【八年级上册】14.13 整式的乘法（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题14.13 整式的乘法（知识讲解）【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.3. 理解并掌握多项式除以单项式的法则及其应用。【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.特别说明：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计

2、算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.特别说明：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包

3、括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.要点四、多项式与多项式相乘的运算法则有同类项的要合并根据除法是乘法的逆运算可知，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的的运算转化为单项式的除法运算。即：，故多项式除以

4、单项式的法则也可以看做是乘法对加法的分配律的应用。【典型例题】类型一、单项式相乘1计算：【答案】【分析】根据幂的运算法则及合并同类项的方法即可求解.解：=【点拨】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及合并同类项的方法.举一反三：【变式】先化简，再求值：，其中，【答案】，-16【分析】先化简，再把a=2，b=1代入求解即可解：原式当，时，原式【点拨】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简2已知和的积与是同类项，求、的值.【答案】，【分析】先计算和的积，然后根据积与是同类项，即可求出m、n的值.解：，与是同类项，则，解得：.【点拨】本题考查了单项式与单项式相乘的运算法则，

5、以及同类项的定义，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简.举一反三：【变式】已知单项式与的积与是同类项.求的值.【答案】【分析】根据同类项的定义列出方程，求出m，n的值解：，与是同类项，解得.【点拨】本题考查了单项式乘法，同类项的定义、方程思想，是一道基础题，比较容易解答类型二、单项式乘以多项式3计算：(1) ； (2) 【答案】(1)(2)【分析】（1）先算积的乘方和幂的乘方，再算单项式乘多项式即可；（2）先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可解：（1）=-8a6b3（3b2-4a+6）=-24a6b5+32a7b3-48a6b3；（2） 【点拨】本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方和幂的乘方，

6、解答的关键是对相应的运算法则的掌握举一反三：【变式1】化简下列整式：(1) ； (2) 【答案】(1)(2)【分析】（1）利用单项式乘多项式的法则进行计算；（2）利用单项式乘多项式的法则，合并同类项法则进行计算，即可得出结果（1）解：；（2）解： 【点拨】本题考查了单项式乘多项式，整式的混合运算，解题的关键是掌握单项式乘多项式的法则，合并同类项法则【变式2】先化简，再求值x（x1）+2x（x+1）；其中x1；【答案】，4【分析】先利用单项式乘多项式的法则展开，然后合并同类项，再代入求值解：原式，当x1 时，原式31+14【点拨】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握单项式乘多项式的法则是解题的关键

7、类型三、多项式乘以多项式4计算：（12a）（12a）（a3）【答案】a34a312a2【分析】先根据平方差公式展开，再根据多项式乘多项式的运算法则计算即可解：原式（2a）2（a3）（14a2）（a3）a34a312a2【点拨】本题考查了多项式乘多项式，能熟练地运用公式和法则进行计算是解此题的关键举一反三：【变式】已知，求的值【答案】，【分析】先计算多项式乘以多项式，同步计算多项式除以单项式，再合并得到化简的结果，再整体代入求值即可.解：原式【点拨】本题考查的是多项式乘以多项式，多项式除以单项式，整式的混合运算，化简求值，熟练的掌握多项式除以单项式是解本题的关键.类型四、多项式除以单项式4计算：

8、【答案】【分析】先算括号里面积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项，再算括号外面的除法，从而求解解： 【点拨】本题考查了整式的混合运算，有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似举一反三：【变式】计算：【答案】【分析】根据多项式除以单项式的计算法则求解即可解： 【点拨】本题主要考查了多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键类型五、多项式乘积中不含某个字母5已知的乘积中不含和项，求的值【答案】2【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后结合不含和项，求出，即可求出答案解：原式，其结果中不含和项，解得：，答：的值为2【点拨】本题考查了多项式乘以

9、多项式、代数式求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简举一反三：【变式】已知（x2+mx-3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是-6(1) 求m，n的值(2) 求（m+n）（m2-mn+n2）的值【答案】(1)m=-1，n=2；(2)7【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m，n的值；（2）利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案（1）解：（x2+mx-3）（2x+n）=2x3+2mx2-6x+nx2+mnx-3n=2x3+2mx2+nx2+mnx-6x-3n=2x3+（2m+n）x2+（mn-6）x-3n，由于展开式中不含x2项，常数项是-6，则2m+n=0且-

10、3n=-6，解得：m=-1，n=2；（2） 解：由（1）可知：m=-1，n=2，（m+n）（m2-mn+n2）=m3-m2n+mn2+m2n-mn2+n3=m3+n3=（-1）3+23=-1+8=7【点拨】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键类型六、多项式乘以多项式中的化简求值6先化简，再求值：，其中x=2【答案】；15【分析】根据单项式乘多项式，多项式乘多项式法则运算，再合并同类项，最后代入求值即可解：原式=；当x=2时，原式=【点拨】本题考查了整式的四则混合运算，掌握运算法则准确计算是本题的关键举一反三：【变式】先化简，再求值：，其中【答案】；【分析】根据多项式的乘

11、法进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解解：原式；当时，原式【点拨】本题考查了多项式的乘法的化简求值，正确的去括号是解题的关键类型七、（x+p）（x+q）型的多项式运算7观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系：；你发现有什么规律?按你发现的规律填空：（_）_你能很快说出与相等的多项式吗?先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证【答案】3，5，3，5；详见分析【分析】由多项式乘以多项式法则发现规律，解答解：（x3）（x5）x2（35）x35x28x15故答案为：3，5，3，5（xa）（xb）x2（ab）xab验证：（xa）（xb）x2axbxabx2（ab）xab【点拨】本题考查

12、多项式乘以多项式，是基础考点，掌握相关知识是基础考点举一反三：【变式1】计算：【答案】x2+x-2【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案解：原式=x2+2x-x-2=x2+x-2【点拨】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键【变式2】小邢同学在计算中的“b”看成了“6”，算的结果为，而且小颖同学在计算时将“”看成了“”，算的结果为(1)求出a、b的值；(2)计算出的正确结果，【答案】(1)a-3，b-4(2)x2-7x+12【分析】（1）根据题意得出（x+a）（x+6）x2+（6+a）x+6ax2+3x-18，（xa）（x+b）x2+（a+b）xabx2-x1

13、2，得出6+a3，a+b-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可解：(1) 根据题意得：（x+a）（x+6）x2+（6+a）x+6ax2+3x-18，（xa）（x+b）x2+（a+b）xab，所以6+a3，a+b-1，解得：a-3，b-4；(3) 当a-3，b-4时，（x+a）（x+b）（x-3）（x-4）x2-7x+12【点拨】本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键类型八、多项式乘多项式中的面积问题8当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：（a+2b）

14、（a+b）a23ab+2b2(1)由图2，可得等式： (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c12，ab+bc+ac28，求a2+b2+c2的值；(3)计算（2a+b）（a+3b） 利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证上面的等式（要求图中有长度和面积的标识）【答案】(1)；(2)88；(3)，作图见分析【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可；（3）先计算多项式乘以多项式，然后根据等式，作出相应图形即可（1）解：； 故答案为：；（2）a+b+c12，ab+bc

15、+ac28， ；（3）（2a+b）（a+3b）=，故答案为：作图如下：【点拨】此题考查了多项式乘以多项式与几何图形的面积，代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键举一反三：【变式】如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a3b）米的长方形地块，角上有四个边长为（ab）米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化(1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）(2)若a25，b10，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元钱？【答案】(1)平方米(2)完成绿化共需要35000元钱【分析】（1）绿化的总面积等于矩形面积减去4个正方形面积，利用多项式乘多项式法则，

16、及完全平方公式化简，然后合并同类项即可得出答案；（2）将与的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为50元平方米，即可得出答案（1）解：题意得：答：绿化面积是平方米；（2）当，时，原式（平方米），（元），答：完成绿化共需要35000元钱【点拨】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算中的化简求值，根据题意列出相应的式子是解本题的关键类型九、多项式乘法中的规律问题9设都是正数，试比较M、N的大小【答案】MN【分析】设a2+a3+a2021=m，代入M、N中化简后比较即可解：设a2+a3+a2021=m，则M=（a1+m）（m+a2022）=a1m+m2+a2022m+a1a2022，N=（a1

17、+m+a2022）m=a1m+m2+a2022m，M-N=a1a2022，a1，a2，a2022都是正数，a1a20220，M-N0，MN【点拨】本题考查了整式乘法的混合运算，规律型：数字的变化类，设a2+a3+a2021=m，利用多项式乘多项式的法则计算出M、N是解题的关键类型十、整式乘除混合运算10先化简，再求值：，其中，满足【答案】；【分析】根据单项式乘多项式、多项式乘多项式、单项式除以单项式的运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出a、b，代入计算即可解：原式；，当，时，.【点拨】本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质，掌握整式的混合运算法则是解题的关键举一反三：【变式1】先化简

18、，再求值，其中，【答案】，-1【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项，把已知数据代入化简结果得出答案解：原式 ，当，时，原式【点拨】此题主要考查了整式的混合运算一化简求值，主要考查了完全平方公式、单项式乘多项式，多项式除单项式以及合并同类项等知识；特别注意求整式的值时，一般先化简，再把给定字母的值代入计算，不能直接把数值代入整式中计算，正确运用相关运算法则是解题关键【变式2】先化简，再求值：(1)，其中，(2)若x满足，求代数式的值【答案】(1)，50(2)，1【分析】（1）先计算多项式乘多项式，再合并后计算多项式除以单项式，最后代入数值求解即可；（2）先计算多项式乘多项式，再合并同类项，最后将已知式子的值整体代入求解即可；（1）解：原式，将，代入可得，原式（2）原式，原式【点拨】本题主要考查了整式的混合运算以及求代数式的值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键