【八年级上册】13.15 课题学习——最短路径问题（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题13.15 课题学习最短路径问题（知识讲解）【学习目标】1理解轴对称变换，能作出已知图形关于某条直线的对称图形2能利用轴对称变换设计一些图案，解决简单的实际问题.3能运用轴对称的性质（将军饮马问题），解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力【要点梳理】要点一：对称轴的作法 若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴轴对称图形的对称轴作法相同特别说明：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点

2、一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.要点二：将军饮马问题的基本作图和解题方法 几何模型1：两定一动型（两点之间线段最短） 图一 图二 几何模型2：两动一定型（两点之间线段最短）几何模型3（1）：两定两动型（两点之间线段最短）在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。几何模型3（2）：两定两动型（将军过桥）（两点之间线段最短） 图1 图2 图3【将军过桥】已知将军在图1中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可问题在于AM、NB彼此分离，

3、所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A位置（如图2）问题化为求AN+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（如图3）几何模型4：一定两动型（垂线段最短公理）在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P，将折线段PM+MN转化为PM+MN，即过点P作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）【典型例题】类型一、两定一动型1、如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，是的中点，是上一动点，则的最小值是() ABCD【答案】C【分析】作点关于的对

4、称点，连接，与的交点，即符和条件的点，再求出，的坐标，根据勾股定理求出的值，即为的最小值【详解】作点关于的对称点，连接交于，此时，的值最小，最小值为的长，线段所在直线的解析式为，是的中点，是点关于的对称点，四边形是正方形，的最小值是故选：C【点拨】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称最短路径的确定方法是解题的关键举一反三：【变式1】如图，在中，于点，垂直平分，在上确定一点，使最小（）A10B11C12D13【答案】C【分析】根据三角形的面积公式得到，由垂直平分，得到点，关于直线对称，于是得到的长度的最小值，即可得到结论 解：，垂直平分，点，关于直线对称，与

5、的交点即为的，此时，的长度的最小值，即的最小值为12，故选：C 【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道的长度的最小值是解题的关键【变式2】如图，AD是BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是_【答案】5【分析】作点关于射线的对称点，连接、BP则，是等边三角形，在中，当、在同一直线上时，取最大值，即为5所以的最大值是5 解：如图，作点关于射线的对称点，连接、，BP则， ， 是等边三角形，在中，当、在同一直线上时，取最大值，即为5的最大值是5故答案为：5【点拨】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键类型二、一定两

6、动型求线段长2、如图，等腰的底边的长是，面积是，腰的垂直平分线交于点N，垂足为M，若D为边上的一动点，P为上的一动点，求的最小值_【答案】5cm【分析】由线段垂直平分线的性质可得APBP，则BPDPAPDP，当点A，点P，点D共线且ADBC时，APDP有最小值，即BPDP有最小值为AD的长，由面积公式可求解解：连接AD，AP，MN垂直平分AB，APBP，BPDPAPDP，当点A，点P，点D共线且ADBC时，APDP有最小值，即BPDP有最小值为AD的长，SABCBCAD6AD15，AD5cm，故答案为：5cm【点拨】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键举

7、一反三：【变式1】如图，点是内任意一点，点和点分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值是_【答案】3【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及，对线段长度进行等量转化即可【详解】解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的对称点、，连接、，其中分别交OB、OA于点N、M，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M、N的位置是使得周长的最小的位置由对称性可知：， ，为等边三角形的周长=3故答案为：3【点拨】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利用其原理“两点之间线段最短”作出

8、最短路径示意图是解决本题的关键【变式2】如图，点E在等边ABC的边BC上，BE12，射线CDBC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF14，则AC的长为 _【答案】20【分析】如图，作点E关于CD的对称点G，过点G作GFAB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，CE=CG，根据等边三角形的性质可得AC=BC，B=60，再由直角三角形的性质可得BG=2BF=28，从而得到CE=CG=8，即可求解 解：如图，作点E关于CD的对称点G，过点G作GFAB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，CE=CG，ABC是等边三角形，AC=BC

9、，B=60，GFAB，G=30，BG=2BF=28，BE12，EG=16，CE=CG=8，AC=BC=BE+CE=20故答案为：20【点拨】本题主要考查了轴对称图形的性质最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键类型三、一定两动型求角度4、如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（）ABCD【答案】C【分析】作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，推出EF+CF最小时即为CM，再根据等边三角形的性质可得结果解：作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，ABC是等边三角形，ADBC，M在AB

10、上，MF=EF，EF+CF=MF+CF=CM，即此时EF+CF最小，且为CM，AE=2，AM=2，即点M为AB中点，ECF=30，故选C【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到CM是解题的关键举一反三：【变式1】如图，在五边形ABCDE中，（为钝角），在BC，DE上分别找一点M，N，当周长最小时，的度数为（）ABCD【答案】C【分析】分别延长AB、AE到点、，使，连接，分别交BC和DE于点M，N，连接AM，AN，此时周长最小，可求得，由三角形的内角和求得即可解答. 解：，如图，分别延长AB、AE到点、，使，连接，分别交BC和DE于点M，N，连

11、接AM，AN，此时周长最小，BM垂直平分，EN垂直平分，故选C【点拨】本题考查平面内最短路径问题，涉及两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平面内最短路径的求解方法是解答的关键.【变式2】如图，若AOB=44，为AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当PMN的周长取最小值时，MPN的度数为() A82B84C88D92【答案】D【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，的周长的最小值为长度，然后依据等腰等腰中，即可得出，代入求解即可 解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，

12、 ，根据轴对称的性质可得，的周长的最小值为长度，由轴对称的性质可得，等腰中，故选：D【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键类型四、两定一动平移型（ 将军饮马平移型）4、如图，平行河岸两侧各有一城镇，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（）A BCD【答案】C【分析】作PP垂直于河岸L，使PP等于河宽，连接QP，与河岸L相交于N，作NML，根据平行线的判定与性质，易证得此时PM+NQ最短.解：如图，作PP垂直于河岸L，使PP等于河宽，连接QP

13、，与河岸L相交于N，作NML，则MNPP且MNPP，于是四边形PMNP为平行四边形，故PMNP根据“两点之间线段最短”，QP最短，即PM+NQ最短观察选项，选项C符合题意故选C【点拨】本题主要考查最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.举一反三：【变式】如图，园区入口A到河的距离AE为100米，园区出口B到河的距离BF为200米，河流经过园区的长度EF为400米，现策划要在河上建一条直径CD为100米的半圆形观赏步道（如图：C在D左侧），游览路线定为ACDB，问步道入口C应建在距离E_米处，才能使游览路线最短【答案】100【分析】如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，延长AE到

14、A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点，延长BB1交A1A 延长线于H，证明A1HB1和A1EC是等腰直角三角形即可解答利用相似三角形的性质求解EC即可 解：如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，则BB1=FF1=CD=100米，B1F1=BF=200米，EF1=300米，延长AE到A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点延长BB1交A1A 延长线于H，则A1H= 300米，B1H=BHBB1=300米，H=90，A1HB1是等腰直角三角形，HAB1=45，又A1EC=90，A1CE=45，EC=A1E=100，步道

15、入口C应建在距离E100米处，能使游览路线最短，故答案为：100【点拨】本题考查平移性质、最短路径问题、等腰直角三角形的判定与性质，会利用轴对称性质和两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键类型五、两定两动型 5、如图，在旷野上，一个人骑着马从A地到B地，半路上他必须让马先到河岸l的P点去饮水，然后再让马到河岸m的Q点再次饮水，最后到达B点，他应该如何选择马饮水地点P、Q，才能使所走路程最短？（假设河岸l、m为直线） 【分析】分别作点A关于直线l的对称点，点B关于直线m的对称点，连接，分别交l，m于点P，Q，连接、，则路程最短 解：如图所示，分别作点A关于直线l的对称点，点B关于直线m的对

16、称点，连接，分别交l，m于点P，Q，连接、，则路程最短 【点拨】本题主要考查了轴对称的性质最短路径问题，解题的关键在于能够熟练掌握两点之间线段最短举一反三：【变式】如图，锐角AOBx，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记OPM，QNO，当MP+PQ+QN最小时，则关于，x的数量关系正确的是（） A2xB2+90+2xC+90+xD+21802x【答案】A【分析】如图，作M关于OB的对称点M，N关于OA的对称点N，连接MN交OA于Q，交OB于P，则此时MP+PQ+QN最小，易知OPM=OPM=NPQ，OQP=AQN=AQN，再结合OPM=NPQ=AOB+OQP，

17、OQP=AQN=AOB+ONQ，由此即可解决问题 解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则此时的值最小 此时，OPM=NPQ=AOB+OQP，OQP=AQN=AOB+ONQ，即：， 故选：A【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型类型五、垂线段最短模型（等面积法求最值）5、如图，在等边中，BC边上的高，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（） A5B6C7D8【答案】B【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为F

18、E+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值 解：如图，连接CE， 等边ABC中，AD是BC边上的中线，AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，EB=EC，BE+EF=CE+EF，当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，等边ABC中，F是AB边的中点，AD=CF=6，即EF+BE的最小值为6故选：B【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论举一反三：【变式1】如图所示，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿

19、着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（）ABCD【答案】C【分析】据角平分线上一点到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于CD，而CD=BC-BD即得答案【详解】解：如下图，过D作DEAB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长AD平分CAB，ACBCDE=CD=BC-BD=1000-700=300（米）故选：C【点拨】本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短” 其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于D到AB的距离【变式2】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，

20、AB边于E，F点若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则MC+MD的最小值为（）A6B8C10D12【答案】B【分析】连接AD，由于ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故ADBC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论 解：连接AD， ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=BCAD=4AD=16，解得AD=8，EF是线段AC的垂直平分线，点C关于直线EF的对称点为点A，AD的长为CM+MD的最小值，MC+MD的最小值为故选：B【点拨】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键