小学数学讲义秋季四年级第2讲超常体系.pdf

1、第 2 讲1第 7 级下超常体系教师版漫画释义三年级春季标数法四年级暑假加乘原理初步四年级秋季体育比赛中的数学四年级秋季几何计数初步四年级寒假包含与排除足球比赛赛制；积分制以及相关逻辑推理问题.知识站牌第二讲体育比赛中的数学第 7 级下超常体系教师版2同学们平时喜欢参与体育比赛吗？有没有人经常在下课或者午休的时候到操场上去打篮球或踢足球?回家打开电视机的时候会不会看体育频道播放的各种赛事呢？明年世界杯将会在巴西举行，你是否了解淘汰赛的规则？其他运动的获胜规则呢？你有没有想过这些比赛与数学会有怎样的联系？如果你没想过，那就在今天跟老师一起来研究一下体育比赛中的数学问题吧.1.了解常见的体育赛事的

2、比赛赛制.2.掌握赛制的简单计算，重点掌握单循环赛中“场次与人数”和“场次与分制”之间的关系.3.熟练运用单循环赛中的“点线图”，解决相关的逻辑推理问题.4.学习用列表法分析较为复杂的体育赛事问题.在体育比赛中，我们一般主要研究单循环赛.单循环赛有两条关键的规律：一个小组内，胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数.一般的解题思路是根据这两条规律列表得到各队的胜、平、负的情况再做推理1.n 支队伍的单循环比赛将进行(1)2n nm场，其中每支队都进行(1)n 场.2.体育比赛中的总分（记为 A）问题三分制：胜、平、负按 3、1、0 积分制度，其中 23mAm，每多出现一场平局，总分就会减

3、少1 分；二分制：胜、平、负按 2、1、0 积分制度，其中2Am，不管比赛情况如何，最后的总分总是不变的3.一个小组内：胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数淘汰赛：淘汰赛是指体育比赛和其它各种比赛中的一种赛制，在这种赛制中赛员两两相对，输一场即淘汰出局.每一轮淘汰掉一半选手，直至产生最后的冠军.在单淘汰赛制中赛会组委会事先课堂引入知识点回顾经典精讲教学目标第 2 讲3第 7 级下超常体系教师版会将全部选手按预赛名次或种子顺序进行编排，也支持部分种子选手直接从中间某轮开始参加比赛的安排（即轮空）.这样做的目的是避免实力强的选手过早相遇，导致后面的比赛中对阵双方的实力相差过于悬殊，影响比

4、赛的悬念和精彩程度.循环赛：循环制，是每个队都能和其他队比赛一次或两次，最后按成绩计算名次的比赛方法.这种方法比较合理、客观和公平，有利于各队相互学习和交流经验.循环制包括单循环、双循环和分组循环三种方法.单循环：是所有参加比赛的队均能相遇一次，也就是每个队都要与其他队比赛一次，假如有 A、B、C、D 4 个队，则每个队需要打 3 场，一共需要打 3+2+1=6 场，用线段图表示：DCBAA 与 B、A 与 C、A 与 D、B 与 C、B 与 D、C 与 D 共 6 场.最后按各队在全部比赛中的积分、得失分率排列名次.如果参赛球队不多，而且时间和场地都有保证，通常都采用这种竞赛方法.双循环：是

5、所有参加比赛的队均能相遇两次，最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次.如果参赛队少，或者要创造更多的比赛机会，通常采用双循环的比赛方法.目前，全国男子篮球甲级联赛采用主客场制，在第一阶段预赛和 912 名保级赛中采用的就是双循环比赛.双循环比赛的轮次、场次以及比赛时间，均是单循环比赛的倍数.分组循环：是将所有参加比赛的队先分成若干个小组进行第一阶段预赛，然后每组的优胜队之间再进行第二阶段的决赛，决定第 1 名和以下的名次.在分组预赛中采用单循环的比赛方法，在决赛中可采用单循环赛、同名次赛、交叉赛等，故也称这种竞赛方法为混合循环制或“两阶段制”.分组循环适用于有较多的队参加的竞

6、赛，可以在不长的期限内较合理较公平地完成竞赛任务.分组循环的不足之处，是参赛队由于实力不同，如果分布不均，可能造成强队先期被削减、弱队反而名次排列在前面的局面.为了克服这个缺陷，在编排中应设立“种子队”.所谓“种子队”，就是实力和成绩相对较强的队，他们应被合理地分开.“种子队”可以通过协商确定，也可以根据上一届比赛的名次来确定.为了照顾主办竞赛的单位，有时也在竞赛规程中作出相应规定，还要经过一定会议的讨论和认可.模块一：场次的计算（例 1例 3）模块二：分数的计算（例 4例 6）模块三：综合题（例 7例 8）例题思路第 7 级下超常体系教师版4参加世界杯足球赛的国家共有 32 个（称32 强）

7、，每四个国家编入一个小组，在第一轮单循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比赛，赛出16 强后，进入淘汰赛，每两个国家用一场比赛定胜负，产生8 强、4 强、2 强，最后决出冠军、亚军、第三名、第四名至此，一届世界杯的所有比赛结束根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？(学案对应：超常 1)【分析】单循环赛中，有3248（个）组每组 4 个队每组四个队中，每个队要与其他 3 队都比赛1场，即每个队比3场因为每场比赛要2 个队所以1组里有 4326（场）有8个组，单循环赛就有8648（场）进入淘汰赛，有16 个队，淘汰赛每比1场就淘汰1个队，最后决出冠军1个队，就

8、比了16115场，还要决出第三名、第四名，又多了1场淘汰赛就有15116场世界杯的足球赛全程共有481664（场）(1)学而思要举行足球联赛，有 5 个校区参加比赛，每个区出2 个代表队每个队都要与其他队赛一场，这些比赛分别在5 个校区的体育场进行，那么1)冠军队要比赛多少场？2)一共要进行多少场比赛？3)平均每个体育场都要举行多少场比赛？【分析】1)一共有 5210（个）队参加比赛,每队打 10-1=9 场.2)共赛10(101)245（场）.3)平均每个体育场都要举行 4559（场）比赛(2)学而思的几个校区举行篮球比赛，每两个校区都要赛一场，共赛了 28 场，那么有几个校区参加了比赛？【

9、分析】假设有 n 个校区参加比赛，那么就有2)1(nn场比赛，现在已知共赛了 28 场，那么8n，也就是有 8 个校区参加了比赛小明和 A、B、C、D、E、F 六人赛棋，采用单循环制.现在知道：A、B、C、D、E、F 六人已经赛过的盘数是 6 个连续自然数.问：这时小明已赛过盘.（学案对应：超常 2、超常 123 班 1）【分析】因为六个人赛过的盘数是 6 个连续自然数，可推出六人的分数可能是 6、5、4、3、2、1 或是 5、4、3、2、1、0 这两种情况，以下是对下面两种情况的分析：第一种情况：第二种情况：例 3例 2例 1第 2 讲5第 7 级下超常体系教师版(1)(2)(3)(4)(5

10、)(6)小明FEDCBA(0)(1)(2)(3)(4)(5)ABCDEF小明通过两种情况的分析可知，小明下了 3 盘.四名同学参加区里的围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得 2 分，平一局得 1 分，负一局得 0 分(1)四个队的得分加起来一定是多少分？(2)第一名最多得多少分？最少得多少分？(3)最后一名最多得多少分？(4)比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至多有几局平局？（学案对应：超常 123 班 2）【分析】(1)四人共赛6 局，总分为6212分.(2)第一名最多 32=6 分，最少 124=3 分.(3)全平局 3 分.(4)四人共赛 6 局，总分为 6

11、212（分），因为总分各不相同，分配得：125421 或125430平局最多的应该是5、4、2、1的情况总分是奇数的必有一局平局，当得分是 5 分、1分的同学分别与得分是 4 分、2 分的同学打平后，得分是4 分、2 分的同学就还剩下 3分、1分，互相打平就正好所以平局最多是3 局例 4第 7 级下超常体系教师版6A、B、C、D、E 五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘.规定胜者得2 分，负者不得分.已知比赛结果如下：(1)A 与E 并列第一名;(2)B 是第三名;(3)C 和D 并列第四名.求 B 得多少分？（学案对应：超常 3、超常 123 班 3）足球比赛赛制足球比赛主要

12、包括淘汰赛和循环赛，其中循环赛又包括单循环和双循环.双循环赛制主要出现在一些周期较长的联赛及选拔赛事中，双方分别在对抗过程中表现己方的主场优势.而一些较为集中的比赛多以单循环赛与淘汰赛相结合的形式进行.例如我们常见的世界杯，32 支球队被分在 8 个小组，两两相互进行一场比赛后，小组前两名可以晋级淘汰赛阶段.淘汰赛一直从 16 支球队到决出最后的冠亚季军，都采用一场定胜负的方法，其中也包括了精彩的加时金球制胜，和残酷的点球大战.篮球比赛赛制篮球比赛同样有循环赛和淘汰赛两种形式.风靡全世界的 NBA 里的常规赛采用的就是循环赛的形式.在为期半年，长达 82 场的常规赛赛程中，通过球队的胜场数确定

13、进入季后赛的资格和席位.季后赛采用的则是 7 局 4 胜的淘汰赛形式.16 支分别来自东西部的球队会依照排名（18,27,36,45）进行捉对厮杀，率先获得四场胜利的球队将晋级下一轮.连续四轮战胜对手的球队将获得最终的总冠军.乒乓球比赛赛制乒乓球比赛根据规模多采用淘汰赛制.乒乓球的计分制经过多次修改后，成为了现在的单局 11 分制，即率先赢下 11 分的选手将赢下这一局的比赛.但如果对手的得分达到 10 分及以上，就需要至少多赢两分才能获得比赛胜利.单打的比赛中则多采用 7 局 4 胜，而双打的比赛中多采用 5 局 3 胜.羽毛球比赛赛制羽毛球比赛的赛制采用先小组内循环，每组前两名再晋级参加淘

14、汰赛的形式.每场比赛 3局 2 胜，单局采用 21 分制，即率先赢下 21 分的选手将赢下这一局的比赛.如果对手的得分达到 20 分及以上，就需要至少多赢他两分才能获得比赛胜利.例 5第 2 讲7第 7 级下超常体系教师版【分析】因为五个人一共比赛 45210（场），所以10 场球一共得分：2 1020（分）有两个并列第一，两个并列第四，决定了没有全胜的，也没有全败的，也就是没有得8 分的，也没有得 0 分的，得分情况只有2、4、6 三种所以，并列第一的一共得：6212（分），并列第四的一共得：224分，第三名得20(124)4（分），所以 B 得4 分四个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一

15、场，如果踢平，每队各得 1 分，否则胜队得 3 分，负队得 0 分(1)四个队的得分加起来可能是多少分？(2)第一名最多得多少分？(3)比赛结果，各队的总得分恰好是四个连续的自然数，问：输给第一名的队的总分是多少？（要求说明理由）（学案对应：超常 4）【分析】(1)共打 6 场，总分在 12 分到 18 分之间(2)第一名最多可得到 33=9 分.(3)设四个队的总得分分别为 n，1n ，2n，3n 由于四个队进行单循环比赛，共赛6 场，各队总得分之和不超过 6318（分），且不低于6212（分），即12n(1)(2)(3)18nnn，亦即124618n 解出 23n 下面分情况讨论：1、当3

16、n 时,即四队总分依次为 3，4，5，6因为345618，说明六场比赛都有胜负，不存在平局的场次；而另一方面，得 4 分和 5 分的队都有平局的场次两者矛盾所以，3n 是不可能的2、当2n 时，即四队总分依次是 2，3，4，5因为 234514，所以 6 场比赛中应有 18-144（场）是平局，2 场是有胜负的由于得 5 分和 2 分的队各有二场平局，即531 1 ；21 10 从而可以判定，得 3 分的队必须三场平局，得 4 分的队一胜一平一负，即31 1 1 ，4310 综上所述，第二名得 4 分的队必胜得 2分的队，而负于第一名（注意到得 5 分和 3 分的队都没有输过一场）即输给第一名

17、的队的总分是 4 分.1994 年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁 4 支队分在同一小组，在小组赛中，这 4 支队中的每支队都要与另 3 支队比赛一场根据规定：每场比赛获胜的队可得 3 分；失败的队得 0 分；如果双方踢平，两队各得 1 分已知：（1）这 4 支队三场比赛的总得分为 4 个连续奇数；（2）乙队总得分排在第一；（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的；根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是哪队？（学案对应：超常 123 班 4）例 6例 7第 7 级下超常体系教师版8【分析】每个队踢 3 场，至多得 9 分但若一个队得 9 分，则第二名已负 1 场，至多得 6

18、分，与条件（1）不符，所以第一名不能得 9 分，这样 4 个队的得分依次为 7、5、3、1丁恰有两场平局，因而总分为 2 或 5，由于总分是奇数，所以只能是 5 分，从而丁是第二名，平二场，胜 1 场；乙得 7 分，7=33+1，所以乙胜甲、丙，并与丁踢平；丙与丁踢平，负于乙，所以丙的总分只能是 1、2、4，但总分是奇数，所以只能是 1，从而丙是第四名足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分.若A，B，C，D 队总分分别是1，4，7，8，请问：E 队至多得几分？至少得几分？【分析】设 A、B、C、D、E 五队总分分别为a、b、c、d

19、、e，五队总和20Sabcdee五队总循环赛共25C10场，最多 30 分，每增加一场平局，总分少 1 分1000a，431001 1 1 1b 73310c ，8331 1d 至少 3 场平局：至多 5 场平局：013112211220211ABCDE胜平负013040211220121ABCDE胜平负25202757ee，至多 7 分，至少 5 分注意这种论证与构造相结合的解题思路全校共有 61 人报名参加兵乓球比赛，要用淘汰赛的方式产生一名冠军.每一场比赛中的双方，胜者参加下一轮比赛；若战成平局，则都参加下一轮比赛.由于参赛人数是奇数，第一轮比赛中只好让 60 名选手上场进行 30 场比

20、赛，其余一人免赛直接进入第二轮.如果第二轮可参赛人数仍是奇数，就再让其中一人免赛直接参加第三轮，其余选手成对地角逐.如此下去，到冠军产生为止.问最少要进行多少场比赛？【答案】不论每一轮比赛中参赛资格的选手人数是奇数还是偶数，也不论每一轮比赛中有没有因战成平手而双双进入下一轮者，每一场比赛的两个参赛选手中最多只能淘汰一人（成为平手时谁也不淘汰）.要从 61 名选手中产生一名冠军，需淘汰 60人，因此，至少需要进行 60 场比赛.例 8第 2 讲9第 7 级下超常体系教师版在体育比赛中，我们一般主要研究单循环赛.单循环赛有两条关键的规律：一个小组内，胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数.

21、一般的解题思路是根据这两条规律列表得到各队的胜、平、负的情况再做推理1.n 支队伍的单循环比赛将进行(1)2n nm场，其中每支队都进行(1)n 场.2.体育比赛中的总分（记为 A）问题三分制：胜、平、负按 3、1、0 积分制度，其中 23mAm，每多出现一场平局，总分就会减少1 分；二分制：胜、平、负按 2、1、0 积分制度，其中2Am，不管比赛情况如何，最后的总分总是不变的3.一个小组内：胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数1.二年级六个班进行拔河单循环赛，每个班要进行几场比赛？一共要进行几场比赛？【分析】每个班要进行 5 场，一共要进行65215（场）比赛2.8 支球队进行淘汰

22、赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛？【分析】方法一：8 进4 进行了4 场，4 进2 进行 2 场，最后决赛是1场，因此共进行了 4217 （场）比赛方法二：每进行一场比赛就淘汰一支球队，最后支剩下冠军了，也就是说淘汰了 7 支球队，因此进行了7 场比赛3.学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了 36场比赛，有（）人参加了选拔赛A.8B.9C.10【分析】如果三个人比赛，可以比赛3223场；如果四个人比赛，可以比赛 4326场；如果有五个人比赛，那么可以比赛 54210场；如果有 9 个人比赛，那么可以比赛98236场，所以答案是B 4.6 个女同学和小明进

23、行乒乓球单打比赛，已知 7 个人各自胜的场次之和是 14 场，而其中 6 个女生输的场数之和是 8 场，则小明一共输掉了场.【分析】因为所有选手胜的场次之和应该等于所有选手负的场次之和，所以小明一共输掉了 14-8=6场.5.A、B、C、D、E 五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘到现在为止，A 已经赛 4家庭作业知识点总结第 7 级下超常体系教师版10盘，B 赛3 盘，C 赛2 盘，D 赛1盘问：此时 E 同学赛了几盘？【分析】方法一：画5 个点表示五位同学，两点之间连一条线段表示赛一场，建议教师让学生动手按要求画一画根据题意，A 已经赛4 盘，说明 A 与 B、C、D、E 各赛一盘，A

24、 应与 B、C、D、E 点相连D 赛1盘，是与 A 点相连的B 赛3 盘，是与 A、C、E 点相连的C 赛2 盘，是与 A、B 点相连的从图上 E 点的连线条数可知，E 同学赛了 2 盘方法二：每人盘数相加总和必是偶数，所以 E 同学赛了偶数盘，不可能是 0 盘（因为 A 赛 4盘），不可能赛了 4 盘（因为 D 赛 1 盘），所以赛了 2 盘.6.四个人进行象棋单循环赛，规定胜者得 2 分，负者得0 分，和棋双方各得1分，比赛结束后统计发现，四个人的得分和加起来一定是多少？【分析】四个人单循环比赛总共比赛4326（场），每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2 分，因此最终四个人的得分

25、加起来一定是 2612（分）7.班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局每局胜者得2 分，平者各得1分，负者得0 分已知甲、乙、丙三名同学得分分别为 3 分、4 分、4 分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？【分析】四个同学共赛4326（局），共 12 分，所以丁的得分=12-3-4-4=1 分.8.有 5 个球队进行比赛，每队必须与其他 4 个队交手一次，一场比赛下来，每队若获胜可得 3 分，平局得 1 分，失败不得分.比赛结束后，各队的得分情况如下：黄队 10 分；红队 9 分；绿队 4 分；蓝队 3 分；粉红队 1 分.请问比赛中有_场平局.【分析】

26、因为 10=3+3+3+1，9=3+3+3+0,1=1+0+0+0，所以剩下的平局总和一定是偶数，又因为红队9 分没有平局，所以 4=3+1+0+0,3=1+1+1+0，从而可知共 3 场平局.【超常班学案1】甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛.每两人都要比赛一盘，每胜一盘超常班学案EDCBA第 2 讲11第 7 级下超常体系教师版得 2 分，和一盘得 1 分，输一盘得 0 分.到现在为止，甲赛了 4 盘，共得了 2分；乙赛了 3 盘，得了 4 分；丙赛了 2 盘，得了 1 分；丁赛了 1 盘，得了 2 分.那么小明现在已赛了_盘，得了_分.【分析】通过点线图可知盘数是 2，又因为是二分

27、制，目前一共打了 6 盘，所以可知总分是 12 分，所以小明的得分 12-2-4-1-2=3 分.【超常班学案2】赵、钱、孙、李四人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果赵胜了李，并且赵、钱、孙三人胜的场数相同，问李胜了几场?【分析】四人比赛，则每人都赛3 场，共赛6234(场)，赵，钱，孙三人胜的场数相同，所以三人只能胜 0 场，胜 1 场，胜 2 场胜 0 场显然不行，若各胜 1 场，李要全胜与李输给赵矛盾，只能胜 2 场，如下图：李钱孙赵【超常班学案3】四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场规定如下：胜者得 2 分，负者不得分，平局得1 分比赛结果如下：两名同学并列第一名，两名同学并列

28、第三名已知比赛中有平局，那么第一名的同学得多少分？【分析】四个同学共赛 4326（场），总分是6212（分）每名选手的总分一定是 0 6 七个数之一.因为有两名同学并列第一名，所以第一名的同学不可能都是全胜得6 分，而且第一名的分数要大于3 分下面进行枚举如果第一名的同学得5 分，那么第三名的同学得(1252)21 （分），也就是第一名胜两场，平一场，第三名平一场，负两场，各得1分；如果第一名的同学得 4 分，那么第三名的同学得(1242)22（分），也就是第一名胜一场，平两场，第三名负一场，平两场，各得 2 分；所以第一名同学得分为 4 分或 5 分.【超常班学案4】四个足球队进行单循环比赛

29、，规定胜一场得 3 分，平一场得1分，负一场得 0 分，有一个队没输过，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能，请你说明理由【分析】可能 A，B，C，D 四个队，A 胜 B，B 胜C，C 胜 A，D 和 A，B，C 都打平这样的话，A，B，C 都是 4 分，D 是3 分，D 虽然不败但却难逃垫底厄运【123班学案1】甲、乙、丙三人进行乒乓球循环赛，结果 3 人获胜的场数各不相同.问第一名胜了几场?【分析】三人进行循环赛，即每两人都要赛一场，共进行 232=3 场比赛.每场比赛都有一人获胜，123 班学案第 7 级下超常体系教师版12每人都赛 2 场.由题

30、意知三人获胜的场数各不相同，所以三人获胜的场数分别为 2、1、0.显然，第一名是胜了 2 场.【123班学案2】甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球循环赛，结果有三人获胜的场数相同.问另一个人胜了几场?【分析】甲、乙、丙、丁四人进行循环赛，则每人都赛 3 场，共赛 342=6(场).如果其中有三人都胜 3 场，则至少进行 9 场比赛，这是不可能的；如果其中有三人都胜 2 场，那么 6 场比赛中的获胜者都在这三个人中，每人胜了 2 场，另一个人胜 0 场；如果其中有三人都胜 1 场，那么 6 场比赛中的 3 场这三人各胜 1 场，另外 3 场的胜者必是第四个人，故另一个人胜 3 场；三个人都胜 0 场是

31、不可能的.因此，如果有 3 人获胜的场数相同，那么另一个人可能胜 0 场也可能胜 3 场.【123班学案3】8 人参加象棋循环比赛（每 2 人都要赛一盘），并且他们的得分各不相同，比赛规则是胜者得 2 分，负者得 0 分，平者双方各得 1 分，已知第二名的得分是后四名的得分之和，第二名得_分.【分析】8 人进行循环赛需要比赛 28 场，每场比赛产生 2 分的得分，所以 8 个人得分总和为 56.设第二名得分为 a，那么最后四名得分之和也为 a，第三名至多得 a1 分，第四名至少得 a2 分，第一名至多为 14 分，显然 56(1)(2)14411aaaaa，得12a，所以第二名得 12 分或

32、13 分.若第二名得 13 分，那么第一名必为 14 分，即第一名全胜，那么第一名胜了第二名，第二名不可能得 13 分，矛盾.所以第二名得 12 分.【123班学案4】ABCDEF、六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场胜者得 3 分，负者得 0 分，平局每队各得 1 分比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第 3 名的队得了 8 分.那么，这次比赛中共有多少场平局？【分析】六队单循环赛共进行 15 场比赛，每场比赛两队得分之和为 3 或 2，所以总分不小于 30 且不大于 45因为第三名参加 5 场比赛得了 8 分，所以战绩为 2 胜 2 平 1 负，即 15 场比赛中至少有 2 场平局，至多有 12 场平局，所以总分不小于 33 且不大于 43因为各队得分成等差数列，所以只可能分别是 12，10，8，6，4，2即总分为1210864242（分）15 场比赛都分出胜负时总分为 45 分，每出现 1场平局总分减少 1 分，45423，所以共有 3 场平局