小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第6讲旋转与轨迹.pdf

1、1第 11 级下超常体系教师版第六讲漫画释义六年级秋季圆柱与圆锥六年级秋季复合图形分拆六年级秋季旋转与轨迹六年级寒假 几何模块综合选讲（一）六年级春季 几何模块综合选讲（二）求相关图形旋转所形成的立体图形体积及圆中的滚动扫过面积知识站牌第六讲旋转与轨迹2第 11 级下超常体系教师版春节期间我们看到过漂亮的烟花，大家想过没有这些漂亮烟花怎么形成的呢？原理很简单，大家晚上可以拿着手电筒来回舞动，也会有“漂亮”的烟花；大家玩过风车吧，当风车不动的时候，就是几个扇叶，如果风车转起来，就会是一个圆面。因此我们可以说一个图形动起来，在我们的视觉范围里，图形会发生改变，这就是我们今天要学习的“点动成线、线动

2、成面、面动成体”1.想象线、面旋转后所成的图形，并能求相关面积和体积2.总结相关旋转规律，解决相关实际的旋转问题（没有特殊要求的均取3.14）1.已知圆的半径是 5 厘米，则圆的周长是厘米，面积是平方厘米【分析】周长是：3.145231.4（厘米）；面积是：23.14578.5（平方厘米）2.如图大扇形的半径是 6 厘米，小扇形半径是 4 厘米，则图中阴影部分的周长是厘米；面积是平方厘米。（取 3）6046【分析】周长是：60(64)232(64)14360 （厘米），面积22603(64)10360 （平方厘米）3.已知圆柱的底面半径是 3 厘米，高是 4 厘米，则圆柱的表面积是平方厘米，体

3、积是立方厘米（取 3）【分析】表面积：223 34+23 3=126 （平方厘米），体积是：23 34108（立方厘米）知识点回顾教学目标课堂引入3第 11 级下超常体系教师版第六讲4.已知圆锥的底面半径是 6 厘米，高是 5 厘米，则圆锥的体积是立方厘米（取 3）【分析】体积是：213651803 （立方厘米）5.如图，线段 AB 长 10 厘米，向右平移 5 厘米，所形成的图形面积是多少？【分析】线段平移扫过的图形为长方形，如下图所示，长方形的面积为 105=50（平方厘米）6.一个长方形长 5 厘米，宽 3 厘米，沿着与水平面垂直的方向平移 6 厘米，所形成的立体图形的体积是多少立方厘米

4、？【分析】长方形的面积为 53=15（平方厘米），沿垂直方向平移 6 厘米，所形成的长方体体积为156=90（立方厘米）7.一个圆半径是 20 厘米，沿着与水平面垂直的方向平移 6 厘米，所形成的立体图形的体积是多少立方厘米？【分析】半径为 20 厘米的圆的面积为 400，沿垂直方向平移 6 厘米，所形成的圆柱体积为2400=7536（立方厘米）一、旋转1.线动成面一条线段绕固定点旋转一定的角度，只要找到线段距离固定点的最近点和最远点，然后绕固定点旋转所形成的图形，所形成的图形经过割补就是下图的阴影.2.面动成体长方形绕长或宽旋转所形成的图形是圆柱，直角三角形绕直角边旋转所形成的的图形是圆锥二

5、、轨迹一个点在空间移动，它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹。经典精讲4第 11 级下超常体系教师版模块一：线动成面例 1；羊吃草问题例 2：图形滚动扫过的面积例 3：线段绕固定点旋转扫过的面积模块二：面动成体例 4：长方形绕长或宽旋转问题例 5：直角三角形绕边旋转问题例 6：长方形绕对角线旋转问题模块三：轨迹例 7：正方形顶点旋转轨迹例 8：三角形顶点旋转轨迹草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊(见如图)问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取 3.14)30CBA10201030【分析】如图所示，羊活动的范围可以分为 A，B，C

6、三部分，其中 A 是半径30 米的 34个圆，B，C 分别是半径为 20米和10 米的 14个圆所以羊活动的范围是2223113020104442223113020104442512例 1例题思路5第 11 级下超常体系教师版第六讲一个半径为 1 厘米的圆盘沿着一个半径为 4 厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动 90 度后（如图），小圆盘运动过程中扫出的面积是（）平方厘米。（3.14）（学案对应：超常 1）【分析】小圆盘扫出的面积为四分之一圆环和一个小圆的面积，22221(3.1463.144)3.14 118.84(cm)4如图，线段 AB 长 10 厘米，绕 A

7、 点顺时针旋转 90 度，所形成的图形面积是多少？如图所示，直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米，60ABC，此时 BC 长 5 厘米以点 B为中心，将ABC顺时针旋转120，点 A、C 分别到达点 E、D 的位置求 AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积ABCDE如图，将长方形 ABCD 绕顶点 C 顺时针旋转 90 度，若 AB=4，BC=3，AC=5，求 AD 边扫过部分的面积(取 3.14)例 3例 2DCBA6第 11 级下超常体系教师版一段曲线连着折线，绕着一点 A 旋转一周 360，已知图形上最近的点距离旋转点 3cm，最远的点距离 5cm，此曲线扫过的面积为多少？

8、A如图，ABCD 是一个长为4，宽为 3，对角线长为5 的正方形，它绕 C 点按顺时针方向旋转90，分别求出四边扫过图形的面积CBDA（学案对应：带号 1）【分析】线段 AB 绕 A 点顺时针旋转 90 度，所得图形为扇形，如下图所示，扇形的圆心角为 90度，圆周半径为 10 厘米，面积为 100 90360=25=78.5（平方厘米）注意分割、平移、补齐(2)(1)EDCBA如图所示，将图形移补到图形的位置，因为60EBD，那么120ABE，则阴影部分为一圆环的 13 即2213.14(105)78.53（平方厘米）如下图所示，7第 11 级下超常体系教师版第六讲BDADCBADBAABCD

9、ADB如下图所示，端点 A 扫过的轨迹为 AA A ，端点 D 扫过轨迹为DD D ，而 AD 之间的点，扫过的轨迹在以 A、D 轨迹，AD，A D 所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段 AD 上某点扫过，所以 AD 边扫过的图形为阴影部分显然,有阴影部分面积为A D CACAACDSSSS 直角扇形直角扇形CD D,而直角三角形 A D C、ACD 面积相等=A D CACAACDACASSSSSS 直角扇形直角扇形CD D扇形扇形CD D222290909=(54)7.065()36036044ACCD平方厘米即 AD 边扫过部分的面积为 7.065 平方厘米最后扫过的是一个

10、圆环，面积为223.14(53)50.24（cm）。容易发现，DC 边和 BC 边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的 14，如图：BADCBA因此 DC 边扫过图形的面积为 4，BC 边扫过图形的面积为 94 2、研究 AB 边的情况在整个 AB 边上，距离C 点最近的点是B 点，最远的点是 A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：8第 11 级下超常体系教师版DCBBAA下面来求这部分的面积观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：扇形ACA 面积三角形A B C 面积三角形 ABC 面积扇形BCB 面积扇形ACA 面积扇形BCB 面积225

11、 3 4443、研究 AD 边扫过的图形由于在整条线段上距离C 点最远的点是 A，最近的点是 D，所以我们可以画出 AD 边扫过的图形，如图阴影部分所示：AABBCD用与前面同样的方法可以求出面积为：225 4 9 444旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的一个长方形的长是 5 厘米，宽是 2 厘米，以其中的一

12、条边为轴旋转一周，可以得到一个圆柱，圆柱体积最大是多少立方厘米?(取 3.14)【分析】以 5 为半径，高为 2 的圆柱体体积为25250，以 2 为半径，高为 5 的圆柱体体积为22520，所以圆柱体积最大是 50157（立方厘米）例 49第 11 级下超常体系教师版第六讲已知直角三角形的三条边长分别为 3 cm，4 cm，5 cm，分别以这三边为轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？（取3.14）【分析】以 3 cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是 4 cm，高是 3 cm 的圆锥体，体积为2313.144350.24(cm)3 以 4 cm 的边为轴旋转一周所

13、得到的是底面半径是 3 cm，高是 4 cm 的圆锥体，体积为2313.14 3437.68(cm)3 以 5 cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高 3452.4cm，高之和是5 cm 的两个圆锥的组合体，体积为2313.142.4530.144(cm)3 一个长方形的长为 16 厘米，宽为 12 厘米以它的一条对角线为轴旋转此长方形，得到一个旋转体求这个旋转体的体积（结果中保留，即不用近似值代替）例 6例 5椭圆的画法椭圆规是一种古老的绘画椭圆的简易工具。常见的椭圆规由有十字形滑槽的底板和旋杆组成，在十字形滑槽上各装有一个活动滑表标。滑标下面有一根旋杆。此旋杆与纵横两个滑标连

14、成一体。移动滑标，其下面的旋杆能作 360的旋动画出符合椭圆方程的椭圆。若在木板上隔一段距离钉两根钉子，再把一条绳子的两头分别系在钉子上，用笔绷紧绳子绕一圈，画出的轨迹也是椭圆。科技馆的椭圆规10第 11 级下超常体系教师版NMEFODCBA（学案对应：超常 2，带号 2）【分析】如图先找到长方形的对称中心 O,可以想象对角线左边三角形旋转是两个圆锥对起来，右边的也是，但是半径大的圆锥把半径小的圆锥给覆盖了，由于OEOF,左边的三角形，OE 的下半部分被右边的覆盖，因此上边部分就是四边形 ABEO 旋转而成的立体图形，下边的是四 边 形CDFO旋 转 而 成，上 下 的 体 积 相 同，因 此

15、 体 积 为2221112()333BMAMBMMCEOOC222112 16112 1612()7.2()(207.2)7.510)3203203853.8(立方厘米)如图，一条直线上放着一个长和宽分别为 4cm 和3cm的长方形它的对角线长恰好是5cm 让这个长方形绕顶点 B顺时针旋转 90后到达长方形的位置，这样连续做三次，点 A 到达点 E 的位置求点 A走过的路程的长EDCBAA 2A 1ABCDE（学案对应：超常 3，带号 3）【分析】因为长方形旋转了三次，所以 A点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)这三段路程分别是：第 1 段是弧1AA，它的长度是1244 (cm)；

16、第 2 段是弧12A A，它的长度是1254 (cm)；第 3 段是弧2A E，它的长度是1234(cm)；所以 A点走过的路程长为：1112425236444 (cm)例 711第 11 级下超常体系教师版第六讲正三角形 ABC 的边长是 6 厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使 A 点再次落在这条直线上，那么 A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是 15 平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留 )ABBCA（学案对应：超常 4，带号 4）【分析】如图所示，A 点在翻滚过程中经过的路线为两段120 的圆弧，所以路线的总长度为：12026283

17、60（厘米）；三角形在滚动过程中扫过的图形为两个120 的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：212062152415360（平方厘米）如图，两条直线相交于点 O。ABC 的顶点 A 在其中一条直线上，顶点 B 在另一条直线上。如果保持 ABC 的各边边长不变，让点 A 和点 B 在所在直线上滑动，那么点 C 描绘出来的轨迹是一个什么样的图形？答案：一个椭圆。例 812第 11 级下超常体系教师版1.线动成面一条线段绕固定点旋转一定的角度，只要找到线段距离固定点的最近点和最远点，然后绕固定点旋转画出图形即可2.面动成体长方形绕长或宽旋转所形成的图形是圆柱，直角三角形绕直角边旋转所形成的的图

18、形是圆锥1.如图 1，一只羊被拴在一个长为 4 米，宽为 3 米的长方形的羊圈内，在 B 处有一个缺口，羊可以自由出入，拴绳长 9 米，那么羊能够到达的地方的面积约为平方米。(取3.14，结果保留两位小数)【分析】首先在羊圈内，羊能到达羊圈中 34=12 平方米的所有空间，在羊圈外，根据勾股定理求出，羊圈的对角线长为 5 米，所以拴绳可以从 B 处穿出的长度最多有 4 米，所以羊圈以外的部分可以看作半径为 4 米的四分之三圆和一个半径为 1 米的四分之一圆，如图 2 所示22131S=43+141212=50.46550.47444(平方米)。2.如图是一个直径为 3cm的半圆，让这个半圆以

19、A 点为轴沿逆时针方向旋转60，此时 B点移动到B 点，求阴影部分的面积(图中长度单位为cm，圆周率按 3计算)BBA60【分析】面积 圆心角为 60 的扇形面积 半圆 空白部分面积(也是半圆)圆心角为 60 的扇形面积2260334.5(cm)3602附加题知识点总结13第 11 级下超常体系教师版第六讲3.如图所示，将一块边长为 8cm 的方形木块涂黑后固定在桌上。将另一块大小相等的方木块涂白后靠着黑木块放在桌上，在白木块上有一点 P，分别距白木块的边缘 2cm 和 6cm。白木块不转变方向，并且与黑木块总是保持接触，白木块绕黑木块滑行一周后，请问 P 点移动的路程是多少厘米？【分析】P

20、点移动的轨迹如图所示。正好是一个边长为 286=16（cm）的正方形。因此，P 点移动的路程为：164=64（cm）。4.有一椭圆形家具平放在客厅，其最长的部分为 AB，长度为 6m。小明将它以 A 点为轴，把整个家具逆时针旋转 60，此时 B 点移动到 B。请问此家具下缘扫过的面积（即为阴影部分）为多少？（取3.14）【分析】如图所示，此家具所扫过的部分即为阴影部分，且可观察出区域 X 与区域 Y 的面积一样，故所求面积即为扇形之面积2603.14663.14618.84m360 。1.一只狗被拴在底座为边长 3m 的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是 4m，求狗所能到的地方的总面积(

21、圆周率按 3.14 计算)3【分析】如图所示，狗活动的范围是一个半径 4m，圆心角 300的扇形与两个半径1m，圆心角 120的扇形之和所以答案是243.96m 家庭作业14第 11 级下超常体系教师版2.如右图，以OA 为斜边的直角三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长 10 厘米，将它以O点为中心旋转90，问：三角形扫过的面积是多少？(取 3)AAO【分析】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之一圆的面积之和圆的半径就是直角三角形的斜边 OA因此可以求得，三角形扫过的面积为：124 10 102425994(平方厘米)3.(2008 年“学而

22、思杯”数学试题)如图，直角三角形 ABC 中，B为直角，且2BC 厘米，4AC 厘米，则在将ABC绕 C 点顺时针旋转120 的过程中，AB 边扫过图形的面积为(3.14)CBABACBA【分析】如右上图所示，假设 ABC旋转120 到达A B C的位置阴影部分为 AB 边扫过的图形从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于扇形ACA 的面积与ABC的面积之和，空白部分面积等于扇形BCB 的面积与A B C的面积，由于 ABC的面积与A B C的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形ACA 与扇形BCB 的面积之差，为2212012042412.563

23、60360(平方厘米)4.(2006 年希望杯第四届六年级一试)如图，从正方形 ABCD 上截去长方形 DEFG，其中 AB=1厘米，DE=12 厘米，DG=13 厘米。将 ABCGFE 以 GC 边为轴旋转一周，所得几何体的表面积是_平方厘米，体积是_立方厘米。(结果用 表示)GFEDCBA15第 11 级下超常体系教师版第六讲【分析】经过旋转之后我们可以得到一个挖去一个半径为 12 小圆柱体的柱体，其表面积为12+212+13=143，其体积为 112-13（12）2=1112。5.如图，直角三角形如果以 BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16，以 AC 边为轴旋转一周，那么所

24、形成的圆锥的体积为12，那么如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ABC【分析】设 BCa，ACb，那么以 BC 边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为23ab，以 AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为2 3a b，由此可得到两条等式：224836aba b，两条等式相除得到43ba，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到34ab，根据勾股定理，直角三角形的斜边 AB 的长度为 5，那么斜边上的高为2.4 如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为 2.4，高的和为 5，所以体积是22.4 59.636.如图，ABC

25、D 是矩形，6cmBC，10cmAB，对角线 AC、BD 相交 O E、F 分别是AD 与 BC 的中点，图中的阴影部分以 EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(取 3)OFABCDEOFABCDE【分析】扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形两个圆锥的体积之和为2123530903(立方厘米)；圆柱的体积为2310270(立方厘米)，所以白色部分扫出的体积为 27090180(立方厘米)7.（2008 年第 9 届中环杯 5 年级初赛第 6 题）某人从某点向前走 16 米，原地向右转18，再向前走16 米，再向右转18 这样走

26、下去，他第一次回到出发点时，一共走了米。16第 11 级下超常体系教师版【分析】这个人每次走相同的长度之后右转18，那么如果他要回到出发点，至少需要转360，也就是转 3601820 次，期间一共走了 20 16320米。实际上，由于多边形外角和是360，这个人走的轨迹构成一个正 20 边形。8.直角三角形 ABC 放在一条直线上，斜边 AC 长 20 厘米，直角边 BC 长10 厘米如下图所示，三角形由位置绕 A点转动，到达位置，此时 B，C 点分别到达1B，1C 点；再绕1B点转动，到达位置，此时 A，1C 点分别到达2A，2C 点求C 点经1C 到2C 走过的路径的长6030B1C 1C

27、2A2CBA【分析】由于 BC 为 AC 的一半，所以30CAB，则弧 1CC 为大圆周长的 18030536012 ，弧 12C C为小圆周长的 14，而 112CCC C即为 C 点经1C 到2C 的路径，所以C 点经1C 到2C 走过的路径的长为5150652202 10512433(厘米)【超常班学案1】如图，在一个长为 60 厘米，宽为 30 厘米的长方形黑板上涂满白色，现有一块长为 l0 厘米的长方形黑板擦，用它在黑板内紧紧沿着黑板的边平行移动擦黑板一周(黑板擦不旋转)，如果黑板擦没有擦到部分的面积恰好是黑板面积的一半，那么这个黑板擦的宽是多少厘米？【分析】如图所示，黑板擦擦过的轨

28、迹为一个方框。图中小长方形的面积为大长方形面积的一半.S 小长方形=S 大长方形2=60302=900（平方厘米）,小长方形的长为：60-102=40（厘米），所以小长方形的宽为：90040=22.5（厘米），黑板擦的宽为：（30-22.5）2=3.75（厘米）超常班学案17第 11 级下超常体系教师版第六讲DCBAO【超常班学案2】(2006 年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD是矩形，6cmBC，10cmAB，对角线 AC、BD 相交 O 图中的阴影部分以 CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？DCBAO【分析】设三角形 BCO 以 CD 为轴旋转一周所得到

29、的立体图形的体积是V，则V 等于高为 10 厘米，底面半径是 6 厘米的圆锥，减去 2 个高为 5 厘米，底面半径是 3 厘米的圆锥的体积后得到所以，22116102359033V (立方厘米)，那么阴影部分扫出的立体的体积是 2180540V(立方厘米)【超常班学案3】若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只是 3 个五边形那么要完成这一圈共需多少个正五边形【分析】如图所示，设O 为圆心，A、B、C、D 为五边形的顶点，连接 OA、OB、OC.从图中可以看出，OAB和OBC是完全相同的，所以OBAOBC，又五边形内角和为540，所 以 正 五 边 形 的 每 个 内 角 都 为

30、 5405108，即108ABDCBD，那 么3601082144ABC ,则144272OBA，又OABOBA，所 以18072236AOB .所以要用 3603610个正五边形才能围成一圈.【超常班学案4】如图，将边长为 1 的正三角形放在一条直线上，让三角形绕顶点C 顺时针转动到达，再继续这样转动到达，则 A 点走过的路程的长IIIIIIABCIIIIIIABC【分析】图中圆弧即为 A 点走过的路程，分为两段，均为圆心角为120、半径为 1 的扇形的圆弧两个扇形圆弧长之和12042123603 ，即 A 点走过的路程的长是 43 18第 11 级下超常体系教师版【123班学案1】（200

31、6 年数学解题能力高年级初试 8 题）如下图，ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是 1 米。现在以 C 点为圆点，顺时针旋转 90 度，那么，AB 边在旋转时所扫过的面积是平方米。（=3.14）【分析】边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。11rr1r1因为2221rr，所以212r。所求面积为222211111110.6775424428r（平方米）【123班学案2】如图，直角梯形 ABCD 中，ADB=45，BDC=90，BD=10cm，梯形绕 CD 所在的直线旋转一周所得到的旋转体的体积是多少？45DCBA【分析】延长 BA，CD 交于 M 点，如下图N45MA

32、BCD围绕 CD 所在直线，得到两个圆锥，一个向上，一个向下。又有C=45。可知上下两个相123 班学案19第 11 级下超常体系教师版第六讲同大小的圆锥。圆锥的底面就是以 BD 为半径的圆，高是 MD=BD=10cm。三角形 MBC 围绕 MC 旋转一周得到的旋转体体积是2120002101033V2cm同样的方法可以得到 MAD 围绕 MC 旋转一周得到的旋转体体积是 25032cm。二者的差就是梯形旋转得到的体积，也就是175032cm【123班学案3】正方形边长为 acm，对角线长度记作 bcm，在其无滑动的滚动一圈的过程中，顶点 A 走过的轨迹是多长？A【分析】转动一圈的过程如下图所

33、示A3A2A1A中间当 A 作为轴的时候，没有动，所以共三条曲线；但是注意第一段的轨迹，半径不同此处为 b，角度是 90。轨迹长度：111222442baba【123班学案4】先做一个边长为 2cm 的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm 为半径作弧，形成曲边三角形(如左图)再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？(3.14)CBA222【分析】在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才能实施具体的计算20第 11 级下超常体系教师版图图

34、BCA22222222222DD图BAC22222222图ABC22222222在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就是它在所有方向上的宽度都相同为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分 2 步来思考：第 1 步：如图所示，当“莱洛三角形”从顶点 A的上方滚动到顶点 A的左边时，这时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以 A为圆心、2cm 为半径、圆心角为 60的扇形在顶点 A、B、C 处各有这样的一个扇形；第 2 步：如图所示，当“莱洛三角形”在边 AB 上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是以图中 D 点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C 点为圆心的弧 AB 上滚动，可知此时圆心 D 运动的轨迹是图中的弧DD，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以 C 为圆心、4cm 为半径、圆心角为 60的扇形减去半径为 2cm 的60的扇形；综上所述，去掉图中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积滚动时经过的面积是：222260606032342825.12(cm)360360360