证至少有 2 张梅花和 3 张红桃（学案对应：带号 1）【分析】一副扑克牌有四种花色，每种花色各 13 张，另外还有两张王牌，共 54 张为了“保证”5 张牌花色相同，我们应从最“坏”的情况去分析，即先摸出了两张王牌，再把四种花色看作

8、 4 个抽屉，要想有 5 张牌属于同一个抽屉，只需再摸出44117(张)，也就是共摸出 19 张牌即至少摸出 19 张牌，才能保证其中有 5 张牌的花色相同因为每种花色有 13 张牌，若考虑最“坏”的情况，即摸出了 2 张王牌和三种花色的所有牌共计133241(张)，这时，只需再摸一张即一共 42 张牌，就保证四种花色的牌都有了即至少摸出 42 张牌才能保证四种花色的牌都有最“坏”的情形是先摸出了 2 张王牌和黑桃、梅花、方块三种花色所有牌共计133241张，只剩红桃牌这时只需再摸 3 张，就保证有 3 张牌是红桃了，即至少摸出 44 张牌，才能保证其中至少有 3 张红桃牌 因为每种花色有 1

9、3 张牌，若考虑最“坏”的情况，即摸出 2 张王牌、方块和黑桃两种花色的所有牌共计：132228(张)，然后是摸出所有的梅花和 3 张红桃(想想若摸出所有的红桃和 2 张梅花，是最坏的情况么？)，共计：2813344张从 2、4、6、30 这 15 个偶数中，任取 9 个数，证明其中一定有两个数之和是 34（学案对应：带号 2）【分析】我们用题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉，(2),(4,30)，(6,28)，(16,18),凡是抽屉中的有两个数，都具有一个共同的特点：这两个数的和是 34现从题目中的 15 个偶数中任取 9 个数，由抽屉原理（因为抽屉只有 8 个），必有两个数在同一个抽

10、屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是 34从 1，2，3，4，1994 这些自然数中，最多可以取个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于 9（学案对应：超常 2）【分析】方法一：把 1994 个数一次每 18 个分成一组，最后 14 个数也成一组，共分成 111 组即1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18；19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；1963，1964，1979，1980；1981，1982，1994例 4例 2例 35第 11 级下超常体系教师版第 13 讲每

11、一组中取前 9 个数，共取出9 111999（个）数，这些数中任两个的差都不等于 9因此，最多可以取 999 个数方法二：构造公差为9 的9 个数列（除以 9 的余数）1,10,19,28,1990，共计 222 个数2,11,20,29,1991，共计222 个数3,12,21,30,1992，共计222 个数4,13,22,31,1993，共计222 个数5,14,23,32,1994，共计 222 个数6,15,24,33,1986，共计 221个数7,16,25,34,1987，共计 221个数8,17,26,35,1988，共计 221个数9,18,27,36,1989，共计 221

12、个数每个数列相邻两项的差是 9，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于 9，每个数列中不能取相邻的项因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取111 9999 个数1958年6月7号的美国数学月刊上有这样一道题目：“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识”这个问题可以用如下方法简单明了地证出：在平面上用6个点 A、B、C、D、E、F 分别代表参加集会的任意6个人如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线考虑 A 点与其余各点间的5条连线 AB，AC，.，AF，它们的颜色不超过2种根据抽屉原理

13、可知其中至少有3条连线同色，不妨设 AB，AC，AD 同为红色如果 BC，BD，CD 3条连线中有一条（不妨设为 BC）也为红色，那么三角形 ABC 即一个红色三角形，A、B、C 代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD 三条连线全为蓝色，那么三角形 BCD 即一个蓝色三角形，B、C、D 代表的3个人以前彼此不相识不论哪种情形发生，都符合问题的结论第 11 级下超常体系教师版6任给 11 个数，其中必有 6 个数，它们的和是 6 的倍数（学案对应：超常 3，带号 3）【分析】设这 11 个数为1a，2a，3a，11a，由铺垫的结论可知，在1a，2a，3a，4a，5a中必有 3 个数，其和

14、为 3 的倍数，不妨设12313aaak；在4a，5a，6a，7a，8a 中必有 3 个数，其和为 3 的倍数，不妨设45623aaak；在7a，8a，9a，10a，11a 中必有 3个数，其和为 3 的倍数，不妨设78933aaak又在1k，2k，3k 中必有两个数的奇偶性相同，不妨设1k，2k 的奇偶性相同，那么1233kk是 6 的倍数，即1a，2a，3a，4a，5a，6a 的和是 6 的倍数铺垫在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是 3 的倍数？【分析】任何整数除以 3 的余数只能是 0，1，2 三种情形之一现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个

15、以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论第一种情形：有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以 3 后具有相同的余数因为这三个数的余数之和是其中一个余数的 3 倍，故能被 3 整除，所以这三个数之和能被 3 整除第二种情形：至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被 3 除的余数分别为 0，1，2因此这三个数之和能被 3 整除综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是 3 的倍数任意给定一个正整数 n，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由 0 和 7 组成的数.（学案对应：超常 4）【分析】虑如下1n 个数：7，77，777，777n位，

16、1777n 位，这1n 个数除以 n 的余数只能为0，1，2，1n 中之一，共n 种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以n 的余数相同，不妨设为 777p位和 777q位(pq)，那么()777777777000pqp qq 位位位位是 n 的倍数，所以 n 乘以适当的整数，可以得到形式为()777000p qq 位位的数，即由 0 和 7 组成的数如右图，分别标有数字1,2,8的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对（学案对应：带号 4）例 7例 6例 57第 11 级下超常体系教师版

17、第 13 讲【分析】内外两个圆环对转可以看成一个静止，只有一个环转动，一个环转动一周后，每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现 8次.将这8 次局面看成8 个苹果，注意到一环每转动45 角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面，而最初相对滚珠所标数字都不相同，所以相对的滚珠所标的数字相同的情况只出现在以后的 7 次转动中，将7 次转动看做7 个抽屉，根据抽屉原理至少有2 次数字相对的局面出现在同一次转动中即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对20 道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题证明：小明一定在连续的若干天内恰

18、好做了7 道题目【分析】设小明第 1 天做了1a 道题，前 2 天共做了2a 道题，前 3 天共做了3a 道题，前 14 天共做了14a道题显然1420a，而1a 13a 都小于 20考虑1a，2a，3a，14a 及17a，27a，37a，147a这 28 个数，它们都不超过 27根据抽屉原理，这 28 个数中必有两个数相等由于1a，2a，3a，14a互不相等，17a，27a，37a，147a也互不相等，因而这两个相等的数只能一个在前一组，另一个在后一组中，即有：7jiaa，所以7jiaa这表明从第1i 天到第 j 天，小明恰好做了 7 道题答案：4 只袜子例 8据说世界上没有两个人的手指纹是

19、一样的，因此警方在处理犯罪问题时很重视手指纹，希望通过手指纹来破案或检定犯人可是你知道不知道：在 12 亿中国人当中，最少有两个人的头发是一样的多？道理是很简单，人的头发数目是不会超过 12 亿这么大的数目字！假定人最多有 N 根头发现在我们想像有编上号码 1，2，3，4，一直到 N 的房子谁有多少头发，谁就进入编号和他的头发数相同的房子去因此张乐平先生的“三毛”应该进入“3 号房子”现在假定每间房巳进入一个人，那么还剩下“12 亿减 N”个人，这数目不会等于零，我们现在随便挑一个放进一间和他头发数相同的房子，他就会在里面遇到和他有相同头发数目的同志了下面来解决下面一个实际问题有一个晚上你的房

20、间的电灯忽然间坏了，伸手不见五指，而你又要出去，于是你就摸床底下的袜子你有三双分别为红、白、蓝颜色的袜子，可是你平时做事随便，一脱袜就乱丢，在黑暗中不能知道哪一双是颜色相同的你想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成同颜色的一双这最少数目应该是多少？第 11 级下超常体系教师版81.某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是自然数，最高得分 198，最低得分169，没有得 193 分、185 分和 177 分，并且保证至少有 6 人得同一分数，参加测试的至少人【分析】1981691327 种得分，2751136 人2.从 1 到 20 这 20 个数中，任取 11 个不同的数，必有两个数其中

21、一个是另一个数的倍数【分析】把这 20 个数分成以下 10 组，看成 10 个抽屉：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，(7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前 5 个抽屉中，任意两个数都有倍数关系从这 10 个抽屉中任选 11 个数，必有一个抽屉中要取 2 个数，它们只能从前 5 个抽屉中取出，这两个数就满足题目要求3.(南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛)从 1 至 36 个数中，最多可以取出_个数，使得这些数中没有两数的差是 5 的倍数【分析】构造公差为5 的数列，如图，有五条链，看成5 个抽屉，每条链上取 1 个数，最

22、多取 5 个数1611162126313627121722273238131823283349141924293451015202530354.证明：任给 12 个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数【分析】两位数除以 11 的余数有 11 种：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，按余数情况把所有两位数分成 11 种12 个不同的两位数放入 11 个抽屉，必定有至少 2 个数在同一个抽屉里，这 2 个数除以 11 的余数相同，两者的差一定能整除 11两个不同的两位数，差能被 11 整除，这个差也一定是两位数（如 11，22），并且个位与十位相

23、同所以，任给 12 个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数5.（第八届小数报数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为 10 类：个位数字是 1 的为第 1 类，个位数字是 2 的为第 2 类，个位数字是 9 的为第 9 类，个位数字是 0 的为第 10 类任意取出 6 个互不同类的自然数，其中一定有 2 个数的和是 10 的倍数吗？任意取出 7 个互不同类的自然数，其中一定有 2 个数的和是 10 的倍数吗？如果一定，请简要说明理由；如果不一定，请举出一个反例【分析】（1）不一定有例如 1、2、3、4、5、10 这 6 个数中，任意两个数的和都

24、不是 10 的倍数（2）一定有将第 1 类与第 9 类合并，第 2 类与第 8 类合并，第 3 类与第 7 类合并，第 4类与第 6 类合并，制造出 4 个抽屉；把第 5 类、第 10 类分别看作 1 个抽屉，共 6 个抽屉任意 7 个互不同类的自然数，放到这 6 个抽屉中，至少有 1 个抽屉里放 2 个数因为 7 个数互不同类，所以后两个抽屉中每个都不可能放两个数当两个互不同类的数放到前 4 个抽屉的任何一个里面时，它们的和一定是 10 的倍数思考题9第 11 级下超常体系教师版第 13 讲6.平面上给定 6 个点，没有 3 个点在一条直线上证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中，一定有一

25、个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边【分析】我们先把题目解释一下一般情况下三角形的三条边的长度是互不相等的，因此必有最大边和最小边在等腰三角形(或等边三角形中)，会出现两条边，甚至三条边都是最大边(或最小边)我们用染色的办法来解决这个问题分两步染色：第一步：先将每一个三角形中的最大边涂上同一种颜色，比如红色；第二步，将其它的未涂色的线段都涂上另外一种颜色，比如蓝色这样，我们就将所有三角形的边都用红、蓝两色涂好这些三角形中至少有一个同色三角形由于这个同色三角形有自己的最大边，而最大边涂成红色，所以这个同色三角形必然是红色三角形由于这个同色三角形有自己的最小边，而这条最小边也是红色的，

26、说明这条最小边必定是某个三角形的最大边结论得证7.圆周上有 2000 个点，在其上任意地标上 0,1,2,1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999【分析】123234200012122000+33(1231999)5997000aaaaaaaaaaaa 59970002998 20001000，根据抽屉原理，这两千组数中至少有一组数的和不小于 29998.将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色（每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？【分析】通过列举我们发现给这些

27、方格涂色，要使每列的颜色不同，最多有6 种不同的涂法，蓝黄红蓝黄红蓝黄红蓝黄红蓝黄红红黄蓝涂到第六列以后，就会跟前面的重复所以不论如何涂色，其中至少有两列它们的涂色方式相同抽屉原理 1：将多于 n 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件；抽屉原理 2：将多于 mn 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于1m 件任意1n 个自然数中，总有两个自然数的差是 n 的倍数知识点总结第 11 级下超常体系教师版11.有 61 只乒乓球，将它们放在 20 个盒子里，不允许有空盒子，每个盒子里最多放 5 只乒乓球，那么最少有个盒子里的乒乓球数量相同

28、【分析】1234515，611541，415 2.一副扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有 2 张牌有相同的点数？【分析】如果不算大、小王，每个花色 13张牌，只需 14张便一定有两张相同点数的牌，加上大、小王，则需要 16 张牌3.请证明：在 1，4，7，10，100 中任选 20 个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104【分析】1，4，7，10，100 共有 34 个数，将其分为(4，100)，(7，97)，(49，55)，(1)，(52)，共有 18 个抽屉从这 18 个抽屉里面任意抽取 20 个数，则至少有 18 个数取自前 16个抽屉，所以至少有 4 个数取自某

29、两个抽屉中，而属于同一“抽屉”的两个数，其和是 1044.（小学数学奥林匹克决赛）从 1，2，3，4，1988，1989 这些自然数中，最多可以取_个数，其中每两个数的差不等于 4【分析】将 11989 排成四个数列：1，5，9，1985，19892，6，10，19863，7，11，19874，8，12，1988每个数列相邻两项的差是 4，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于 4，每个数列中不能取相邻的项因此，第一个数列只能取出一半，因为有(1989 1)41498 项，所以最多取出 249 项，例如 1，9，17，1985同样，后三个数列每个最多可取 249 项因而最多取出 2494996

30、个数，其中每两个的差不等于 45.证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是 7 的倍数【分析】在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数 a、b，它们除以自然数 m 的余数相同，那么它们的差 ab是 m 的倍数.根据这个性质，本题只需证明这 8 个自然数中有 2 个自然数，它们除以 7 的余数相同.我们可以把所有自然数按被 7 除所得的 7 种不同的余数 0、1、2、3、4、5、6 分成七类.也就是 7 个抽屉.任取 8 个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以 7 的余数相同，因此这两个数的差一定是 7 的倍数6.求证：可以找到一个各位数字都是 4 的自然数，它

31、是 1996 的倍数【分析】19964499，下面证明可以找到 1 个各位数字都是 1 的自然数，它是 499 的倍数取 500 个数：1，11，111，1111（500 个 1）用 499 去除这 500 个数，得到 500个余数1a，2a，3a，500a由于余数只能取 0，1，2，498 这 499 个值，所以根据抽屉原则，必有 2 个余数是相同的，这 2 个数的差就是 499 的倍数，差的前若干位是 1，后若干位是 0：111000又 499 和 10 是互质的，所以它的前若干位由 1 组成的自然数是 499 的倍数，将它乘以 4，就得到一个各位数字都是 4 的自然数，这是 1996 的

32、倍数家庭作业1第 11 级下超常体系教师版第 13 讲7.8 位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这 8 位小朋友的名字开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字【分析】沿顺时针方向转动圆桌，每次转动一格，使每位小朋友恰好对准桌面上的字条，经过 8 次转动后，桌面又回到原来的位置在这个转动的过程中，每位小朋友恰好对准桌面上写有自己名字的字条一次，我们把每位小朋友与自己名字相对的情况看作“苹果”，共有 8 只“苹果”另一方面，由于开始时每个小朋友都不与自己名字相对，所以小朋友

33、与自己名字相对的情况只发生在 7 次转动中，这样 7 次转动(即 7 个“抽屉”)将产生 8 位小朋友对准自己名字的情况，由抽屉原理可知，至少在某一次转动后，有两个或两个以上的小朋友对准自己的名字8.时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，11，12这12个数，在其上任意做 n 个120的扇形，每一个都恰好覆盖 4 个数，每两个覆盖的数不全相同如果从这任做的 n 个扇形中总能恰好取出 3 个覆盖整个钟面的全部 12个数，求 n 的最小值111098765432112【分析】（1）当8n 时，有可能不能覆盖 12 个数，比如每块扇形错开 1 个数摆放，盖住的数分别是：（12，1，2，3）；（1，

34、2，3，4）；（2，3，4，5）；（3，4，5，6）；（4，5，6，7）；（5，6，7，8）；（6，7，8，9）；（7，8，9，10），都没盖住 11，其中的 3 个扇形当然也不可能盖住全部 12 个数（2）每个扇形覆盖 4 个数的情况可能是：（1，2，3，4）（5，6，7，8）（9，10，11，12）覆盖全部 12 个数（2，3，4，5）（6，7，8，9）（10，11，12，1）覆盖全部 12 个数（3，4，5，6）（7，8，9，10）（11，12，1，2）覆盖全部 12 个数（4，5，6，7）（8，9，10，11）（12，1，2，3）覆盖全部 12 个数当9n 时，至少有 3 个扇形在上面

35、 4 个组中的一组里，恰好覆盖整个钟面的全部 12 个数所以 n 的最小值是 9【超常班学案1】一次测验共有 10 道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得 5 分；回答不完全正确，得 3 分；回答完全错误或不回答，得 0 分至少_人参加这次测验，才能保证至少有3 人得得分相同【分析】根据评分标准可知，最高得分为 50 分，最低得分为 0 分，在 050 分之间，1 分，2 分，4分，7 分，47 分，49 分不可能出现共有 51645（种）不同得分根据抽屉原理，至少有 45 2191（人）参赛，才能保证至少有 3 人得分相同【超常班学案2】从 1、2、3、4、19、20 这 20 个自然

36、数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是 12【分析】在这 20 个自然数中，差是 12 的有以下 8 对：超常班学案第 11 级下超常体系教师版120，8，19，7，18，6，17，5，16，4，15，3，14，2，13，1另外还有 4 个不能配对的数9，10，11，12，共制成 12 个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于 12，根据抽屉原理至少任选 13 个数，即可办到（取 12 个数：从 12 个抽屉中各取一个数（例如取 1，2，3，12），那么这 12 个数中任意两个数的差必不等于 12）【超常班学案3】从整数 1、2、3

37、、199、200 中任选 101 个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数.【分析】把这 200 个数分类如下：(1)1，1 2，21 2，31 2，71 2，(2)3，3 2，23 2，33 2，63 2，(3)5，5 2，25 2，35 2，55 2，(50)99，992，(51)101，(52)103，(100)199，以上共分为 100 类，即 100 个抽屉，显然在同一类中的数若不少于两个，那么这类中的任意两个数都有倍数关系.从中任取 101 个数，根据抽屉原理，一定至少有两个数取自同一类，因此其中一个数是另一个数的倍数.【超常班学案4】任意给定 2008

38、 个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是 2008 的倍数(单独一个数也当做和)【分析】把这 2008 个数先排成一行：1a，2a，3a，2008a，第 1 个数为1a；前 2 个数的和为12aa；前 3 个数的和为123aaa；前 2008 个数的和为122008aaa如果这 2008 个和中有一个是 2008 的倍数，那么问题已经解决；如果这 2008 个和中没有2008 的倍数，那么它们除以 2008 的余数只能为 1，2，2007 之一，根据抽屉原理，必有两个和除以 2008 的余数相同，那么它们的差(仍然是1a，2a，3a，2008a中若干个数的和)是 2008 的倍数所以结论成

39、立1第 11 级下超常体系教师版第 13 讲【123班学案1】（2006 年华罗庚金杯数学邀请赛）自制的一副玩具牌共计 52 张（含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅每种牌都有1点，2 点，13点牌各一张）洗好后背面向上放好，一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有 2 张牌的点数和颜色都相同如果要求一次抽出的牌中必定有3 张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取张牌【分析】由于点数有13 种情况，颜色有黑、红两种情况，根据最不利的原则，我们可以取黑、红颜色的1,2,3,12,13点各两张，共计13 226张，那么再取一张必然会出现颜色相同，因此至少取 26127 张牌，才能保证其中必定有2 张牌

40、的点数和颜色都相同可以构造点数相邻的抽屉如下(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9),(10,11,12),(13)，根 据 最 不 利 原 则，可 以 取 点 数 分 别 为1,2,4,5,7,8,10,11,13各四张，共计 9436张，如果再取一张必然必定有 3张牌的点数是相邻的（不计颜色）.【123班学案2】有 2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11 共 10 个自然数，从这 10 个数中选出 7 个数，使这 7 个数中的任何 3 个数都不会两两互质；说明从这 10 个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质【分析】这 7 个数是 2，3，4，6，8，9，10；将这 10

41、 个自然数分为三组：偶数 2，4，6，8，10 为第一组；3，9 为第二组；5，7，11 为第三组显然，第一和第二组每组至多只能选出 1 个数，第三组的 3 个自然数两两互质，最多能选 3 个例如：2、3、5、7、11 就两两互质所以从 2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11 最多可以选出 5 个数，这 5 个自然数两两互质【123班学案3】求证：对于任意的 8 个自然数，一定能从中找到 6 个数 a，b，c，d，e，f，使得()()()ab cd ef是 105 的倍数【分析】1053 5 7 对于任意的 8 个自然数，必可选出 2 个数，使它们的差是 7 的倍数；在剩下的 6 个数

42、中，又可选出 2 个数，使它们的差是 5 的倍数；在剩下的 4 个数中，又可选出2 个数，使它们的差是 3 的倍数【123班学案4】平面上有 17 个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干个三角形证明：一定有一个三角形三边的颜色相同【分析】从这 17 个点中任取一个点 A，把 A 点与其它 16 个点相连可以得到 16 条线段，根据抽屉原理，其中同色的线段至少有 6 条，不妨设为红色考虑这 6 条线段的除 A 点外的 6 个端点：如果 6 个点两两之间有 1 条红色线段，那么就有 1 个红色三角形符合条件；如果 6 个点之间没有红色线段，也就是全为黄色和蓝色，由上面的 2 题可知，这 6 个点中必有 3 个点，它们之间的线段的颜色相同，那么这样的三角形就符合条件综上所述，一定存在一个三角形满足题目要求123 班学案