小学数学讲义秋季四年级第8讲超常体系.pdf

1、第 8 讲1第 7 级下超常体系教师版三年级暑假破译加减法竖式四年级暑假破译乘除法竖式四年级秋季数阵图初步-从幻方谈起四年级春季破译横式四年级春季数阵图进阶辐射型、封闭型和复合型三种数阵图的填写，幻方的初步认识漫画释义知识站牌第八讲 数阵图初步-从幻方谈起第 7 级下超常体系教师版2金庸作品射雕英雄传中有这样一段情节：那女子（瑛姑）沮丧失色，身子摇了几摇，突然一跤跌在细沙之中，双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来，脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花岛，五行生克之变，何等精奥

2、？这九宫之法是桃花岛阵图的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”边说边画，在沙上画了一个九宫之图那女子面如死灰，叹道：“只道这是我独创的秘法，原来早有歌诀传世”黄蓉笑道：“不但九宫，即使四四图，五五图，以至百子图，亦不足为奇就说四四图罢，以十六字依次作四行排列，先以四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十这般横直上下斜角相加，皆是三十四”那女子依法而画，果然丝毫不错黄蓉道：“那九宫每宫又可化为一个八卦，八九七十二数，以从一至七十二之数，环绕九宫成圈，每圈八字，交界之处又有四圈，一共一十三圈，每圈数字相加

3、，均为二百九十二这洛书之图变化神妙如此，谅你也不知晓”举手之间，又将七十二数的九宫八卦图在沙上画了出来这段对话中提到的“九宫之图”、“洛书之图”就是现代数学中所称的三阶幻方数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用学生掌握的各种数学知识来解决问题 本讲首先要讲授填数阵图的主要技巧：区分普通点与关键点（一般是处于最多线段交叉处的点）；填出关键点数值；判断幻和等等.除此之外还有以下注意点：1引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决

4、问题的能力数阵图：将一些数按照一定的要求排列而成的某些图形.数阵图的分类：辐射型，封闭型，复合型.课堂引入经典精讲教学目标第 8 讲3第 7 级下超常体系教师版辐射型数阵图：从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数.封闭型数阵图：在正多边形的每条边上安放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数.复合型数阵图：既要在射线上安放数字，又要在正多边形的边上安放数字，使它们的和都等于一个不变的数.数阵图问题要求在数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线(或关系区域)上的数的和相等，可以按以下步骤解决这一类问题：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)，和关

5、键点(或方格)第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线(关系区域)上和的总和，这个和是关系线(关系区域)的个数的整数倍第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线(关系区域)和第四步：运用已经得到的信息进行尝试1.计算：1+2+3+9=；10+11+12+20=；1+2+3+25=.【分析】45；165；3252.解方程：51025x；372+5xx【分析】3x ；12x 3.填空：abc、是非 0 自然数：若 22236abcabc，则 abc；若374aab，则b；若 468aab

6、，则b；若153ab，则a 必是的倍数.【分析】36；6；3；34.将 12 写成 2 个互不相同的自然数的和，有几种写法，请列举出来.【分析】12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，共 5 种知识点回顾第 7 级下超常体系教师版4模块一：辐射型数阵图（例 1、例 2）模块二：封闭型数阵图（例 3、例 4）模块三：复合型数阵图及幻方（例 5例 8）把10 20 这 11 个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上 3 个圆内所填数的和都相等如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法请写出所有可能的填法（学案对应：超常 1，带号 1）【分析】将五条边上的和相加，得数一定是 5 的倍数，

7、其中中间的数被计算了 5 次，而1011 1220165，所以中间的数必须是 5 的倍数，才能使在中间的数多被计算了4 次后，总和仍能被 5 整除所以中间的数只能是 10、15、20答案如图所示.191817201615141312111016201917181211101413151519181617121110141320注：填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”1 对于辐射型数阵图，有：已知各数之和+重叠数 重叠次数 直线上各数之和 直线条数将1 6 这六个数字分别填入下图的六个

8、内，使得三条直线上的数字的和都相等例 2例 1例题思路第 8 讲5第 7 级下超常体系教师版【分析】cba将三条直线上的数相加所得的数一定是 3 的倍数，而且 a、b、c 都被加了两次，即：1256213abcabck，所以，6abc、9、12、15，有以下四种填法654321654321654321654321将1 6 六个自然数分别填入下图的内，使三角形每边上的三数之和都等于 11（学案对应：超常 2，带号 2）【分析】此图是封闭型数阵图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11 333，而125621，所以三个角的三个数之和等于332112，在1 6 中选 3 个和为12的

9、数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12246345，经试验，填法如图365142例 3第 7 级下超常体系教师版6把 1，2，3，4，5，6，7，8 八个数字填入下图中的内，使正方形每条边上三个数的和都等于 13【分析】因为每边上的和为 13，那么四条边上的数字之和为13452，而127836，所以四个角上的四个数之和等于523616在 18 中选四个数，四数之和等于 16，且其中任意三个的和不等于 13 的只有：16126712581456 经试验，只有如图的两种填法87365142或58234176注：例题中的数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数

10、阵图”填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图一般地，有m 条边，每边有n 个数的图形称为封闭型(或辐射型)mn图封闭型mn图有 m 个重叠数，重叠次数都是1次对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以：已知各数之和 重叠数之和 每边各数之和 边数例 4第 8 讲7第 7 级下超常体系教师版如图，“学、而、思、未、来、命、运”这 7 个汉字分别代表 1 至 7 这 7 个数字已知 3 条直线上的 3 个数相加、2 个圆周上的 3 个数相加，所得的 5 个和均相同那么，“学”字代表多少?（学案对应：超常 3，带号

11、3）思而学运命来未【分析】计算 5 个和的和，这个和一定是 5 的倍数，其中“学”字计算了三遍，其它数只是被计算了 2遍，因此这个和等于 12345672 （）“学”56“学”，这个“学”只能是 4 才能保证这个和能被 5 整除注：例题中的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键数河图河图用十个黑白圆点表示阴阳、五行、四象，其图为四方形：北方：一个白点在内，六个黑点在外，表示玄武星象，五行为水东方：三个白点在内，八个黑点在外，表示青龙星象，五行为木南方：二个黑点在

12、内，七个白点在外，表示朱雀星象，五行为火西方：四个黑点在内，九个白点在外，表示白虎星象，五行为金中央：五个白点在内，十个黑点在外，表示时空奇点，五行为土其中，单数为白点为阳，双数为黑点为阴；四象之中，每象各统领七个星宿，共二十八宿按古人坐北朝南的方位为正位就是：前朱雀，后玄武，左青龙，右白虎例 5第 7 级下超常体系教师版8请分别将 1，2，4，6 这四个数填在图中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于 15.【分析】如图所示：375adbdcda、b、c、d 为 1，2，4，6，三偶一奇，组成右边的 3，5，7 为 3 奇，那么1=26dab，c=4。答案如图：能否将数 0，1，2，

13、9 分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的 3 个顶点上的数之和相等？（学案对应：带号 4）例 7例 63756412375第 8 讲9第 7 级下超常体系教师版【分析】因为0945，45-中心数3个阴影三角形的 3 个顶点上的数字之和，所以中心数必须是 3 的倍数，只能是 0，3，6，9枚举法实验，中心数只能是 3，6，答案如图05619372481528763049将2n 个数排列成纵、横各有n 个数的方阵，使其每行、每列和两条对角线上的n 个数相加的和都相等，这样的方阵叫幻方.（学案对应：超常 4）(1)在 3 3 的正方形的每个格子里分别填入1 9 这 9 个数字，要求每行每列及

14、每条对角线上的三个数的和相等（请给出至少一种填法）【分析】方法一：第一步：求幻和：1239315（）第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的 4 倍，即15460，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：604535（）第三步：确定四个角上的数由于在同一条直线上的三个数的和是 15，所以如果某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同，所以四个角上的数必为偶数第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心

15、旋转与对调得到其它各解，共 8 解，下图为其中一解，其余解均可由其翻转或旋转得到：987654321方法二（对易法）：南宋数学家杨辉概括为:“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”即：先把1到9 九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字1和9 对调，左右的数字7 和3 对例 8第 7 级下超常体系教师版10调，最后把4 个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了789456123729654183381456927方法三（阶梯法）：阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的这个方法看起来有点像对易法，但又完全不一样，十分简单而巧妙，适用于所有奇数阶幻方这个方法把 n 阶方阵从四

16、周向外扩展成阶梯状，然后把2n 个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方下图表示了如何用阶梯法构成 3 阶幻方123568947231475869276951438方法二和方法三中将1 9 按 8 个不同的方位排列就可以得到本题 8 个不同的解方法四（罗伯法）：把1（或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：每一个数放在前一个数的右上一格；如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列 如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行 如果这个数所要放的格已经填好了其它的数，或者同时超

17、出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面，具体如下图：1121231234123456123456712345678123456789这是法国人罗伯特总结出的方法，所以叫“罗伯法”罗伯法的口诀：一居上行正中央，后数依次右上连上出框时往下填，右出框时往左填排重便在下格填，右上排重一个样它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻方(2)将九个数填入下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于同一个数k，则中心方格中的数必为3k 第 8 讲11第 7 级下超常体系教师版【分析】因为每行的三数之和都等于 k，共有三行，所以九个

18、数之和等于3k 如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于 k，四条虚线上的所有数之和等于 4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次所以有：九数之和+中心方格中的数 34k，3k 中心方格中的数 34k，中心方格的数3k注：例题中对九个数及数k 都没有特殊要求这个结论对求解3 3 方格中的数阵图问题很实用(3)下图中有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等问：图中左上角的数是多少？1319？【分析】如图，设相应方格中的数为1x，2x，3x，4x x4x3x2x1？1913由已知

19、条件：行、列及对角线的三个数的和都相等，可以列出下面的等式：?+x1+x2?x3x4x1x313x2+19x4，这样，前面两个式子的和就等于后面两个式子的和，即有 2？x1 十 x2x3x41319x1 十 x2x3x4所以 2?1319，？1319216，左上角的数是 16【拓展】所谓“三阶乘法幻方”是指在 33 的方格中填入 9 个不等于 0 的整数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等.请将图中的“乘法幻方”补充完整，则其中的“X”所代表的数是_.x41620第 7 级下超常体系教师版12【分析】第 3 行第 3 列的数为 20164=80，第 2 行第 3 列的数为 8020

20、16=100，第 1 行第 2 列的数为 1008020=400，所以由 20400 x=16100第 2 行第 2 列的数=480第 3 行第 1 列的数得到第 2 行第 2 列的数=5x，第 3 行第 1 列的数=25x，这样就有 20400 x=x5x25x，故20400=5x25x，解得 x=8【拓展】一个 44 的金幻方是将116 的数不重复地填入 44方格表的小方格内，使得每行每列及两条对角线上的数之和，恰好是十个连续的正整数.如图的金幻方已填入部分的数，请完成它.1473913125461110【分析】令 a、b、c、d、e 分别为下表中所在格子的数：edcba147391312

21、5461110再令1A、2A、3A、4A 分别为第 1 横列至第 4 横列的数之和，5A、6A、7A、8A 分别为由左至右第 1 直行至第 4 直行的数之和，9A、10A 分别为左上至右下与右上至左下两条主对角线的数之和.则可知114Aabc；219Ad；330Ae；431A；510Aade；632AbA；722Ac；830A；926Aa；1039A.因这是 10个连续的数且已知有30、39，可知这 10个数为30 39.因尚未填入之数为 1、2、8、15、16，可知（）由219Ad与722Ac知15、16 必需填入c 或d；（）由（）知 a 可能为 1、2 或 8.但因9A 必须介于30 3

22、9 之间，故8a、934A；（）因330Ae且431A，故33e、332A.（）由（）（）知1b 且633A、123Ac；（）因1039A与123Ac，故15c，也因此得到16d.21615181473913125461110第 8 讲13第 7 级下超常体系教师版可以按以下步骤解决数阵图类问题：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)，和关键点(或方格)下图就是鼎鼎大名的“河图洛书”之“洛书”，同学们能像数海拾贝中解释河图那样为大家解释一下洛书的意思吗？【答案】洛书古称龟书，传说有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为

23、阴数(见图)洛书数字本太一下九宫而来，以四十五数演星斗之象九宫八风图配合八风，八卦，中央一宫，即洛书的中宫，乃周围八宫的核心古人观测天象，认为北极星(太乙)之位恒居北方，可以作为中心以定位的标准九宫是据北斗斗柄所指，从天体中找出九个方位上最明亮的星为标志，便于配合斗柄以辨方定位，发现九星的方位及数目，即洛书的方位和数目北极居中何以能下九宫前人指出，体为北极，用在北斗，以斗为帝车，言北斗为北极帝星所乘之车，因北斗绕北极而旋转，就是北极帝星乘车临御八方之象，若根据斗柄旋指的八宫方位，便能推知四时八节的气象变化，也就是九代表了不同的时序洛书九宫数，以一、三、七、九为奇数，亦称阳数，二、四、六、八为偶

24、数，亦称阴数阳数为主，位居四正，代表天气；阴数为辅，位居四隅，代表地气；五居中，属土气，为五行生数之祖，位居中宫，寄旺四隅知识点总结第 7 级下超常体系教师版14第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线(关系区域)上和的总和，这个和是关系线(关系区域)的个数的整数倍第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线(关系区域)和第四步：运用已经得到的信息进行尝试1.将1 11填入下图的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于18.【分析】如图 1，这五条线段上三个圆圈内的数的总和为12

25、311418590a，所以 66490a，6a，确定 6 之后可以填出其他圆圈内的数，如图 2（答案不唯一）a图12.请你在下面的三角形中填上数，使每条直线的三个数加起来的和都等于 90.家庭作业第 8 讲15第 7 级下超常体系教师版【分析】3.如图所示，圆圈中分别填入 0 到 9 这 10 个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是 18，则中间两个数 A 与 B 的和是_.BA【分析】若每个正方形中数的和都是 18，那么总和为 54，而这 10 个数的和为 45，其中 A、B 各多算了一次，故 A+B=9.4.如图，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之

26、和.7919【分析】如图所示：所以答案如图：86193141022412aaaaaaaa 91998891976abababacac 第 7 级下超常体系教师版16471291965.请将 1 至 6 填入图中的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之和都相等.【分析】546231（答案不唯一）6.在下图的 7 个圆内填入 7 个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数，那么标有的圆内填的数是多少？设每条直线上各数之和为 k，()()()()42222242(123456)442426abcadfcdeefkabcdefkbkbkb 或第 8 讲17第 7 级下超常体系教师版10

27、691281114【分析】假设标有的圆内填的数是 X，则相邻两个和的差为间隔一个圆圈的两个圆内数的差，则从开始顺时针所有的数为 X,2X,3X,1X,1X,4X,2X,有214XX（）,得6X，即标有的圆内填的数是 64275386106912811147.图中的五个问号分别表示五个连续的自然数，它们的和等于 130，三角形内两个数的和等于 53，圆内三个数的和等于 79，正方形内两个数的和等于 50.那么从左向右这五个问号依次是？【分析】根据题意答案为：25，28，27，24，268.将九个连续自然数填入下图的九个空格，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于 60【分析】中心填 603=20

28、，则有下图（为其中一个解）242322212019181716【超常班学案 1】在下面的花瓣图的空格里填上不同的正整数，使每条直线上的三个数相加的和都等于 12.超常班学案第 7 级下超常体系教师版18【分析】124=48，1+2+9=45，48-453=1（），故中心圆圈填 1，从而有【超常班学案 2】把1 9 这 9 个数，分别填在下图的 9 个中，使得三角形每条边上的 4 个内数之和都是 23.【分析】观察每个中数被加的次数，不难发现除了三角形三个顶点上的数（a、b、c）加两次外，其余各个内的数都只加过一次；三条边上三个和相加得：（1239）（abc）=323；所以 45abc=69；那

29、么 abc24；又因为 a、b、c 都是在1 9 中取值；所以只有 78924；设 a=7，b=8，c=9，将 7、8、9 填入三角形的三个顶点后，经试验可得到两个解，如下图：【超常班学案 3】将1 9 填入下图的九个内，使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且 7，8，9 依次位于小、中、大圆周上【分析】每个圆周和每条直线上三数之和应为 15，其中有 9 的只有915 和924，分别对应右下图的两个解第 8 讲19第 7 级下超常体系教师版876591423873294156【超常班学案 4】请你将1 25 这二十五个自然数填入55 的空格内使每行、每列、每条对角线上的五数之和相等【分

30、析】罗伯法：“一居上行正中央，后数依次右上连上出框时往下填，右出框时往左填排重便在下格填，右上排重一个样”见第二个图这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”，它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻方25242322212019181716151413121110926584317【超常 123 班学案 1】将1 7 这七个数字，分别填入图中各个内，使每条线段上的三个内数的和相等【分析】设中心内填 a，由于三条线上的数字和相加应是 3 的倍数，其中a 一共加了 3 次，所以12345672282aa 一定是 3 的倍数而28391 ，那么 23a 的余数应

31、该是 2，因此，1a ，4 或 7（1）当1a 时，28230，30310，1019，除中心外，其他两数的和应是 9，只要把 2，3，4，5，6，7 六个数按“和”是 9 分成三组填入相应的内就可以了填法如图 1；（2）当4a 时，28836，36312填法如图 2；123 班学案第 7 级下超常体系教师版20（3）当7a 时，281442，42314填法如图 3534217652314764231765【超常 123 班学案 2】把 1 至 6 这六个数字填入图的六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多少？【分析】如图所示：设每边之和为 k，123456

32、32132145612321 1239kkkabckabckkkkkk 时时最大最小即最小是 9，最大是 12，具体填法见下图：【超常 123 班学案 3】下图中有三个正三角形，将 19 填入它们顶点处的九个中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个的每条直线上的四数之和也相等【分析】每个正三角形顶点的三数之和为 129315（），每条直线上的三数之和为45 15320（）将 19 九个数分为三个一组，且每组三个数的和为 15 只有如下两种：1，5，9；2，6，7；3，4，8；第 8 讲21第 7 级下超常体系教师版1，6，8；2，4，9；3，5，7对于，中心小正三角形三个顶点数为

33、 1，5，9 时，可得左下图的解；对于，中心小正三角形三个顶点数为 3，5，7 时，可得右下图的解987653421987653421【超常 123 班学案 4】图中有 10 个小三角形、4 个大三角形，请把 0 9 十个数分别填入图中的小三角形内，使 4 个大三角形内的数字和相等且最小【分析】每个大三角形内有 4 个小三角形，中心位置的小三角形用到的次数最多，有 4 次则由它的特殊位置决定，它一定为 00ihgfedbca由题意知 abcdefghibeh ，12945那么每一个大三角形的数字和为 45315，1 9 中，和为 15 的不重复数字的组合有：1、6、8；3、5、7；2、4、9从此三组中分别取一个数字使其和仍为 15 的是 4、5、6，即它们为 b、e、h所以结果如图所示0861753492