24届高三新结构一模压轴汇编（学生版）.pdf

1、 系列专题培优讲义数学系列专题培优讲义2024 一模压轴汇编24 届高三新结构一模压轴汇编一、单选题1.(2024广东深圳高三深圳中学开学考试)已知函数 f x满足 f x+y=f x+f y-2，f 1=4且当 x 0 时，f x 2，若存在 x 1,2，使得 f ax2-4x+f 2x=1，则 a 的取值范围是()A.0,12B.12,58C.58,23D.12,232.(2024广东深圳高三深圳中学开学考试)在椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)中，F1，F2 分别是左，右焦点，P 为椭圆上一点(非顶点)，I 为 PF1F2 内切圆圆心，若 SIF1F2SPF1F2=13，则椭圆的

2、离心率 e 为()A.13B.12C.33D.323.(2024广东中山高三中山纪念中学开学考试)已知 f x=lnx-ax3，g x=xex-lnx-x-34，若不等式 f xg x 0 的解集中只含有两个正整数，则 a 的取值范围为()A.ln327,ln28B.ln327,ln28C.ln232,ln327D.ln232,ln3274.(2024湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习)双曲线 C:x29-y216=1 的右支上一点 P 在第一象限，F1，F2 分别为双曲线 C 的左、右焦点，I 为 PF1F2 的内心，若内切圆 I 的半径为 1，则 PF1F2 的面积等于()A.24B.12C

3、.323D.1635.(2024湖南邵阳高三邵阳市第二中学校考开学考试)在 ABC 中，AB AC=BA BC=CACB，则下列说法一定正确的是()A.若 0，则 ABC 是锐角三角形B.若 0，则 ABC 是钝角三角形C.若 0，则 ABC 是锐角三角形D.若 0，则 ABC 是钝角三角形6.(2024湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习)已知对任意实数 x 都有 f(x)=2ex+f(x)，f(0)=-1，若不等式 f(x)a(x-1)，(其中 a 0,b0的左、右顶点分别为 A1,A2,F 为 C 的右焦点，C 的离心率为 2，若 P 为 C 右支上一点，PF FA2，记 A1PA2=0 2

4、，则 tan=()A.12B.1C.3D.211.(2024山东高三山东省实验中学校联考开学考试)已知函数 f(x)=mx2-xlnx 存在极小值点 x0，且 f(x0)-e3，则实数 m 的取值范围为()A.0,1e2B.0,2e2C.0,1e3D.0,2e312.(2024山东高三山东省实验中学校联考开学考试)已知向量 a,b,c 满足 a=b=2，a-b=2，2a-c=3，则 c-b的最大值为()A.3B.2 3C.3 3D.4 313.(2024福建泉州高三福建省安溪第一中学校联考开学考试)已知正数 a,b,c 满足 ea=b=lnc,e 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是()

5、A.a+c 2bC.ac b214.(2024福建高三校联考开学考试)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别 F1，F2，椭圆的长轴长为 2 2，短轴长为 2，P 为直线 x=2b 上的任意一点，则 F1PF2的最大值为()A.2B.4C.3D.615.(2024浙江高三浙江金华第一中学校考开学考试)已知直线 BC 垂直单位圆 O 所在的平面，且直线BC 交单位圆于点 A，AB=BC=1，P 为单位圆上除 A 外的任意一点，l 为过点 P 的单位圆 O 的切线，则()A.有且仅有一点 P 使二面角 B-l-C 取得最小值B.有且仅有两点 P 使二面角 B-l-C 取得最小

6、值C.有且仅有一点 P 使二面角 B-l-C 取得最大值D.有且仅有两点 P 使二面角 B-l-C 取得最大值16.(2024浙江高三浙江金华第一中学校考开学考试)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为x-32+y2=1，且圆 C 与 x 轴交于 M,N 两点，设直线 l 的方程为 y=kx k0，直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点，直线 AM 与直线 BN 相交于点 P，直线 AM、直线 BN、直线 OP 的斜率分别为 k1,k2,k3，则()A.k1+k2=2k3B.2k1+k2=k3C.k1+2k2=k3D.k1+k2=k317.(2024江苏镇江高三扬中市第二高级中学开学

7、考试)已知斜率为 k k0的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F 且与抛物线 C 相交于 A,B 两点，过 A,B 分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为 A1，B1，若 ABB1与 ABA1的面积之比为 2，则 k 的值为()A.2B.12C.22D.2 218.(2024江苏镇江高三扬中市第二高级中学开学考试)已知函数 f x的定义域为 R，且 f x+x2 为奇函数，f x-2x 为偶函数令函数 g x=f x,x0,-f x,x0.若存在唯一的整数 x0，使得不等式g x02+a g x0 0 成立，则实数 a 的取值范围为()A.-8,-3 1,3B.-3,-1 3,8C.-3,0

8、 3,8D.-8,-3 0,3二、多选题1.(2024广东深圳高三深圳中学开学考试)在空间直角坐标系 Oxyz 中，A 0,0,0，B 1,1,0，C 0,2,0，D-3,2,1，E x2,2,1在球 F 的球面上，则()A.DE 平面 ABCB.球 F 的表面积等于 100C.点 D 到平面 ACE 的距离等于 3 105D.平面 ACD 与平面 ACE 的夹角的正弦值等于 452.(2024广东深圳高三深圳中学开学考试)函数 f x=e-x，g(x)=|lnx|，h(x)=-kx+2，则下列说法正确的有()A.函数 F(x)=f(x)-h(x)至多有一个零点B.设方程 f(x)=g(x)的

9、所有根的乘积为 p，则 p (0,1)C.当 k=0 时，设方程 g(x)=h(x)的所有根的乘积为 q，则 q=1D.当 k=1 时，设方程 f(x)=h(x)的最大根为 xM，方程 g(x)=h(x)的最小根为 xm，则 xM+xm=23.(2024广东中山高三中山纪念中学开学考试)如图所示，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，M,N分别为线段 AB,AD 上异于点 A 的动点，且满足 AM=AN，点 H 为 MN 的中点，将点 A 沿 MN 折至点 A 处，使 AH 平面 BCD，则下列判断正确的是()A.若点 M 为 AB 的中点，则五棱锥 A-MBCDN 的体积为 14 23B

10、.当点 M 与点 B 重合时，三棱锥 A-BCD 的体积为 16 23C.当点 M 与点 B 重合时，三棱锥 A-BCD 的内切球的半径为 4-2 3D.五棱锥 A-MBCDN 体积的最大值为 128 3274.(2024广东中山高三中山纪念中学开学考试)已知定义域为 0,+的函数 f x满足 f x+xf x=ex,f 1=1数列 an的首项为 1，且 f an+1=f an-1an+1，则()A.f ln2=log2eB.f x 1C.a2023 a2024D.0 an 15.(2024湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习)若 f x是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x=1 对称，且对

11、任意 x1,x2 0,12，都有 f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，则下列说法正确的是()A.f 1一定为正数B.2 是 f x的一个周期C.若 f 1=1，则 f 20234=1D.若 f x在 0,12上单调递增，则 f(1)120246.(2024湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习)已知 A,C 两点位于直线 l 两侧，B，D 是直线 l 上两点，且 ABD 的面积是 CBD 的面积的 2 倍，若 AC=12-1x-sinxAB+1+f xAD，下列说法正确的是()A.f x为奇函数B.f x在2，单调递减C.f x在0,2有且仅有两个零点D.f x是周期函数7.(2024湖南邵阳高

12、三邵阳市第二中学校考开学考试)已知函数 f x，g x的定义域均为 R，它们的导函数分别为 f x，g x，且 f x+g 2-x=5，g x-f x-4=3，若 g x+2是偶函数，则下列正确的是()A.g 2=0B.f x的最小正周期为 4C.f x+1是奇函数D.g 2=5，则2024k=1f k=20248.(2024湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习)如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD为 菱 形，BAD=60 ,AB=AA 1=2,P 为 CC 1 的 中 点，点 Q 满 足 DQ=DC+DD1 0,1,0,1，则下列结论正确的是()A.若 +=13，则四

13、面体 A1BPQ 的体积为定值B.若 A1BQ 的外心为 O，则 A1B A1O为定值 2C.若 A1Q=5，则点 Q 的轨迹长度为24D.若 =1 且 =12，则存在点 E A1B，使得 AE+EQ 的最小值为9+2 109.(2024湖北武汉高三武钢三中校考开学考试)已知函数 f x，g x的定义域为 R，g x为 g x的导函数，且 f x+g x-8=0，f x-2-g 6-x-8=0，若 g x为偶函数，则下列一定成立的有()A.g 4=0B.f 1+f 3=16C.f 2023=8D.20n-1f n=16010.(2024湖北襄阳高三襄阳五中校考开学考试)已知函数 f x，g x

14、的定义域为 R，g x是 g x的导函数，且 f x+g x-8=0，f x-g 4-x-8=0，若 g x为偶函数，则()A.f 1+f 3=16B.f 4=8C.f-1=f-3D.2023k=1g k=011.(2024山东高三山东省实验中学校联考开学考试)在四棱锥 S-ABCD 中，ABCD 是矩形，AD SD,SDC=120,SD=CD=2BC=2,P 为棱 SB 上一点，则下列结论正确的是()A.点 C 到平面 SAD 的距离为3B.若 SP=PB，则过点 A,D,P 的平面 截此四棱锥所得截面的面积为 32C.四棱锥 S-ABCD 外接球的表面积为 17D.直线 AP 与平面 SC

15、D 所成角的正切值的最大值为3312.(2024福建泉州高三福建省安溪第一中学校联考开学考试)学校食堂每天中午都会提供 A，B 两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择 A 套餐的概率为23，选择 B 套餐的概率为 13.而前一天选择了 A 套餐的学生第二天选择 A 套餐的概率为 14，选择 B套餐的概率为 34；前一天选择 B 套餐的学生第二天选择 A 套餐的概率为 12，选择 B 套餐的概率也是 12，如此反复.记某同学第 n 天选择 A 套餐的概率为 An，选择 B 套餐的概率为 Bn.一个月(30 天)后，记甲、乙、丙三位同学选择 B 套餐的人数为

16、 X，则下列说法中正确的是()A.An+Bn=1B.数列 An-25是等比数列C.E X=1.5D.P X=1=3612513.(2024福建高三校联考开学考试)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是线段 DD1上的动点(不包括端点)，过 A，B1，E 三点的平面将正方体截为两个部分，则下列说法正确的是()A.正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的 3 倍B.存在一点 E，使得点 A1和点 C 到平面 AEB1的距离相等C.正方体被平面 AEB1所截得的截面的面积随着 D1E 的增大而增大D.当正方体被平面 AEB1所截得的上部分的几何体的体积为 13 时

17、，E 是 DD1的中点14.(2024福建高三校联考开学考试)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C:x23-y2=1 的右顶点为 A，直线 l 与以 O 为圆心，OA为半径的圆相切，切点为 P则()A.双曲线 C 的离心离为 2 33B.当直线 OP 与双曲线 C 的一条渐近线重合时，直线 l 过双曲线 C 的一个焦点C.当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线平行吋，若直线 l 与双曲线 C 的交点为 Q，则 OQ=5D.若直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 D，E 两点，与双曲线 C 分别交于 M，N 两点，则DM=EN15.(2024浙江高三浙江金华第一中学校考开学考试)

18、在平面直角坐标系中，将函数 f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转 (0 90)后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 f(x)为“旋转函数”.那么()A.存在 90 旋转函数B.80 旋转函数一定是 70 旋转函数C.若 g(x)=ax+1x 为 45 旋转函数，则 a=1D.若 h(x)=bxex 为 45 旋转函数，则-e2 b 016.(2024浙江高三浙江金华第一中学校考开学考试)已知函数 f x，g x的定义域均为 R，且 f x+g 2-x=5，g x-f x-4=7若 x=2 是 g x的对称轴，且 g 2=4，则下列结论正确的是()A.f x是奇函数B.3,6是 g x的对称中心

19、C.2 是 f x的周期D.22k=1gk=13017.(2024江苏镇江高三扬中市第二高级中学开学考试)已知在伯努利试验中，事件 A 发生的概率为p 0p 1)，ABC 是以点 B(0,1)为直角顶点的等腰直角三角形，直角边 BA,BC 与椭圆分别交于另外两点 A,C若这样的 ABC 有且仅有一个，则该椭圆的离心率的取值范围是2.(2024广东深圳高三深圳中学开学考试)已知关于 x 的不等式 2ex-2xlnx-m 0 在12,+上恒成立，则实数 m 的取值范围是.3.(2024广东中山高三中山纪念中学开学考试)已知 0 a b 0，b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2 的直线

20、与 C 的右支交于 A，B 两点，且 AF1 AB，F1AB 的内切圆半径 r=12 F2B，则 C 的离心率为5.(2024湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点为 F，过点 F 作倾斜角为 4 的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，弦 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P，若 PFAB=14，则椭圆 C 的离心率 e=6.(2024湖南邵阳高三邵阳市第二中学校考开学考试)如图，已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a,b 0)的左、右焦点分别为 F1,F2，过 F1 的直线与 C 分别在第一、二象限交于 A,B 两点，ABF2 内切圆半

21、径为r，若 BF1=r=a，则 C 的离心率为.7.(2024湖南长沙高三雅礼中学校考阶段练习)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a0,b0，F 为右焦点，过点 F 作 FA x 轴交双曲线于第一象限内的点 A，点 B 与点 A 关于原点对称，连接 AB，BF，当 ABF 取得最大值时，双曲线的离心率为8.(2024湖北襄阳高三襄阳五中校考开学考试)在首项为 1 的数列 an中 an+1-an=-12n，若存在n N*，使得不等式 m-anm+an+3 0 成立，则 m 的取值范围为9.(2024山东高三山东省实验中学校联考开学考试)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，过点

22、 F的直线交抛物线于 A,B 两点，点 A,B 在直线 l 上的射影分别为 A1,B1 两点，以线段 A1B1 为直径的圆C 与 y 轴交于 M,N 两点，且 MN=45 AB，则直线 AB 的斜率为10.(2024福建泉州高三福建省安溪第一中学校联考开学考试)若过点 1,0可以作曲线 y=ln x+a的两条切线，则实数 a 的取值范围为11.(2024福建高三校联考开学考试)方程 cos2x=3cosx-2 的最小的 29 个非负实数解之和为12.(2024浙江高三浙江金华第一中学校考开学考试)设严格递增的整数数列 a1，a2，a20 满足 a1=1，a20=40.设 f 为 a1+a2，a

23、2+a3，a19+a20 这 19 个数中被 3 整除的项的个数，则 f 的最大值为，使得 f 取到最大值的数列 an的个数为.13.(2024浙江高三浙江金华第一中学校考开学考试)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点，直线 x=t 与C 交于 A，B，AF 与 C 的另一个交点为 D，BF 与 C 的另一个交点为 E.若 ABF 与 DEF 的面积之比为 4:1，则 t=.14.(2024江苏镇江高三扬中市第二高级中学开学考试)已知非零数列 an,bn=a1 a2 a3 an，点an,bn在函数 y=x2x-2 的图象上，则数列anbn-12n的前 2024 项和为.15.(2024江

24、苏镇江高三扬中市第二高级中学开学考试)已知点 P x0,ex0是函数 y=ex 图像上任意一点，点 Q 是曲线 x-e4-22+y2=1 上一点，则 P、Q 两点之间距离的最小值是.解析几何压轴篇1.(武汉二调 18).已知双曲线 E：x2a2-y2b2=1 的左右焦点为 F1，F2，其右准线为 l，点F2 到直线 l 的距离为 32，过点 F2 的动直线交双曲线 E 于 A，B 两点，当直线 AB 与 x轴垂直时，AB=6(1)求双曲线 E 的标准方程；(2)设直线 AF1与直线 l 的交点为 P，证明：直线 PB 过定点2.(深圳一模 19).已知动点 P 与定点 A m,0的距离和 P

25、到定直线 x=n2m 的距离的比为常数 mn 其中 m 0,n 0，且 m n，记点 P 的轨迹为曲线 C(1)求 C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点 B-m,0，若曲线 C 上两动点 M,N 均在 x 轴上方，AM BN，且 AN 与BM 相交于点 Q当 m=2 2,n=4 时，求证：1AM+1BN的值及 ABQ 的周长均为定值；当 m n 时，记 ABQ 的面积为 S，其内切圆半径为 r，试探究是否存在常数，使得 S=r 恒成立？若存在，求(用 m,n 表示)；若不存在，请说明理由3.(杭二开学考 18).已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点为 F.设 M x0,y0(其中 x0 0

26、，y0 0)为拋物线 C2:x2=4 y+1上一点.过 M 作抛物线 C1 的两条切线 MA，MB，A，B为切点.射线 MF 交抛物线 C2于另一点 D.(1)若 x0=2，求直线 AB 的方程；(2)求四边形 MADB 面积的最小值.4.(浙江新阵地 18).已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴长为 4，离心率为 12，左顶点为 C，过右焦点 F 作直线与椭圆分别交于 A,B 两点(异于左右顶点)，连接 AC,CB.(1)证明：AC 与 AF 不可能垂直；(2)求|AB|2+|BC|2+|CA|2的最小值；5.(江苏四校 18).已知等轴双曲线 N 的顶点分别是椭圆 C:x2

27、6+y22=1 的左、右焦点F1、F2.(1)求等轴双曲线 N 的方程；(2)Q 为该双曲线 N 上异于顶点的任意一点，直线 QF1 和 QF2 与椭圆 C 的交点分别为 E，F 和 G，H，求 EF+4 GH的最小值.6.(江苏南通二月诊断 18).已知椭圆 C1:x28+y24=1 与椭圆 C2 有相同的离心率，椭圆C2焦点在 y 轴上且经过点(1,2).(1)求椭圆 C2的标准方程：(2)设 A 为椭圆 C1 的上顶点，经过原点的直线 l 交椭圆于 C2 干 P，Q，直线 AP、AQ与椭圆 C1 的另一个交点分别为点 M 和 N，若 AMN 与 APQ 的面积分别为 S1 和S2，求 S

28、1S2取值范围.7.(长郡一模 18).已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F，其准线 l 与 x 轴交于点 P，过点 P的直线与 C 交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧).(1)若点 A 是线段 PB 的中点，求点 A 的坐标；(2)若直线 AF 与 C 交于点 D，记 BDP 内切的半径为 r，求 r 的取值范围.8.(广东百校 18).已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右顶点分别是 A，B，点H3,12在椭圆 C 上，P 是椭圆 C 上异于点 A，B 的动点，且直线 PA，PB 的斜率之积为-14(1)求椭圆 C 的标准方程(2)过点 1,0的直线 l 与椭圆

29、 C 交于 M，N(异于 A，B)两点，直线 AM 与 BN 交于点 Q，试问点 Q 是否恒在一条直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由9.(江西九师 18).已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，且 AF1+AF2=4，离心率为 12.(1)求 C 的方程；(2)已知点 B-1,0，M，N 是曲线 C 上两点(点 M，N 不同于点 A)，直线 AM,AN分别交直线 x=-1 于 P，Q 两点，若 BP BQ=-94，证明：直线 MN 过定点.导数压轴篇1.(武汉二调 19).已知函数 f x=ex-1x(1)求曲线 y=f

30、x在点 1,f 1处的切线方程；(2)证明：f x是其定义域上的增函数；(3)若 f x ax，其中 a 0 且 a 1，求实数 a 的值2.(深圳一模 18).已知函数 f x=a x-1ex+1-2xlnx-x2 aR(1)当 a=0 时，求函数 f x在区间 e-2,1上的最小值；(2)讨论函数 f x的极值点个数；(3)当函数 f x无极值点时，求证：asin 12a 2 3.(浙江新阵地 19).已知函数 f x=cosx+ln 1+x，且曲线 y=f x在点0,f 0处的切线斜率为 1.(1)求 f x的表达式；(2)若 f x ax+1 恒成立，求 a 的值.(3)求证：2nk=

31、n+1f sin 1k-1 0,s 1，s 为常数)密切相关，请解决下列问题(1)当 1 2 时；证明 f x有唯一极值点；记 f x的唯一极值点为 g s，讨论 g s的单调性，并证明你的结论5.(江西九师 19).已知函数 f x=x-1ex-alnx(a R).(1)当 a=e 时，求 f x的最小值；(2)若 f x有 2 个零点，求 a 的取值范围.新定义压轴篇1.(杭二开学考 19).设整数 n,k 满足 1 k n，集合 A=2m 0mn-1,mZ.从A 中选取 k 个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有 C kn 个，设它们的和为 an,k.例如 a3,2=20 21+20

32、22+21 22=14.(1)若 n 2，求 an,2；(2)记 fn x=1+an,1x+an,2x2+an,nxn.求 fn+1 xfn x和 fn+1 xfn 2x的整式表达式；(3)用含 n，k 的式子来表示 an+1,k+1an,k.2.(江苏四校 19).交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用设 A，B，C，D 是直线 l 上互异且非无穷远的四点，则称 ACBC BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如 AB=-BA)为 A，B，C，D 四点的交比，记为(A,B;C,D)(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若 l1，l2，l3，l4 为平

33、面上过定点 P 且互异的四条直线，L1，L2 为不过点 P 且互异的两条直线，L1 与 l1，l2，l3，l4 的交点分别为 A1，B1，C1，D1，L2 与 l1，l2，l3，l4 的交点分别为 A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)=(A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若 EFG 与 E F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则 EFG 与 EFG 对应边的交点在一条直线上3.(江苏南通二月诊断 19).设正整数 n 3，有穷数列 an满足 ai 0(i=1,2,n)，且 a1+a2+an=n，定义积值 S=a1 a2 an.(

34、1)若 n=3 时，数列12 ,1,32与数列16 ,23 ,136的 S 的值分别为S1，S2.试比较 S1与 S2的大小关系；若数列 an的 S 满足 min S1,S2 S max S1,S2，请写出一个满足条件的an;(2)若 n=4 时，数列 a1,a2,a3,a4存在 i,j 1,2,3,4,使得 ai 1 aj，将 ai，aj 分别调整为 ai=ai+aj-1，aj=1，其它 2 个 ak(k i,j)，令 ak=ak.数列 a1,a2,a3,a4调整前后的积值分别为 S,S，写出 S,S 的大小关系并给出证明；(3)求 S=a1 a2 an 的最大值，并确定 S 取最大值时 a1,a2,an 所满足的条件，并进行证明.