【八年级上册】13.16 课题学习——最短路径问题（基础篇）（专项练习）-（人教版）.docx

1、专题13.16 课题学习最短路径问题（基础篇）（专项练习）一、单选题1如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（）ABCD2如图，是正方形的一条对称轴，点是直线的上的一个动点，当最小时，（）ABCD3如图，在中，点是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，则的周长的最小值为（）ABCD4如图，在ABC中，ABAC，BC4，面积是10AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则PBF周长的最小值为（）A5B7C10D145如图，在等边三角形中，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时

2、，点的位置在（）A点处B点处C的中点处D三条高的交点处6如图所示，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（）ABCD7如图，在中，BD是的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为（）A3BC3.5D8如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，PCD=_.A30B45C60D90二、填空题9如图，RtABC中，C，AC6，BC8，AB10，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则APC周长的最小值为_10如图，在ABC中，ABBC，AC2cm，边BC的

3、垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，则PCD的周长的最小值是_11如图，在边长为6，面积为的等边ABC中，N为线段AB上的任意一点，BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点， 连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_12如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD5，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是 _13如图，点P为AOB内一点，点M、N分别是边OA和OB上的动点，且M、P、N不共线，若AOB30，OP8cm，则PMN周长的最小值是_14如图，在中，点，分别在，上运动，连结、，则的最小值为_15如图，在中，垂直

4、平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是_16如图，RtABC中，C90，AC3，BC4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则APC周长的最小值为_17如图，等腰的底边的长是，面积是，腰的垂直平分线交于点N，垂足为M，若D为边上的一动点，P为上的一动点，求的最小值_ 18如图，在等边中，是的中点，是的中点，是上任意一点如果，那么的最小值是 19如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB的最小值是 _20如图，在ABC中，AB=3cm，AC=5cm，ABAC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点则ABP周长的最小值是_三

5、、解答题21在图中直线n上作出点C，使的值最小（不写作法，保留作图痕迹） 22平面上有四个点A、B、C、D，按照以下要求作图（保留作图痕迹）：(1)连接并延长至E，使；(2)作射线；(3)在直线上确定点G，使得最短23已知，M，N是x轴上两动点（M在N左边），请在x轴上画出当的值最小时，M，N两点的位置24（1）如图，点在直线两侧，请你在直线上画出一点，使得的值最小，简述画法、画出图形；（2）如图，点在直线同侧，请你在直线上画出一点，使得的值最小，简述画法并画出示意图. 25如图，在锐角中，平分，分别是和上的动点，求的最小值并说明理由.26如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A

6、，B，C均在小正方形的顶点上(1) 在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的ABC；(2) 直接写出ABC的面积为 ；(3) 在直线l上找一点P，使PA+PC的值最小 参考答案1B【分析】作A点关于l的对称点A，连接AB与l的交点为P，此时PA+PB最小解：点A，B在直线l的同侧，作A点关于l的对称点A，连接AB与l的交点为P，由对称性可知APAP，此时PA+PB最小，故选：B【点拨】本题考查了对称的性质以及两点之间线段最短，理解两点之间线段最短是解题的关键2C【分析】这是一个很明显将军饮马模型的最短路问题，根据模型先找D关于直线MN的对称点，发现对称点与A重合，然后连接AC与对称轴的交点P，满

7、足PC+PD的值最小，此时可以知道，PCD=45解：是正方形的一条对称轴， D关于直线MN对称的点为A，连接AC交MN于P点，此时PM+PN的值最小，ACD为等腰直角三角形，PCD=45.【点拨】本题主要考查将军饮马模型的最短路问题，利用模型找到满足PM+PN的值最小时，P的位置是本题的关键3D【分析】连接BE，依据是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据BE+CEBC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故AEC的周长最小值等于AC+BC解：如图，连接BE，点D是AB边的中点， lAB，l是AB的垂直平分线，AE=BE

8、，AE+CE=BE+CE，BE+CEBC，当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13故选：D【点拨】本题主要考查了最短距离问题，利用线段垂直平分线的性质定理是解题的关键4B【分析】如图，连接AF，AP利用三角形的面积公式求出AF，求出PB+PF的最小值即可解决问题解：如图，连接AF，APACAB，CFBFBC2，AFBC，SABCBCAF10，BC4，AF5，DE垂直平分线段AB，PAPB，PBF的周长PB+PF+BFPA+PF+2，PA+PFAF，PA+PF的最小值为5，PBF的周长的最小值为7故选：B【点拨】本题

9、考查轴对称-最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用线段长垂直平分线的性质解决问题5D【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可解：连接BP，ABC是等边三角形，D是BC的中点，AD是BC的垂直平分线，PB=PC，当PC+PE的长最小时，即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上，又BE为中线，ABC是等边三角形点P为ABC的三条中线的交点，也就是ABC的三条高的交点故选：D【点拨】本题考查的是等边三角形的重心的概念和性质，熟记等边三角形的重心的概念和性质是解题的关键6C【分析】据角平分线上一点

10、到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于CD，而CD=BC-BD即得答案解：如下图，过D作DEAB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长AD平分CAB，ACBCDE=CD=BC-BD=1000-700=300（米）故选：C【点拨】本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短” 其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于D到AB的距离7A【分析】作点关于的对称点，连接，则，当，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到的最小值解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则，当，在同一直线上，且时，的最小值等

11、于垂线段的长，此时，中，的最小值为3，故选择A【点拨】本题主要考查了最短路线问题，30直角三角形性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点8B【分析】根据当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC即可得出PCD的度数解：当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出PCD=45，PCD=45故选B【点拨】此题考查轴对称求最短路线问题，根据已知得出D点关于MN的对称点，正好是A点是解题关键914【分析】由图形可得：APC周长，因为AC3，所以求

12、出的最小值即可求出APC周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，的值最小，即可得到结论解：如图所示，连接AE，BP，直线EF垂直平分AB，A，B关于直线EF对称，在中，当P和E重合时，C、P、B三点共线，此时，的值最小，最小值等于BC的长，周长的最小值，故答案为：14【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置104【分析】连接BD，由于AB=BC，点D是AC边的中点，故BDAC，再根据三角形的面积公式求出BD的长，再根据直线l是线段BC的垂直平分线可知，点C关于直线l的对称点为点B，故BD

13、的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论解：连接BD，AB=BC，点D是BC边的中点，BDAC，SABC=ACBD=2BD=3，解得BD=3，直线l是线段BC的垂直平分线，点C关于直线l的对称点为点B，AB的长为CP+PD的最小值，CDP的周长最短=（CP+PD）+CD=BD+AC=3+1=4故答案为：4【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键11【分析】由等边三角形的对称性得到MC=BM，再利用垂线段最段解题解：过点C作于点N，平分BAC，ABC为等边三角形，BM+MN，当时，最小等边ABC面积为，边长为6，故答案为：【点拨】本题考查轴对称最短

14、路径问题、等边三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键125【分析】根据等边三角形的性质，可知B与C关于AD对称，过C作CFAB交AD于点E，交AB于点F，则EB+EF的最小值为CF的长，求出CF的长即可求解解：ABC是等边三角形，D是BC边中点，ADBC，B与C关于AD对称，过C作CFAB交AD于点E，交AB于点F，则BE+EF=CE+EF=CF，则EB+EF的最小值为CF的长，AD=5，CF=5，故答案为5【点拨】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握利用轴对称求最短距离的方法，此题确定EB+EF的最小值为CF的长是解题的关键138cm【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB

15、的对称点为D，当点M、N在CD上时，PMN的周长最小解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN，当点M、N在CD上时，PMN的周长最小点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，PM=CM，OP=OC，COA=POA；点P关于OB的对称点为D，PN=DN，OP=OD，DOB=POB，OC=OD=OP=8cm，COD=COA+POA+POB+DOB=2POA+2POB=2AOB=60，COD是等边三角形，CD=OC=OD=8cm.PMN的周长的最小值为PM+MN+PN=CM+MN+DNCD=8cm故答案为：8cm【点拨】

16、此题主要考查轴对称一最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键14【分析】作点B关于AC的对称点B，过B作BDAB交AC于E，连接AB，BD即为BE+ED的最小值，利用含30的直角三角形的性质解答即可解：作B关于AC的对称点B，过B作BDAB交AC于E，连接AB，此时BE+ED=BE+ED为最小值，此时BAB=2BAC=30，BD=AB=AB=，即BE+ED的最小值为，故答案为：【点拨】此题考查了最短路径问题，关键是作点B关于AC的对称点B，利用轴对称的性质解答即可1510【分析】如图，根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，的最小值等于的长，根据，的长度即可得到周长的最小

17、值解：垂直平分，点与点关于对称，如图，设与相交于点,当和重合时，的值最小，最小值等于的长，的周长的最小值是，故答案为：10【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质，解答此题的关键是准确找出点的位置167【分析】APC周长，因为AC3，所以求出AP+CP的最小值即可求出APC周长的最小值，根据题意知点关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，AP+CP的值最小，即可得到结论解：直线EF垂直平分AB，A，B关于直线EF对称，设直线EF交BC于E，当P和E重合时，AP+CP的值最小，最小值等于BC的长，APC周长的最小值，故答案为：7【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问

18、题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出P的位置175cm【分析】由线段垂直平分线的性质可得APBP，则BPDPAPDP，当点A，点P，点D共线且ADBC时，APDP有最小值，即BPDP有最小值为AD的长，由面积公式可求解【详解】解：连接AD，AP，MN垂直平分AB，APBP，BPDPAPDP，当点A，点P，点D共线且ADBC时，APDP有最小值，即BPDP有最小值为AD的长，SABCBCAD6AD15，AD5cm，故答案为：5cm【点拨】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键18【分析】从题型可知为”将军饮马”的题型,连接CE,C

19、E即为所求最小值解：ABC是等边三角形,B点关于AD的对称点就是C点,连接CE交AD于点H,此时HE+HB的值最小CH=BH,HE+HB=CE,根据等边三角形的性质,可知三条高的长度都相等,CE=AD=故答案为: 【点拨】本题考查三角形中动点最值问题,关键在于寻找对称点即可求出最值194【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4解：如图：连结BP，CP，EF垂直平分BC，B、C关于EF对称，BP=CP，AP+BP=AP+CP，根据两点之间相等最短AP+PCAC，当点P在AC与EF交点时，AP+BP最小=AC，最小值等于AC的长

20、为4故答案为4【点拨】本题考查轴对称最短路线问题的应用，解决此题的关键是能根据想到垂直平分线的性质和两点之间线段最短找出P点的位置208cm【分析】如图（见分析），先根据三角形的周长公式可得当PA+PB最小时，ABP的周长最小，再根据垂直平分线的性质可得PC=PB，从而可得PA+PB=PA+PC，然后根据两点之间线段最短可得PA+PC的最小值为AC，由此即可得出答案解：如图，连接PC，AB=3 cmABP的周长为AB+PA+PB=3+PA+PB，要使ABP的周长最小，则需PA+PB的值最小，EF垂直平分BC，PC=PB，PA+PB=PA+PC，由两点之间线段最短可知，当点A,P,C共线，即点P

21、在AC边上时，PA+PC取得最小值，最小值为AC，即PA+PB的最小值为AC=5 cm，则ABP周长的最小值是3+5=8 cm，故答案为：8【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键21作图见分析【分析】作出A点关于直线n的对称点D，连接BD交直线n于点C，连接AC，点C为所求解：作出A点关于直线n的对称点D，连接BD交直线n于点C，连接AC，点C即为所求理由：AC=CD，AC+BC=CD+BCBD，当B，C，D三点共线时，AC + BC有最小值【点拨】本题考查了利用轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质来求最短距离的方法是解题的关

22、键22(1)见分析(2)见分析(3)见分析【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）根据几何语言画出对应的几何图形；（3）连接BD、AC，它们的交点为G，则根据两点之间线段最短可判断G点满足条件解：(1)如图，AE为所作；(2)如图，射线CB为所作；(3)如图，点G为所作【点拨】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作23见分析【分析】作点A关于x轴的对称点，再将点B向左平移3个单位得到点，连接，与x轴的交点即为点M，将向右平移3个单位得到点C，连接，与x轴的交点即为N点M，N即为所求解：如图，作点

23、A关于x轴的对称点，再将点B向左平移3个单位得到点，连接，与x轴的交点即为点M，将向右平移3个单位得到点C，连接，与x轴的交点即为N点M，N即为所求【点拨】本题主要考查了坐标与图形的性质和最短路线问题，准确计算是解题的关键24（1）答案见详解；（2）答案见详解.【分析】(1)根据两点之间线段最短，连接AB，与直线l的交点，即为所求；(2)先作点E关于直线l的对称点E，连接FE，与直线l的交点，即为所求.解：(1)如图，连接AB，交直线l于点P，即为所求；(2)如图，作点E关于直线l的对称点E，连接FE，交直线l于点Q，即为所求.【点拨】本题主要考查两点之间，线段最短，把同侧的两个定点，通过轴对

24、称，化为异侧的两个定点，是解题的关键.25【分析】根据题意画出符合条件的图形，作N关于AD的对称点为R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MNBE，求出BE即可得出BM+MN的最小值解：如图，作关于对称点为，作边上的高（在上），平分，为锐角三角形，必在上，关于的对称点为，即（垂线段最短），的面积是，即的最小值为.【点拨】本题考查了平面展开最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目26(1)见分析(2)3.5(3)见分析【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A，B，C，再顺次连接即可；（2）把三角形的面积看成所在长方形的面积减去周围的三个三角形面积计算即可；（3）连接AC交直线l于点P，连接CP，点P即为所求(1)解：如图，ABC即为所求；(2)解：ABC的面积为：；故答案为：3.5(3)解：连接AC交直线l于点P，连接PC，则点P即为所求理由：ABC与ABC关于直线l成轴对称，PC=PC，PA+PC= PA+ PCAC，PA+PC的最小值为AC的长【点拨】本题考查作图轴对称，解题的关键是掌握轴对称的性质